Теорема Берча - Birchs theorem

В математика, Теорема Берча,^[1] назван в честь Брайан Джон Берч, является утверждением о представимости нуля формами нечетной степени.

Утверждение теоремы Берча.

Позволять K быть поле алгебраических чисел, k, л и п быть натуральными числами, р₁, . . . ,р_k быть нечетными натуральными числами и ж₁, . . . ,ж_k быть однородные многочлены с коэффициентами в K степеней р₁, . . . ,р_k соответственно в п переменных, то существует число ψ (р₁, . . . ,р_k,л,K) такие, что

${\displaystyle n\geq \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)}$

означает, что существует л-мерное векторное подпространство V из K^п такой, что

${\displaystyle f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0,\quad \forall x\in V.}$

Замечания

Доказательство теоремы проводится индукция по максимальной степени форм ж₁, . . . ,ж_k. Существенным для доказательства является частный случай, который может быть доказан применением Метод круга Харди – Литтлвуда, теоремы о том, что если п достаточно большой и р нечетно, то уравнение

${\displaystyle c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,i=1,\ldots ,n}$

имеет решение в целых числах Икс₁, . . . ,Икс_п, не все из которых равны 0.

Ограничение на нечетное р необходимо, так как формы четной степени, такие как положительно определенные квадратичные формы, может принимать значение 0 только в начале координат.

Рекомендации

1. Б. Дж. Берч, Однородные формы нечетной степени от большого числа переменных, Математика, 4, страницы 102–105 (1957)