Теорема о сумме двух квадратов - Sum of two squares theorem

В теория чисел, то теорема о сумме двух квадратов связывает разложение на простые числа любой целое число п > 1 на то, можно ли это записать как сумму двух квадраты, так что п = а² + б² для некоторых целых чисел а, б.

Целое число больше единицы можно записать как сумму двух квадратов если и только если это разложение на простые числа не содержит термина п^k, куда основной ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$ и k странный.^[1]

Эта теорема дополняет Теорема Ферма о суммах двух квадратов который говорит, когда простое число можно записать как сумму двух квадратов, так как это также покрывает случай составные числа.

Примеры

Простое разложение числа 2450 даётся как 2450 = 2.· 5² · 7². Из простых чисел, встречающихся в этом разложении, 2, 5 и 7, только 7 сравнимо с 3 по модулю 4. Его показатель степени в разложении 2 равен четное. Следовательно, теорема утверждает, что это можно выразить как сумму двух квадратов. В самом деле, 2450 = 7² + 49².

Число 3430 разложено на 2.· 5 · 7³. На этот раз показатель 7 в разложении равен 3, нечетному числу. Итак, 3430 нельзя записать как сумму двух квадратов.

Смотрите также

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи. Эта идентичность влечет за собой то, что набор всех сумм двух квадратов составляет закрыто при умножении.
• Теорема Лагранжа о четырех квадратах
• Постоянная Ландау – Рамануджана, используемый в формуле для плотности чисел, которые представляют собой суммы двух квадратов
• Теорема Лежандра о трех квадратах

Рекомендации

1. Дадли, Андервуд (1969). «Суммы двух квадратов». Элементарная теория чисел. W.H. Фримен и компания. С. 135–139.