Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях - Dirichlets theorem on arithmetic progressions

В теория чисел, Теорема Дирихле, также называемый Дирихле простое число теорема утверждает, что для любых двух положительных совмещать целые числа а иd, бесконечно много простые числа формы а + nd, куда п также является положительным целым числом. Другими словами, существует бесконечно много простых чисел, которые конгруэнтный к а по модулю d. Цифры формы а + nd для мужчин арифметическая прогрессия

{ Displaystyle а, а + d, а + 2d, а + 3d, точки, }

и теорема Дирихле утверждает, что эта последовательность содержит бесконечно много простых чисел. Теорема, названная в честь Питер Густав Лежен Дирихле, расширяет Теорема евклида что существует бесконечно много простых чисел. Более сильные формы теоремы Дирихле утверждают, что для любой такой арифметической прогрессии сумма взаимные простых чисел в прогрессии расходится, и что разные такие арифметические прогрессии с одинаковым модулем имеют примерно одинаковые пропорции простых чисел. Эквивалентно простые числа равномерно (асимптотически) распределяются между классами сравнения по модулю d содержащий а 'совпадает с d.

Примеры

Целое число является простым для Гауссовские целые числа если либо квадрат его модуля является простым числом (в нормальном смысле), либо одна из его частей равна нулю, а абсолютное значение другой является простым числом, сравнимым с 3 по модулю 4, простые числа (в обычном смысле) типа 4п + 3 ар (последовательность A002145 в OEIS )

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, ...

Они соответствуют следующим значениям п: (последовательность A095278 в OEIS )

0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ...

Из сильной формы теоремы Дирихле следует, что

{ displaystyle { frac {1} {3}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {11}} + { frac {1} {19}} + { frac {1} {23}} + { frac {1} {31}} + { frac {1} {43}} + { frac {1} {47}} + { frac {1} {59} } + { frac {1} {67}} + cdots}

это расходящийся ряд.

В следующей таблице перечислены несколько арифметических прогрессий с бесконечным числом простых чисел и первые несколько чисел в каждом из них.


Арифметика прогресс	Первые 10 из бесконечного множества простых чисел	OEIS последовательность
2п + 1	3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …	A065091
4п + 1	5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, …	A002144
4п + 3	3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, …	A002145
6п + 1	7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, …	A002476
6п + 5	5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, …	A007528
8п + 1	17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, …	A007519
8п + 3	3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, …	A007520
8п + 5	5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, …	A007521
8п + 7	7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, …	A007522
10п + 1	11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, …	A030430
10п + 3	3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, …	A030431
10п + 7	7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, …	A030432
10п + 9	19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, …	A030433
12п + 1	13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, ...	A068228
12п + 5	5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, ...	A040117
12п + 7	7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, ...	A068229
12п + 11	11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, ...	A068231

Распределение

Поскольку простые числа истончаются в среднем в соответствии с теорема о простых числах, то же самое должно быть верно и для простых чисел в арифметических прогрессиях. Естественно спросить, как простые числа распределяются между различными арифметическими прогрессиями для данного значения d (Существуют d из них, по сути, если не различать две прогрессии, разделяющие почти все их условия). Ответ дается в такой форме: количество возможных прогрессий по модулю d - те, где а и d не имеют общего множителя> 1 - определяется выражением Функция Эйлера

{ displaystyle varphi (d). }

Кроме того, доля простых чисел в каждом из них равна

{ displaystyle { frac {1} { varphi (d)}}. }

Например, если d это простое число q, каждый из q - 1 прогрессия

{ Displaystyle д + 1,2q + 1,3q + 1 точки }

{ Displaystyle д + 2,2q + 2,3q + 2 точки }

{ Displaystyle точки }

{ Displaystyle д + д-1,2q + д-1,3q + д-1 точки }

(все, кроме ${ Displaystyle q, 2q, 3q, точки }$ )

содержит пропорцию 1 / (q - 1) простых чисел.

По сравнению друг с другом прогрессии с квадратичным невычетным остатком обычно имеют немного больше элементов, чем прогрессии с квадратичным остатком (Предвзятость Чебышева ).

История

В 1737 году Эйлер связал изучение простых чисел с тем, что сейчас известно как дзета-функция Римана: он показал, что значение ${ displaystyle zeta (1)}$ сводится к соотношению двух бесконечных произведений, Π п / Π (п–1) для всех простых чисел п, и что отношение бесконечно.^[1]^[2] В 1775 году Эйлер сформулировал теорему для случаев a + nd, где a = 1.^[3] Этот частный случай теоремы Дирихле может быть доказан с помощью круговых многочленов.^[4]Общая форма теоремы была впервые высказана Legendre в его безуспешных попытках доказательства квадратичная взаимность^[5] - в качестве Гаусс отметил в своем Disquisitiones Arithmeticae^[6] - но это было доказано Дирихле (1837 ) с Дирихле L-серии. Доказательство построено по образцу более ранней работы Эйлера, касающейся Дзета-функция Римана распределению простых чисел. Теорема представляет собой начало строгого аналитическая теория чисел.

Атле Сельберг (1949 ) дал элементарное доказательство.

Доказательство

Теорема Дирихле доказывается, показывая, что значение L-функция Дирихле (нетривиального персонаж ) в 1 отличен от нуля. Доказательство этого утверждения требует некоторого исчисления и аналитическая теория чисел (Серр 1973 ). В частном случае а = 1 (т.е. относительно простых чисел, сравнимых с 1 по модулю п) может быть доказано путем анализа поведения расщепления простых чисел в циклотомических расширениях без использования исчисления (Нойкирх 1999, §VII.6).

Обобщения

В Гипотеза Буняковского обобщает теорему Дирихле на многочлены высшей степени. Могут ли даже простые квадратичные многочлены, такие как Икс² + 1 (известно из Четвертая проблема Ландау ) достигают бесконечного числа простых значений. открытая проблема.

В Гипотеза Диксона обобщает теорему Дирихле более чем на один многочлен.

В Гипотеза Шинцеля H обобщает эти две гипотезы, т.е. обобщает более чем на один многочлен со степенью больше единицы.

В алгебраическая теория чисел, Теорема Дирихле обобщается на Теорема плотности Чеботарева.

Теорема Линника (1944) касается размера наименьшего простого числа в данной арифметической прогрессии. Линник доказал, что прогресс а + nd (в качестве п пробегает до положительных целых чисел) содержит простое число не более CD^L для абсолютных констант c и L. Последующие исследователи сократили L до 5.

Аналог теоремы Дирихле верен в рамках динамических систем (Т. Сунада и А. Кацуда, 1990).

Смотрите также

Примечания

^ Эйлер, Леонард (1737). "Вариации наблюдений около бесконечной серии" [Различные наблюдения о бесконечных сериях]. Комментарии Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 9: 160–188. ; конкретно, Теорема 7 на стр. 172–174.
^ Сандифер, К. Эдвард, Ранняя математика Леонарда Эйлера (Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 2007 г.), п. 253.
^ Леонард Эйлер, "De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31" и т. д. ubi numeri primi formae 4n - 1 habent signum positivum, formae autem 4n + 1 signum negativum "(На сумме ряда [составленных] простых чисел, расположенных 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 и т. Д., Где простые числа формы 4n - 1 имеют положительный знак, тогда как [те] формы 4n + 1 [имеют] отрицательный знак.) В: Леонард Эйлер, Opuscula analytica (Санкт-Петербург, Россия: Императорская Академия наук, 1785), т. 2. С. 240–256; см. стр. 241. С п. 241: "Quoniam porro numeri primi praeter binarium quasi a natura в классах duas indentur, prouti fuerint vel formae 4n + 1, vel formae 4n - 1, dum priores omnes sunt summae duorum quadratorum, posteriores vero ab hac proprietate penitus excluduca ex: series formatae, scillicet:1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + и т. Д. И т. Д.1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + и т. Д.ambae erunt pariter infinitae, id quod etiam de omnibus speciebus numerorum primorum est tenendum. Ita si ex numeris primis ii tantum excerpantur, qui sunt formae 100n + 1, cuiusmodi sunt 101, 401, 601, 701 и т. Д., Non solum multitudo eorum est infinita, sed etiam summa huius seriei ex illis formatae, scillicet:1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + и т. Д.etiam est infinita. " (Поскольку, кроме того, простые числа больше двух делятся, как будто по природе, на два класса, в зависимости от того, имеют ли они форму 4n + 1 или форму 4n - 1, поскольку все первые являются суммами двух квадратов , но последние полностью исключены из этого свойства: из обоих классов образован взаимный ряд, а именно: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + и т. д. и 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + и т. Д. Будут одинаково бесконечными, что [свойство] также должно быть у всех типов простых чисел. Таким образом, если из простых чисел выбираются только те, которые имеют форму 100n + 1, в том числе 101, 401, 601, 701 и т. Д., Не только их набор бесконечен, но и сумма ряда, образованного из этого [набора], а именно: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + и т. Д. Аналогично бесконечно.)
^ Нойкирх (1999), §I.10, упражнение 1.
^
Видеть:
- Ле Жандр (1785) "Recherches d'analyse indéterminée" (Исследования интердетерминантного анализа), Histoire de l'Académie royale des Sciences, avec les mémoires de mathématique et de Physique, стр. 465–559; особенно см. стр. 552. С п. 552: "34. Ремарк. Il seroit peut-être nécessaire de démontrer rigoureusement une selected que nous avons supposée dans plusieurs endroits de cet article, savoir, qu'il ya une infinité de nombres premiers, включающий в себя всю арифметическую прогрессию, dont le premier terme & la raison eux, ou, ce qui revient au même, dans la formule 2mx + μ, lorsque 2m & μ n'ont point de commun diviseur. Это предложение является сложным с точки зрения определения, зависит от того, может ли быть уверенность, что есть время, в сравнении с арифметической прогрессией, не имеющей значения, а ля прогрессия обыкновенная 1, 3, 5, 7 и т. Д. Si on prend un grand nombre de termes de ces progressions, le même dans les deux, & qu'on les dispose, par instance, de manière que le plus grand terme soit égal & à la même place de part & d'autre; on verra qu'en omettant de chaque côté les multiples de 3, 5, 7 и т. д. jusqu'à un specific nombre premier п, il doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou même il en restera moins dans la прогрессия 1, 3, 5, 7 и т. д. Maiscom dans celle-ci, il reste nécessairement des nombres premiers, il en doit rester aussi dans l'autre ". (34. Замечание. Возможно, потребуется строго доказать то, что мы предполагали в нескольких местах этой статьи, а именно, что существует бесконечное множество простых чисел, включенных в каждую арифметическую прогрессию, первый член и общая разность которых взаимно просты, или что означает то же самое в формуле 2mx + μ, когда 2m и μ вообще не имеют общих делителей. Это утверждение довольно трудно доказать, однако можно быть уверенным в его истинности, сравнивая рассматриваемую арифметическую прогрессию с обычной прогрессией 1, 3, 5, 7 и т. Д. Если взять большое количество членов этих прогрессий , одинаковое [количество терминов] в обоих, и если их расположить, например, таким образом, чтобы самый большой член был равен и находился в одном месте в обоих; можно увидеть, что, исключая из каждого числа, кратные 3, 5, 7 и т. д., до определенного простого числа п, в обоих должно оставаться одинаковое количество членов, или даже их останется меньше в прогрессии 1, 3, 5, 7 и т. д. Но, поскольку в этом [наборе] обязательно останутся простые числа, также должны остаться остаются одни в другом [множестве].)
- А. М. Лежандр, Essai sur la Théorie des Nombres (Париж, Франция: Дюпра, 1798 г.), Введение, С. 9–16. С п. 12: "XIX.… En général, a étant un nombre donné quelconque, tout nombres impair peut être représenté par la formule 4ax ± b, dans laquelle b est impair et moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs possible de b on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on the formule 4ax ± b, dans laquelle b est impair et moindre que 2a". un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé,… " (XIX.… В общем, а будучи любым заданным числом, все нечетные числа могут быть представлены формулой 4ax ± b, в котором б странно и меньше 2а. Если среди всех возможных значений б удаляются те, которые имеют общий делитель с а, остальные формулы 4ax ± b включить среди них все простые числа…)
- А. М. Лежандр, Essai sur la Théorie des Nombres, 2-е изд. (Париж, Франция: Courcier, 1808), п. 404. С п. 404: "Soit donnée une progression arithmétique quelconque A - C, 2A - C, 3A - C, etc., dans laquelle A et C sont premiers entre eux; soit donnée aussi une suite θ, λ, μ… ψ, ω, composée de k nombres premiers impairs, pris à volonté et disés dans un order quelconque; si on appelle en général π^(z) ле з^ième terme de la suite naturelle des nombres premiers 3, 5, 7, 11 и т. д., je dis que sur π^(к-1) termes consécutifs de la progression separated, il y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun des nombres premiers θ, λ, μ… ψ, ω ». (Пусть дана любая арифметическая прогрессия A - C, 2A - C, 3A - C и т. Д., В которой A и C просты между собой [т. Е. Взаимно просты]; пусть также дан ряд θ, λ, μ … Ψ, ω состоит из k нечетные простые числа, взятые произвольно и расположенные в любом порядке; если вообще назвать π^(z) то z^th член натурального ряда простых чисел 3, 5, 7, 11 и т.д., я утверждаю, что среди π^(k-1) последовательных членов предложенной прогрессии, будет по крайней мере один из них, который не будет делиться ни на одно из простых чисел θ, λ, μ… ψ, ω.) Это утверждение было доказано ложным в 1858 году Антанасом Луи Дюпре (1808 -1869). Видеть:
- Дюпре, А. (1859) Examen d'une proposition de Legendre relative à la théorie des nombres [Исследование предложения Лежандра относительно теории чисел] (Париж, Франция: Малле-Башелье, 1859).
- Наркевич, Владислав, Развитие теории простых чисел: от Евклида до Харди и Литтлвуда (Берлин, Германия: Springer, 2000); особенно см. стр. 50.
^ Карл Фридрих Гаусс, Disquisitiones arithmeticae (Лейпциг, (Германия): Герхард Флейшер младший, 1801 г.), Раздел 297, С. 507–508. Со стр. 507–508: "Ill. Le Gendre ipse fatetur, демонстрация теоремы, sub tali forma kt + л, дизайнантибус k, л numeros inter se primos datos, т indefinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, methodumque obiter addigitat, quae forsan illuc Conducere Possit; multae vero disquisitiones praeliminares needsariae nobis videntur, antequam hacce quidem через объявление демонстрации rigorosam pervenire liceat ". (Сам прославленный Ле Жандр признает, [что] доказательство теоремы - [а именно, что] среди [целых чисел] вида kt + л, [куда] k и л обозначают данные целые числа [которые] просты между собой [то есть взаимно просты] [и] т обозначает переменную, конечно, простые числа содержатся - это кажется достаточно сложным, и, кстати, он указывает метод, который, возможно, мог бы привести к этому; однако мы [предвидим] многие предварительные и необходимые исследования, прежде чем эта [гипотеза] действительно может выйти на путь к строгому доказательству.)

внешняя ссылка

Сканы оригинальной бумаги на немецком языке
Дирихле: Во всех арифметических прогрессиях бесконечно много простых чисел, первый член и разность которых взаимно просты. Английский перевод оригинальной статьи в архиве arXiv
Теорема Дирихле Джей Варендорф, Вольфрам Демонстрационный проект.

[1] Эйлер, Леонард (1737). "Вариации наблюдений около бесконечной серии" [Различные наблюдения о бесконечных сериях]. Комментарии Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 9: 160–188. ; конкретно, Теорема 7 на стр. 172–174.

[2] Сандифер, К. Эдвард, Ранняя математика Леонарда Эйлера (Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 2007 г.), п. 253.

[3] Леонард Эйлер, "De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31" и т. д. ubi numeri primi formae 4n - 1 habent signum positivum, formae autem 4n + 1 signum negativum "(На сумме ряда [составленных] простых чисел, расположенных 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/31 и т. Д., Где простые числа формы 4n - 1 имеют положительный знак, тогда как [те] формы 4n + 1 [имеют] отрицательный знак.) В: Леонард Эйлер, Opuscula analytica (Санкт-Петербург, Россия: Императорская Академия наук, 1785), т. 2. С. 240–256; см. стр. 241. С п. 241: "Quoniam porro numeri primi praeter binarium quasi a natura в классах duas indentur, prouti fuerint vel formae 4n + 1, vel formae 4n - 1, dum priores omnes sunt summae duorum quadratorum, posteriores vero ab hac proprietate penitus excluduca ex: series formatae, scillicet:1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + и т. Д. И т. Д.1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + и т. Д.ambae erunt pariter infinitae, id quod etiam de omnibus speciebus numerorum primorum est tenendum. Ita si ex numeris primis ii tantum excerpantur, qui sunt formae 100n + 1, cuiusmodi sunt 101, 401, 601, 701 и т. Д., Non solum multitudo eorum est infinita, sed etiam summa huius seriei ex illis formatae, scillicet:1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + и т. Д.etiam est infinita. " (Поскольку, кроме того, простые числа больше двух делятся, как будто по природе, на два класса, в зависимости от того, имеют ли они форму 4n + 1 или форму 4n - 1, поскольку все первые являются суммами двух квадратов , но последние полностью исключены из этого свойства: из обоих классов образован взаимный ряд, а именно: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + и т. д. и 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + и т. Д. Будут одинаково бесконечными, что [свойство] также должно быть у всех типов простых чисел. Таким образом, если из простых чисел выбираются только те, которые имеют форму 100n + 1, в том числе 101, 401, 601, 701 и т. Д., Не только их набор бесконечен, но и сумма ряда, образованного из этого [набора], а именно: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + и т. Д. Аналогично бесконечно.)

[FOOTNOTENeukirch1999§I.10,_Exercise_1-4] Нойкирх (1999), §I.10, упражнение 1.

[5] Видеть:
Ле Жандр (1785) "Recherches d'analyse indéterminée" (Исследования интердетерминантного анализа), Histoire de l'Académie royale des Sciences, avec les mémoires de mathématique et de Physique, стр. 465–559; особенно см. стр. 552. С п. 552: "34. Ремарк. Il seroit peut-être nécessaire de démontrer rigoureusement une selected que nous avons supposée dans plusieurs endroits de cet article, savoir, qu'il ya une infinité de nombres premiers, включающий в себя всю арифметическую прогрессию, dont le premier terme & la raison eux, ou, ce qui revient au même, dans la formule 2mx + μ, lorsque 2m & μ n'ont point de commun diviseur. Это предложение является сложным с точки зрения определения, зависит от того, может ли быть уверенность, что есть время, в сравнении с арифметической прогрессией, не имеющей значения, а ля прогрессия обыкновенная 1, 3, 5, 7 и т. Д. Si on prend un grand nombre de termes de ces progressions, le même dans les deux, & qu'on les dispose, par instance, de manière que le plus grand terme soit égal & à la même place de part & d'autre; on verra qu'en omettant de chaque côté les multiples de 3, 5, 7 и т. д. jusqu'à un specific nombre premier п, il doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou même il en restera moins dans la прогрессия 1, 3, 5, 7 и т. д. Maiscom dans celle-ci, il reste nécessairement des nombres premiers, il en doit rester aussi dans l'autre ". (34. Замечание. Возможно, потребуется строго доказать то, что мы предполагали в нескольких местах этой статьи, а именно, что существует бесконечное множество простых чисел, включенных в каждую арифметическую прогрессию, первый член и общая разность которых взаимно просты, или что означает то же самое в формуле 2mx + μ, когда 2m и μ вообще не имеют общих делителей. Это утверждение довольно трудно доказать, однако можно быть уверенным в его истинности, сравнивая рассматриваемую арифметическую прогрессию с обычной прогрессией 1, 3, 5, 7 и т. Д. Если взять большое количество членов этих прогрессий , одинаковое [количество терминов] в обоих, и если их расположить, например, таким образом, чтобы самый большой член был равен и находился в одном месте в обоих; можно увидеть, что, исключая из каждого числа, кратные 3, 5, 7 и т. д., до определенного простого числа п, в обоих должно оставаться одинаковое количество членов, или даже их останется меньше в прогрессии 1, 3, 5, 7 и т. д. Но, поскольку в этом [наборе] обязательно останутся простые числа, также должны остаться остаются одни в другом [множестве].)
А. М. Лежандр, Essai sur la Théorie des Nombres (Париж, Франция: Дюпра, 1798 г.), Введение, С. 9–16. С п. 12: "XIX.… En général, a étant un nombre donné quelconque, tout nombres impair peut être représenté par la formule 4ax ± b, dans laquelle b est impair et moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs possible de b on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on the formule 4ax ± b, dans laquelle b est impair et moindre que 2a". un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé,… " (XIX.… В общем, а будучи любым заданным числом, все нечетные числа могут быть представлены формулой 4ax ± b, в котором б странно и меньше 2а. Если среди всех возможных значений б удаляются те, которые имеют общий делитель с а, остальные формулы 4ax ± b включить среди них все простые числа…)
А. М. Лежандр, Essai sur la Théorie des Nombres, 2-е изд. (Париж, Франция: Courcier, 1808), п. 404. С п. 404: "Soit donnée une progression arithmétique quelconque A - C, 2A - C, 3A - C, etc., dans laquelle A et C sont premiers entre eux; soit donnée aussi une suite θ, λ, μ… ψ, ω, composée de k nombres premiers impairs, pris à volonté et disés dans un order quelconque; si on appelle en général π^(z) ле з^ième terme de la suite naturelle des nombres premiers 3, 5, 7, 11 и т. д., je dis que sur π^(к-1) termes consécutifs de la progression separated, il y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun des nombres premiers θ, λ, μ… ψ, ω ». (Пусть дана любая арифметическая прогрессия A - C, 2A - C, 3A - C и т. Д., В которой A и C просты между собой [т. Е. Взаимно просты]; пусть также дан ряд θ, λ, μ … Ψ, ω состоит из k нечетные простые числа, взятые произвольно и расположенные в любом порядке; если вообще назвать π^(z) то z^th член натурального ряда простых чисел 3, 5, 7, 11 и т.д., я утверждаю, что среди π^(k-1) последовательных членов предложенной прогрессии, будет по крайней мере один из них, который не будет делиться ни на одно из простых чисел θ, λ, μ… ψ, ω.) Это утверждение было доказано ложным в 1858 году Антанасом Луи Дюпре (1808 -1869). Видеть:
Дюпре, А. (1859) Examen d'une proposition de Legendre relative à la théorie des nombres [Исследование предложения Лежандра относительно теории чисел] (Париж, Франция: Малле-Башелье, 1859).
Наркевич, Владислав, Развитие теории простых чисел: от Евклида до Харди и Литтлвуда (Берлин, Германия: Springer, 2000); особенно см. стр. 50.

[6] Ле Жандр (1785) "Recherches d'analyse indéterminée" (Исследования интердетерминантного анализа), Histoire de l'Académie royale des Sciences, avec les mémoires de mathématique et de Physique, стр. 465–559; особенно см. стр. 552. С п. 552: "34. Ремарк. Il seroit peut-être nécessaire de démontrer rigoureusement une selected que nous avons supposée dans plusieurs endroits de cet article, savoir, qu'il ya une infinité de nombres premiers, включающий в себя всю арифметическую прогрессию, dont le premier terme & la raison eux, ou, ce qui revient au même, dans la formule 2mx + μ, lorsque 2m & μ n'ont point de commun diviseur. Это предложение является сложным с точки зрения определения, зависит от того, может ли быть уверенность, что есть время, в сравнении с арифметической прогрессией, не имеющей значения, а ля прогрессия обыкновенная 1, 3, 5, 7 и т. Д. Si on prend un grand nombre de termes de ces progressions, le même dans les deux, & qu'on les dispose, par instance, de manière que le plus grand terme soit égal & à la même place de part & d'autre; on verra qu'en omettant de chaque côté les multiples de 3, 5, 7 и т. д. jusqu'à un specific nombre premier п, il doit rester des deux côtés le même nombre de termes, ou même il en restera moins dans la прогрессия 1, 3, 5, 7 и т. д. Maiscom dans celle-ci, il reste nécessairement des nombres premiers, il en doit rester aussi dans l'autre ". (34. Замечание. Возможно, потребуется строго доказать то, что мы предполагали в нескольких местах этой статьи, а именно, что существует бесконечное множество простых чисел, включенных в каждую арифметическую прогрессию, первый член и общая разность которых взаимно просты, или что означает то же самое в формуле 2mx + μ, когда 2m и μ вообще не имеют общих делителей. Это утверждение довольно трудно доказать, однако можно быть уверенным в его истинности, сравнивая рассматриваемую арифметическую прогрессию с обычной прогрессией 1, 3, 5, 7 и т. Д. Если взять большое количество членов этих прогрессий , одинаковое [количество терминов] в обоих, и если их расположить, например, таким образом, чтобы самый большой член был равен и находился в одном месте в обоих; можно увидеть, что, исключая из каждого числа, кратные 3, 5, 7 и т. д., до определенного простого числа п, в обоих должно оставаться одинаковое количество членов, или даже их останется меньше в прогрессии 1, 3, 5, 7 и т. д. Но, поскольку в этом [наборе] обязательно останутся простые числа, также должны остаться остаются одни в другом [множестве].)

[7] А. М. Лежандр, Essai sur la Théorie des Nombres (Париж, Франция: Дюпра, 1798 г.), Введение, С. 9–16. С п. 12: "XIX.… En général, a étant un nombre donné quelconque, tout nombres impair peut être représenté par la formule 4ax ± b, dans laquelle b est impair et moindre que 2a. Si parmi tous les valeurs possible de b on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on retranche celles qui on the formule 4ax ± b, dans laquelle b est impair et moindre que 2a". un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé,… " (XIX.… В общем, а будучи любым заданным числом, все нечетные числа могут быть представлены формулой 4ax ± b, в котором б странно и меньше 2а. Если среди всех возможных значений б удаляются те, которые имеют общий делитель с а, остальные формулы 4ax ± b включить среди них все простые числа…)

[8] А. М. Лежандр, Essai sur la Théorie des Nombres, 2-е изд. (Париж, Франция: Courcier, 1808), п. 404. С п. 404: "Soit donnée une progression arithmétique quelconque A - C, 2A - C, 3A - C, etc., dans laquelle A et C sont premiers entre eux; soit donnée aussi une suite θ, λ, μ… ψ, ω, composée de k nombres premiers impairs, pris à volonté et disés dans un order quelconque; si on appelle en général π^(z) ле з^ième terme de la suite naturelle des nombres premiers 3, 5, 7, 11 и т. д., je dis que sur π^(к-1) termes consécutifs de la progression separated, il y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun des nombres premiers θ, λ, μ… ψ, ω ». (Пусть дана любая арифметическая прогрессия A - C, 2A - C, 3A - C и т. Д., В которой A и C просты между собой [т. Е. Взаимно просты]; пусть также дан ряд θ, λ, μ … Ψ, ω состоит из k нечетные простые числа, взятые произвольно и расположенные в любом порядке; если вообще назвать π^(z) то z^th член натурального ряда простых чисел 3, 5, 7, 11 и т.д., я утверждаю, что среди π^(k-1) последовательных членов предложенной прогрессии, будет по крайней мере один из них, который не будет делиться ни на одно из простых чисел θ, λ, μ… ψ, ω.) Это утверждение было доказано ложным в 1858 году Антанасом Луи Дюпре (1808 -1869). Видеть:

[9] Дюпре, А. (1859) Examen d'une proposition de Legendre relative à la théorie des nombres [Исследование предложения Лежандра относительно теории чисел] (Париж, Франция: Малле-Башелье, 1859).

[10] Наркевич, Владислав, Развитие теории простых чисел: от Евклида до Харди и Литтлвуда (Берлин, Германия: Springer, 2000); особенно см. стр. 50.

[6] Карл Фридрих Гаусс, Disquisitiones arithmeticae (Лейпциг, (Германия): Герхард Флейшер младший, 1801 г.), Раздел 297, С. 507–508. Со стр. 507–508: "Ill. Le Gendre ipse fatetur, демонстрация теоремы, sub tali forma kt + л, дизайнантибус k, л numeros inter se primos datos, т indefinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, methodumque obiter addigitat, quae forsan illuc Conducere Possit; multae vero disquisitiones praeliminares needsariae nobis videntur, antequam hacce quidem через объявление демонстрации rigorosam pervenire liceat ". (Сам прославленный Ле Жандр признает, [что] доказательство теоремы - [а именно, что] среди [целых чисел] вида kt + л, [куда] k и л обозначают данные целые числа [которые] просты между собой [то есть взаимно просты] [и] т обозначает переменную, конечно, простые числа содержатся - это кажется достаточно сложным, и, кстати, он указывает метод, который, возможно, мог бы привести к этому; однако мы [предвидим] многие предварительные и необходимые исследования, прежде чем эта [гипотеза] действительно может выйти на путь к строгому доказательству.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]