Функция суммы квадратов - Sum of squares function

В теория чисел, то функция суммы квадратов является арифметическая функция что дает количество представления для данного положительного целое число п как сумма k квадраты, где представления, различающиеся только порядком слагаемые или в знаках возводимых в квадрат чисел считаются разными и обозначаются р_k(п).

Определение

В функция определяется как

${\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}$

куда ${\displaystyle |\,\ |}$ обозначает мощность из набор. Другими словами, р_k(п) это количество способов п можно записать как сумму k квадраты.

Например, ${\displaystyle r_{2}(1)=4}$ поскольку ${\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}}$ где каждая сумма имеет две комбинации знаков, а также ${\displaystyle r_{2}(2)=4}$ поскольку ${\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}}$ с четырьмя знаковыми комбинациями. С другой стороны, ${\displaystyle r_{2}(3)=0}$ потому что невозможно представить 3 как сумму двух квадратов.

Формулы

k = 2

Основная статья: Теорема о сумме двух квадратов

Количество способов написать натуральное число так как сумма двух квадратов определяется выражением р₂(п). Это явно задается

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))}$

куда d₁(п) это количество делители из п которые конгруэнтный к 1 по модулю 4 и d₃(п) это количество делителей п которые сравнимы с 3 по модулю 4. Используя суммы, выражение можно записать как:

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}}$

Премьер факторизация ${\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots }$, куда ${\displaystyle p_{i}}$ являются главные факторы формы ${\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},}$ и ${\displaystyle q_{i}}$ простые множители вида ${\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}}$ дает другую формулу

${\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots }$, если все экспоненты ${\displaystyle h_{1},h_{2},\cdots }$ находятся четное. Если один или несколько ${\displaystyle h_{i}}$ находятся странный, тогда ${\displaystyle r_{2}(n)=0}$.

k = 3

Основная статья: Теорема Лежандра о трех квадратах

Гаусс доказал, что для бесквадратный номер п > 4,

${\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{if }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

куда час(м) обозначает номер класса целого числа м.

k = 4

Основная статья: Теорема Якоби о четырех квадратах

Количество способов представления п поскольку сумма четырех квадратов была обусловлена Карл Густав Якоб Якоби и он в восемь раз больше суммы всех его делителей, которые не делятся на 4, т. е.

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.}$

Представляя п = 2^kм, куда м нечетное целое число, можно выразить ${\displaystyle r_{4}(n)}$ с точки зрения делительная функция следующее:

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).}$

k = 8

Якоби также нашел явная формула для случая k = 8:

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.}$

Производящая функция

В производящая функция из последовательность ${\displaystyle r_{k}(n)}$ для фиксированного k можно выразить через Тета-функция Якоби:^[1]

${\displaystyle \vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},}$

куда

${\displaystyle \vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .}$

Числовые значения

Первые 30 значений для ${\displaystyle r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8}$ перечислены в таблице ниже:

п	=	р1(п)	р2(п)	р3(п)	р4(п)	р5(п)	р6(п)	р7(п)	р8(п)
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	2^2	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	2^3	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	3^2	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	2^2×3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	2^4	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×3^2	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	2^2×5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	2^3×3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	5^2	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	3^3	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	2^2×7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

Смотрите также

• Теорема Якоби о четырех квадратах

Рекомендации

1. Милн, Стивен С. (2002). "Вступление". Бесконечные семейства точных сумм формул квадратов, эллиптические функции Якоби, непрерывные дроби и функции Шура. Springer Science & Business Media. п. 9. ISBN  1402004915.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция суммы квадратов». MathWorld.