Метод круга Харди – Литтлвуда - Hardy–Littlewood circle method

В математика, то Метод круга Харди – Литтлвуда это техника аналитическая теория чисел. Он назван в честь Г. Х. Харди и Дж. Э. Литтлвуд, который разработал его в серии статей по Проблема Варинга.

История

Первоначальная идея обычно приписывается работе Харди с Шриниваса Рамануджан несколькими годами ранее, в 1916 и 1917 годах, на асимптотика из функция распределения. Его подхватили многие другие исследователи, в том числе Гарольд Давенпорт и Виноградов И. М., который немного изменил формулировку (переход от комплексный анализ к экспоненциальные суммы ), не меняя широких линий. Затем последовали сотни статей, и по состоянию на 2013 г.^{[Обновить]} метод по-прежнему дает результаты. Метод является предметом монографии. Воан (1997) к Р. К. Воан.

Контур

Цель состоит в том, чтобы доказать асимптотическое поведение ряда: показать, что ${\displaystyle a_{n}\sim F(n)}$ для какой-то функции. Это делается путем взятия производящая функция серии, затем вычисляя остатки около нуля (по сути Коэффициенты Фурье ). Технически производящая функция масштабируется так, чтобы радиус сходимости равнялся 1, поэтому у нее есть особенности на единичной окружности - таким образом, нельзя использовать контурный интеграл по единичной окружности.

Метод круга предназначен для вычисления этих остатков с помощью разделение окружность на малые дуги (основная часть круга) и большие дуги (маленькие дуги, содержащие наиболее значимые особенности), а затем ограничение поведения на малых дугах. Ключевым моментом является то, что во многих интересных случаях (например, тета-функции ) особенности возникают на корни единства, а значение особенностей порядка Последовательность Фари. Таким образом, можно исследовать наиболее важные особенности и, если повезет, вычислить интегралы.

Настраивать

Рассматриваемый круг изначально был единичный круг в комплексной плоскости. Предполагая, что проблема была сначала сформулирована в терминах, которые для последовательности комплексных чисел

а_п, п = 0, 1, 2, 3, ...

нам нужна асимптотическая информация типа

а_п ~ F(п)

где у нас есть эвристический причина угадывать форму, принятую F (ан анзац ), мы пишем

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}z^{n}}$

а степенной ряд производящая функция. Интересны случаи, когда ж тогда из радиус схождения равным 1, и мы предполагаем, что поставленная задача была изменена, чтобы представить эту ситуацию.

Остатки

Из этой формулировки прямо следует теорема о вычетах который

${\displaystyle I_{n}=\int f(z)z^{-(n+1)}\,dz=2\pi ia_{n}}$

для целых чисел п ≥ 0, где интеграл берется по окружности радиуса р и с центром в 0 для любого р с

0 < р < 1.

То есть это контурный интеграл, причем контур представляет собой описанную окружность, пройденную один раз против часовой стрелки. Пока это относительно элементарно. Мы хотели бы взять р = 1 напрямую, т.е. использовать контур единичной окружности. В постановке комплексного анализа это проблематично, поскольку значения ж там вообще не определены.

Особенности на единичной окружности

Проблема, решаемая методом круга, состоит в том, чтобы заставить проблему взятия р = 1, хорошо понимая природу особенностей ж экспонаты на единичном круге. Основная идея заключается в том, что роль Последовательность Фари рациональных чисел, или, что то же самое, корни единства

${\displaystyle \zeta \ =\exp \left({\frac {2\pi ir}{s}}\right).}$

Здесь знаменатель s, при условии, что р / с является в самые низкие сроки, оказывается, для определения относительной важности сингулярного поведения типичных ж около ζ.

Метод

Таким образом можно выразить круговой метод Харди – Литтлвуда для комплексно-аналитической формулировки. Вклад в оценку я_п, так как р → 1, следует рассматривать двояко, традиционно называемые основные дуги и второстепенные дуги. Разобьем корни единицы z на два класса в зависимости от того, s ≤ N, или же s > N, куда N является функцией п это наше право выбирать. Интегральный я_п делится на интегралы, каждый на некоторой дуге окружности, примыкающей к ζ, длины которой зависят от s (опять же, на наше усмотрение). Дуги составляют весь круг; сумма интегралов по основные дуги составляет 2πесли(п) (реально это произойдет до управляемого остаточного члена). Сумма интегралов по второстепенные дуги должен быть заменен верхняя граница, по порядку меньше F(п).

Обсуждение

Говоря так смело, совсем не ясно, можно ли заставить это работать. Понимание этого довольно глубокое. Один ясный источник - теория тета-функции.

Проблема Варинга

В контексте проблемы Варинга степени тета-функций являются производящими функциями для функция суммы квадратов. Их аналитическое поведение известно гораздо точнее, чем, например, кубиков.

Типичное сингулярное поведение тета-функции

Это тот случай, как показывает диаграмма в искусственных цветах, что для тета-функции `` самая важная '' точка на граничном круге находится в точке z = 1; с последующим z = −1, и тогда два комплексных кубические корни из единства в 7 часов и 11 часов. После этого это четвертые корни единства я и -я это самое главное. Хотя ничто в этом не гарантирует, что аналитический метод будет работать, он все же объясняет логику использования критерия типа ряда Фарея для корней из единицы.

В случае проблемы Варинга требуется достаточно высокая степень производящей функции, чтобы вызвать ситуацию, в которой особенности, организованные в так называемые особая серия, преобладают. Чем менее расточительны оценки, используемые для остальных, тем точнее результаты. В качестве Брайан Берч сказал он, метод по своей сути расточителен. Это не относится к случаю статистической суммы, которая сигнализирует о возможности того, что в благоприятной ситуации можно будет контролировать потери от оценок.

Тригонометрические суммы Виноградова

Позже И. М. Виноградов расширил технику, заменив формулировку экспоненциальной суммы. ж(z) с конечным Ряд Фурье, так что соответствующий интеграл я_п это Коэффициент Фурье. Виноградов применил конечные суммы к проблеме Варинга в 1926 году, и общий метод тригонометрических сумм стал известен как «круговой метод Харди, Литтлвуда и Рамануджана в форме тригонометрических сумм Виноградова».^[1] По сути, все это означает отбрасывание всего «хвоста» производящей функции, позволяя бизнесу р в операции ограничения следует установить непосредственно на значение 1.

Приложения

Уточнения метода позволили доказать результаты о растворах однородных Диофантовы уравнения, пока количество переменных k большой по отношению к степени d (видеть Теорема Берча Например). Оказывается, это вклад в Принцип Хассе, способные давать количественную информацию. Если d фиксируется и k мала, требуются другие методы, и действительно, принцип Хассе терпит неудачу.

Контур Радемахера

Круги Форда: Круг покоится на каждой фракции в самом низком смысле. Более темные круги показаны для фракций 0/1, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5 и 4 /. 5. Каждый круг касательный к базовой линии и соседним с ней окружностям (см. также Касательные линии к окружностям ). У дробей с одинаковым знаменателем кружки одинакового размера.

В частном случае, когда метод круга применяется для нахождения коэффициентов модульной формы отрицательного веса, Ганс Радемахер нашел модификацию контура, которая заставляет ряды, возникающие из метода круга, сходиться к точному результату. Для описания его контура удобно заменить единичную окружность верхней полуплоскостью, сделав замену z = exp (2πяτ), так что контурный интеграл становится интегралом от τ =я к τ = 1 +я. (Номер я можно заменить на любое число в верхней полуплоскости, но я - наиболее удобный выбор.) Контур Радемахера (более или менее) задается границами всех Круги Форда от 0 до 1, как показано на схеме. Замена линии от я до 1 +я границами этих кругов является нетривиальный предельный процесс, который может быть оправдан для модульных форм, имеющих отрицательный вес, и с большей осторожностью может быть оправдан также для непостоянных членов в случае веса 0 (другими словами модульные функции ).

Примечания

1. Марджанишвили (1985), стр. 387–8.

Рекомендации

• Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97127-8
• К. К. Марджанишвили, Иван Матвеевич Виноградов: краткий очерк жизни и творчества, в Виноградов И. М., Избранные произведения. (Берлин, 1985)
• Радемахер, Ганс (1943), «О разложении статистической суммы в ряд», Анналы математики, Вторая серия, Анналы математики, Vol. 44, № 3, 44 (3): 416–422, Дои:10.2307/1968973, JSTOR  1968973, МИСТЕР  0008618
• Воган, Р.С. (1997), Метод Харди – Литтлвуда, Кембриджские трактаты по математике, 125 (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-57347-4

дальнейшее чтение

• Ван, Юань (1991). Диофантовы уравнения и неравенства в полях алгебраических чисел. Берлин: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-642-58171-7. ISBN  9783642634895. OCLC  851809136.

внешняя ссылка

• Теренс Тао, Эвристические ограничения метода круга, сообщение в блоге в 2012 году