Теорема Лежандра о трех квадратах - Legendres three-square theorem

В математика, Теорема Лежандра о трех квадратах заявляет, что натуральное число можно представить как сумму трех квадратов целых чисел

если и только если п не является формы для неотрицательных целых чисел а и б.

Первые числа, которые не могут быть выражены как сумма трех квадратов (т.е. числа, которые могут быть выражены как ) находятся

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 ... (последовательность A004215 в OEIS ).

История

Пьер де Ферма дали критерий для чисел вида 3а +1, чтобы быть суммой трех квадратов, но не является доказательством. Бегелин заметил в 1774 году[1] что каждое положительное целое число, не имеющее формы 8п + 7, ни в форме 4п, представляет собой сумму трех квадратов, но не дало удовлетворительного доказательства.[2] В 1796 году Гаусс доказал свое Теорема эврики что каждое положительное целое число п это сумма 3 треугольные числа; это равносильно тому, что 8п + 3 - это сумма трех квадратов. В 1797 или 1798 году ЯВЛЯЮСЬ. Legendre получил первое доказательство своей теоремы о трех квадратах.[3] В 1813 г. А. Л. Коши отметил[4] что теорема Лежандра эквивалентна утверждению из введения выше. Раньше, в 1801 году, К. Ф. Гаусс получил более общий результат,[5] содержащую теорему Лежандра 1797–17978 гг. в качестве следствия. В частности, Гаусс подсчитал количество решений выражения целого числа как сумму трех квадратов, и это является обобщением еще одного результата Лежандра:[6] чье доказательство неполное. Этот последний факт, по-видимому, является причиной более поздних неверных утверждений, согласно которым доказательство Лежандра теоремы о трех квадратах было дефектным и должно было быть завершено Гауссом.[7]

С Теорема Лагранжа о четырех квадратах и теорема двух квадратов Жирара, Ферма и Эйлера, Проблема Варинга за k = 2 полностью решено.

Доказательства

«Только если» теоремы просто потому, что по модулю 8, каждый квадрат конгруэнтен 0, 1 или 4. Существует несколько доказательств обратного (помимо доказательства Лежандра). Один из них связан с Дж. П. Г. Л. Дирихле в 1850 году и стал классическим.[8] Для этого потребуются три основные леммы:

Связь с теоремой четырех квадратов

Эта теорема может быть использована для доказательства Теорема Лагранжа о четырех квадратах, который гласит, что все натуральные числа можно записать как сумму четырех квадратов. Гаусс[9] указал, что теорема о четырех квадратах легко следует из того факта, что любое положительное целое число, равное 1 или 2 по модулю 4, является суммой трех квадратов, потому что любое положительное целое число, не делящееся на 4, может быть приведено к этой форме путем вычитания 0 или 1 из Однако доказательство теоремы о трех квадратах значительно сложнее, чем прямое доказательство теоремы о четырех квадратах, которое не использует теорему о трех квадратах. Действительно, теорема о четырех квадратах была доказана ранее, в 1770 году.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, опубл. 1776), стр. 313–369.
  2. ^ Леонард Юджин Диксон, История теории чисел, т. II, стр. 15 (Вашингтонский институт Карнеги, 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, перепечатка).
  3. ^ ЯВЛЯЮСЬ. Лежандр, Essai sur la théorie des nombres, Париж, An VI (1797–1798), стр. 202 и стр. 398–399.
  4. ^ А. Л. Коши, Mém. Sci. Математика. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813–1815), 177.
  5. ^ К. Ф. Гаусс, Disquisitiones Arithmeticae, Изобразительное искусство. 291 и 292.
  6. ^ ЯВЛЯЮСЬ. Лежандр, Hist. et Mém. Акад. Рой. Sci. Париж, 1785, стр. 514–515.
  7. ^ См. Например: Елена Деза и М. Деза. Фигурные числа. World Scientific 2011, стр. 314 [1]
  8. ^ См., Например, т. I, части I, II и III: Э. Ландау, Vorlesungen über Zahlentheorie, Нью-Йорк, Челси, 1927. Второе издание переведено на английский Джейкобом Э. Гудманом, Providence RH, Chelsea, 1958.
  9. ^ Гаусс, Карл Фридрих (1965), Disquisitiones Arithmeticae, Издательство Йельского университета, стр. 342, раздел 293, ISBN  0-300-09473-6