Аддитивная функция - Additive function

Для алгебраический смысл, см. Аддитивная карта.

В теория чисел, аддитивная функция является арифметическая функция ж(п) положительного целое число п так что всякий раз, когда а и б находятся совмещать, функция продукта - это сумма функций:^[1]

ж(ab) = ж(а) + ж(б).

Полностью аддитивный

Аддитивная функция ж(п) называется полностью аддитивный если ж(ab) = ж(а) + ж(б) держит для всех положительные целые числа а и б, даже если они не взаимно просты. Полностью аддитивный также используется в этом смысле по аналогии с полностью мультипликативный функции. Если ж является полностью аддитивной функцией, то ж(1) = 0.

Каждая полностью аддитивная функция аддитивна, но не наоборот.

Примеры

Примеры полностью аддитивных арифметических функций:

• Ограничение логарифмическая функция к N.
• В множественность основного фактора п в п, то есть наибольший показатель м для которого п^м разделяет п.
• а₀(п) - сумма простых чисел, делящая п с учетом множественности, иногда называемой sopfr (п), сила п или целочисленный логарифм п (последовательность A001414 в OEIS ). Например:

а₀(4) = 2 + 2 = 4

а₀(20) = а₀(2² · 5) = 2 + 2+ 5 = 9

а₀(27) = 3 + 3 + 3 = 9

а₀(144) = а₀(2⁴ · 3²) = а₀(2⁴) + а₀(3²) = 8 + 6 = 14

а₀(2,000) = а₀(2⁴ · 5³) = а₀(2⁴) + а₀(5³) = 8 + 15 = 23

а₀(2,003) = 2003

а₀(54,032,858,972,279) = 1240658

а₀(54,032,858,972,302) = 1780417

а₀(20,802,650,704,327,415) = 1240681

• Функция Ω (п), определяемая как общее количество главные факторы из п, многократный подсчет нескольких факторов, иногда называемый «функцией большой омеги» (последовательность A001222 в OEIS ). Например;

Ω (1) = 0, так как 1 не имеет простых делителей

Ω (4) = 2

Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2 · 2) = 4

Ω (20) = Ω (2 · 2 · 5) = 3

Ω (27) = Ω (3 · 3 · 3) = 3

Ом (144) = Ом (2⁴ · 3²) = Ω (2⁴) + Ω (3²) = 4 + 2 = 6

Ом (2,000) = Ом (2⁴ · 5³) = Ω (2⁴) + Ω (5³) = 4 + 3 = 7

Ом (2001) = 3

Ом (2,002) = 4

Ом (2,003) = 1

Ом (54 032 858 972 279) = 3

Ом (54 032 858 972 302) = 6

Ом (20,802,650,704,327,415) = 7

Примеры аддитивных, но не полностью аддитивных арифметических функций:

• ω (п), определяемая как общее количество разные главные факторы из п (последовательность A001221 в OEIS ). Например:

ω (4) = 1

ω (16) = ω (2⁴) = 1

ω (20) = ω (2² · 5) = 2

ω (27) = ω (3³) = 1

ω (144) = ω (2⁴ · 3²) = ω (2⁴) + ω (3²) = 1 + 1 = 2

ω (2000) = ω (2⁴ · 5³) = ω (2⁴) + ω (5³) = 1 + 1 = 2

ω (2001) = 3

ω (2,002) = 4

ω (2,003) = 1

ω (54 032 858 972 279) = 3

ω (54 032 858 972 302) = 5

ω (20,802,650,704,327,415) = 5

• а₁(п) - сумма различных простых чисел, делящих п, иногда называемый sopf (п) (последовательность A008472 в OEIS ). Например:

а₁(1) = 0

а₁(4) = 2

а₁(20) = 2 + 5 = 7

а₁(27) = 3

а₁(144) = а₁(2⁴ · 3²) = а₁(2⁴) + а₁(3²) = 2 + 3 = 5

а₁(2,000) = а₁(2⁴ · 5³) = а₁(2⁴) + а₁(5³) = 2 + 5 = 7

а₁(2,001) = 55

а₁(2,002) = 33

а₁(2,003) = 2003

а₁(54,032,858,972,279) = 1238665

а₁(54,032,858,972,302) = 1780410

а₁(20,802,650,704,327,415) = 1238677

Мультипликативные функции

От любой аддитивной функции ж(п) легко создать связанный мультипликативная функция грамм(п) то есть со свойством а и б взаимно просты:

грамм(ab) = грамм(а) × грамм(б).

Одним из таких примеров является грамм(п) = 2^ж(п).

Сумматорные функции

Учитывая аддитивную функцию ${\displaystyle f}$, пусть его сумматорная функция определяется выражением ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}$. Среднее значение ${\displaystyle f}$ дается точно как

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$

Сумматорные функции над ${\displaystyle f}$ может быть расширен как ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}$ куда

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}}$

Среднее значение функции ${\displaystyle f^{2}}$ также выражается этими функциями как

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}$

Всегда есть абсолютная постоянная ${\displaystyle C_{f}>0}$ так что для всех натуральных чисел ${\displaystyle x\geq 1}$,

${\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}$

Позволять

${\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}.}$

Предположим, что ${\displaystyle f}$ аддитивная функция с ${\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1}$ так что как ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$,

${\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .}$

потом ${\displaystyle \nu (x;z)\sim G(z)}$ куда ${\displaystyle G(z)}$ это Функция распределения Гаусса

${\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.}$

Примеры этого результата, относящиеся к основная функция омега а числа простых делителей сдвинутых простых чисел включают следующее для фиксированных ${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$ где соотношения выполняются для ${\displaystyle x\gg 1}$:

${\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}$

${\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).}$

Смотрите также

• Аддитивность сигмы
• Основная функция омега
• Мультипликативная функция
• Арифметическая функция

Рекомендации

1. Erdös, P., and M. Kac. О гауссовском законе ошибок в теории аддитивных функций. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 апрель; 25 (4): 206–207. онлайн

дальнейшее чтение

• Янко Брачич, Kolobar aritmetičnih funkcij (Звенеть арифметических функций), (Обзорник мат, физ. 49 (2002) 4, стр. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
• Иванец и Ковальский, Аналитическая теория чисел, AMS (2004).