Теорема Линникса - Linniks theorem

Теорема Линника в аналитическая теория чисел отвечает на естественный вопрос после Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях. Утверждает, что существуют положительные c и L такие, что если обозначить п(а,d) в мере штрих в арифметической прогрессии

${\displaystyle a+nd,\ }$

куда п проходит через положительные целые числа и а и d любые положительные совмещать целые числа с 1 ≤ а ≤ d - 1, тогда:

${\displaystyle p(a,d)<cd^{L}.\;}$

Теорема названа в честь Юрий Владимирович Линник, который доказал это в 1944 году.^[1][2] Хотя доказательство Линника показало c и L быть эффективно вычислимый, он не дал им числовых значений.

Характеристики

Известно, что L ≤ 2 для почти все целые числа d.^[3]

На обобщенная гипотеза Римана можно показать, что

${\displaystyle p(a,d)\leq (1+o(1))\varphi (d)^{2}\ln ^{2}d\;,}$

куда ${\displaystyle \varphi }$ это общая функция.^[4]и более сильная связь

${\displaystyle p(a,d)\leq \varphi (d)^{2}\ln ^{2}d\;,}$

также было доказано.^[5]

Также предполагается, что:

${\displaystyle p(a,d)<d^{2}.\;}$ ^[4]

Границы для L

Постоянная L называется Постоянная Линника ^[6] а в следующей таблице показан прогресс, достигнутый в определении его размера.

L ≤	Год публикации	Автор
10000	1957	Сковорода[7]
5448	1958	Сковорода
777	1965	Чен[8]
630	1971	Jutila
550	1970	Jutila[9]
168	1977	Чен[10]
80	1977	Jutila[11]
36	1977	Грэм[12]
20	1981	Грэм[13] (представлен перед статьей Чена 1979 года)
17	1979	Чен[14]
16	1986	Ван
13.5	1989	Чен и Лю[15][16]
8	1990	Ван[17]
5.5	1992	Хит-Браун[4]
5.18	2009	Ксилурис[18]
5	2011	Ксилурис[19]

Более того, в результате Хита-Брауна постоянная c эффективно вычислимо.

Примечания

1. Линник, Ю. В. (1944). «О наименьшем простом числе в арифметической прогрессии I. Основная теорема». Рек. Математика. (Мат. Сборник) Н.С.. 15 (57): 139–178. МИСТЕР  0012111.
2. Линник, Ю. В. (1944). «На наименьшее число в арифметической прогрессии II. Феномен Дойринга-Хейльбронна». Рек. Математика. (Мат. Сборник) Н.С.. 15 (57): 347–368. МИСТЕР  0012112.
3. Бомбьери, Энрико; Фридлендер, Джон Б.; Иванец, Хенрик (1989). «Простые числа в арифметических прогрессиях к большим модулям. III». Журнал Американского математического общества. 2 (2): 215–224. Дои:10.2307/1990976. JSTOR  1990976. МИСТЕР  0976723.
4. Хит-Браун, Роджер (1992). «Области без нуля для L-функций Дирихле и наименьшее простое число в арифметической прогрессии». Proc. Лондонская математика. Soc. 64 (3): 265–338. Дои:10.1112 / плмс / с3-64.2.265. МИСТЕР  1143227.
5. Lamzouri, Y .; Li, X .; Саундарараджан, К. (2015). «Условные оценки наименее квадратичного невычета и смежных задач». Математика. Comp. 84 (295): 2391–2412. arXiv:1309.3595. Дои:10.1090 / S0025-5718-2015-02925-1. S2CID  15306240.
6. Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел. Проблемные книги по математике. 1 (Третье изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 22. Дои:10.1007/978-0-387-26677-0. ISBN  978-0-387-20860-2. МИСТЕР  2076335.
7. Пан, Ченг Донг (1957). «На наименьшее число в арифметической прогрессии». Sci. Записывать. Новая серия. 1: 311–313. МИСТЕР  0105398.
8. Чен, Jingrun (1965). «На наименьшее число в арифметической прогрессии». Sci. Синица. 14: 1868–1871.
9. Джутила, Матти (1970). «Новая оценка постоянной Линника». Анна. Акад. Sci. Фенн. Сер. А. 471. МИСТЕР  0271056.
10. Чен, Jingrun (1977). «О наименьшем простом числе в арифметической прогрессии и две теоремы о нулях $ L $ -функций Дирихле». Sci. Синица. 20 (5): 529–562. МИСТЕР  0476668.
11. Джутила, Матти (1977). «О постоянной Линника». Математика. Сканд. 41 (1): 45–62. Дои:10.7146 / math.scand.a-11701. МИСТЕР  0476671.
12. Грэм, Сидни Уэст (1977). Применение ситовых методов (Кандидат наук.). Анн-Арбор, штат Мичиган: Univ. Мичиган. МИСТЕР  2627480.
13. Грэм, С. В. (1981). «О постоянной Линника». Acta Arith. 39 (2): 163–179. Дои:10.4064 / aa-39-2-163-179. МИСТЕР  0639625.
14. Чен, Jingrun (1979). «О наименьшем простом числе в арифметической прогрессии и теоремах о нулях $ L $ -функций Дирихле. II». Sci. Синица. 22 (8): 859–889. МИСТЕР  0549597.
15. Чен, Цзинжунь; Лю, Цзянь Минь (1989). «На наименьшее число в арифметической прогрессии. III». Наука в Китае. Серия A: Математика. 32 (6): 654–673. МИСТЕР  1056044.
16. Чен, Цзинжунь; Лю, Цзянь Минь (1989). «На наименьшее число в арифметической прогрессии. IV». Наука в Китае. Серия A: Математика. 32 (7): 792–807. МИСТЕР  1058000.
17. Ван, Вэй (1991). «На наименьшее число в арифметической прогрессии». Acta Mathematica Sinica. Новая серия. 7 (3): 279–288. Дои:10.1007 / BF02583005. МИСТЕР  1141242. S2CID  121701036.
18. Xylouris, Triantafyllos (2011). «О постоянной Линника». Acta Arith. 150 (1): 65–91. Дои:10.4064 / aa150-1-4. МИСТЕР  2825574.
19. Xylouris, Triantafyllos (2011). Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression [Нули L-функций Дирихле и наименьшее простое число в арифметической прогрессии] (Диссертация на соискание ученой степени доктора математических и естественных наук) (на немецком языке). Бонн: Universität Bonn, Mathematisches Institut. МИСТЕР  3086819.