Теорема Бруна – Титчмарша. - Brun–Titchmarsh theorem

В аналитическая теория чисел, то Теорема Бруна – Титчмарша., названный в честь Вигго Брун и Эдвард Чарльз Титчмарш, является верхняя граница по распределению простые числа в арифметической прогрессии.

Заявление

Позволять ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ посчитать количество простых чисел п соответствует а по модулюq с участием п ≤ Икс. потом

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}}$

для всех q < Икс.

История

Результат был подтвержден ситовые методы Монтгомери и Воган; более ранний результат Бруна и Титчмарша получил более слабую версию этого неравенства с дополнительным мультипликативным множителем ${\displaystyle 1+o(1)}$.

Улучшения

Если q относительно невелик, например, ${\displaystyle q\leq x^{9/20}}$, то существует более точная оценка:

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}}$

Это связано с Ю. Мотохаши (1973). Он использовал билинейную структуру в члене ошибки в Сито Сельберга, обнаружил сам. Позже эта идея использования структур в ошибках просеивания превратилась в один из основных методов аналитической теории чисел из-за Х. Иванец расширение до комбинаторного сита.

Сравнение с теоремой Дирихле

Напротив, Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях дает асимптотический результат, который можно выразить в виде

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)}$

но это можно доказать только для более ограниченного диапазона q <(журналИкс)^c для постоянного c: это Теорема Зигеля – Вальфиша.

Рекомендации

• Мотохаши, Йоичи (1983), Ситовые методы и теория простых чисел, Tata IFR и Springer-Verlag, ISBN  3-540-12281-8
• Хули, Кристофер (1976), Приложения ситовых методов к теории чисел, Cambridge University Press, стр. 10, ISBN  0-521-20915-3
• Микава, Х. (2001) [1994], "Теорема Бруна-Титчмарша", Энциклопедия математики, EMS Press
• Монтгомери, Х.; Воан, Р. (1973), «Большое решето», Математика, 20 (2): 119–134, Дои:10.1112 / s0025579300004708, HDL:2027.42/152543.