Теорема плотности Чеботарёва - Chebotarevs density theorem

Теорема плотности Чеботарева в алгебраическая теория чисел статистически описывает расщепление простые числа в данном Расширение Галуа K поля ${ displaystyle mathbb {Q}}$ из рациональное число. Вообще говоря, простое целое число будет делиться на несколько идеальные простые числа в кольце алгебраические целые числа из K. Может возникнуть лишь конечное число схем расщепления. Хотя полное описание разбиения каждого простого числа п в общем, расширение Галуа является серьезной нерешенной проблемой, теорема плотности Чеботарева гласит, что частота появления данного шаблона для всех простых чисел п меньше большого целого N, стремится к определенному пределу при N уходит в бесконечность. Это было доказано Николай Чеботарев в его диссертации 1922 г., опубликованной в (Чеботарев 1926 ).

Особый случай, который легче сформулировать, говорит, что если K является поле алгебраических чисел которое является расширением Галуа ${ displaystyle mathbb {Q}}$ степени п, то простые числа, которые полностью распадаются на K иметь плотность

1/п

среди всех простых чисел. В более общем смысле, поведение расщепления можно задать, присвоив (почти) каждому простому числу инвариант, его Элемент Фробениуса, который является представителем четко определенного класс сопряженности в Группа Галуа

Гал(K/Q).

Тогда теорема утверждает, что асимптотическое распределение этих инвариантов равномерно по группе, так что класс сопряженности с k элементов встречается с асимптотикой частоты

k/п.

История и мотивация

Когда Карл Фридрих Гаусс впервые ввел понятие комплексные целые числа Z[я], он заметил, что обычные простые числа могут дополнительно влиять на этот новый набор целых чисел. Фактически, если простое число п конгруэнтно 1 по модулю 4, затем множится в произведение двух различных простых гауссовских целых чисел или «полностью разделяется»; если п конгруэнтно 3 mod 4, тогда он остается простым или «инертным»; и если п равно 2, то оно становится произведением квадрата простого числа (1 + я) и обратимое гауссовское целое число -я; мы говорим, что 2 «разветвляется». Например,

{ Displaystyle 5 = (1 + 2i) (1-2i)}

полностью раскалывается;

{ displaystyle 3}

инертен;

{ Displaystyle 2 = -i (1 + я) ^ {2}}

разветвляется.

Из этого описания следует, что при рассмотрении все больших и больших простых чисел частота деления простых чисел полностью приближается к 1/2, и то же самое для простых чисел, которые остаются простыми числами в Z[я]. Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях показывает, что это действительно так. Несмотря на то, что сами простые числа появляются довольно хаотично, разделение простых чисел в расширении

{ Displaystyle mathbb {Z} подмножество mathbb {Z} [я]}

следует простому статистическому закону.

Аналогичные статистические законы выполняются и для разбиения простых чисел в циклотомические расширения, полученный из поля рациональных чисел присоединением первообразного корня из единицы заданного порядка. Например, обычные целые простые числа группируются в четыре класса, каждый с вероятностью 1/4, в соответствии с их схемой разбиения в кольце целых чисел, соответствующих корням 8-й степени из единицы. В этом случае расширение поля имеет степень 4 и равно абелевский, с группой Галуа, изоморфной группе Кляйн четыре группы. Оказалось, что группа Галуа расширения играет ключевую роль в схеме расщепления простых чисел. Георг Фробениус создал основу для исследования этого паттерна и доказал частный случай теоремы. Общее утверждение было доказано Николай Григорьевич Чеботарев в 1922 г.

Связь с теоремой Дирихле

Теорема Чеботарева о плотности может рассматриваться как обобщение Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях. Количественная форма теоремы Дирихле утверждает, что если N≥2 целое число и а является совмещать к N, то пропорция простых чисел п соответствует а мод N асимптотична 1 /п, куда п= φ (N) это Функция Эйлера. Это частный случай теоремы плотности Чеботарева для Nth круговое поле K. Действительно, группа Галуа K/Q абелев и канонически отождествляется с группой обратимых классов вычетов mod N. Расщепляющий инвариант простого числа п не делящий N это просто его класс вычетов, потому что количество различных простых чисел, в которые п разбивает φ (N) / m, где m - мультипликативный порядок п по модулю N; следовательно, по теореме плотности Чеботарева простые числа асимптотически равномерно распределены между различными классами вычетов, взаимно простыми с N.

Формулировка

В своей обзорной статье Ленстра и Стивенхаген (1996) дать более ранний результат Фробениуса в этой области. Предполагать K это Расширение Галуа из поле рациональных чисел Q, и п(т) монический целочисленный многочлен такой, что K это поле расщепления из п. Имеет смысл факторизовать п по модулю простого числа п. Его «тип расщепления» - это список степеней неприводимых множителей п мод п, т.е. п каким-то образом разлагается на основное поле F_п. Если п степень п, то тип расщепления - это раздел Π из п. Учитывая также Группа Галуа грамм из K над Q, каждый грамм в грамм является перестановкой корней п в K; другими словами, выбирая порядок α и его алгебраические сопряжения, грамм точно представлена как подгруппа симметричная группа S_п. Мы можем написать грамм посредством своего представление цикла, что дает "тип цикла" c(грамм), снова разбиение п.

В теорема Фробениуса утверждает, что для любого данного выбора Π простые числа п для которых тип расщепления п мод п есть ли у Π естественная плотность δ, где δ равно доле грамм в грамм которые имеют тип цикла Π.

Заявление более общего Теорема Чеботарева с точки зрения Элемент Фробениуса простого числа (идеала), которое фактически является ассоциированным класс сопряженности C элементов Группа Галуа грамм. Если мы исправим C то теорема утверждает, что асимптотически пропорция |C|/|грамм| простых чисел ассоциировали элемент Фробениуса как C. Когда грамм абелевы классы, конечно, имеют размер 1. В случае неабелевой группы порядка 6 они имеют размер 1, 2 и 3, и соответственно (например) 50% простых чисел п которые имеют элемент порядка 2 в качестве Фробениуса. Таким образом, эти простые числа имеют вычетную степень 2, поэтому они распадаются ровно на три простых идеала в расширении степени 6 Q с ним как группа Галуа.^[1]

Заявление

Позволять L - конечное расширение Галуа числового поля K с группой Галуа грамм. Позволять Икс быть подмножеством грамм стабильный относительно спряжения. Набор простых чисел v из K которые неразветвлены в L и чей ассоциированный класс сопряженности Фробениуса F_v содержится в Икс имеет плотность

{ displaystyle { frac { #X} { # G}}.}

^[2]

Утверждение справедливо, когда плотность относится либо к естественной плотности, либо к аналитической плотности набора простых чисел.^[3]

Действующая версия

Обобщенная гипотеза Римана подразумевает эффективная версия^[4] из Теорема плотности Чеботарева: если L/K является конечным расширением Галуа с группой Галуа грамм, и C объединение классов сопряженности грамм, количество неразветвленных простых чисел K нормы ниже Икс с классом сопряженности Фробениуса в C является

{ displaystyle { frac {| C |} {| G |}} { Bigl (} mathrm {li} (x) + O { bigl (} { sqrt {x}} (п log x + журнал | Delta |) { bigr)} { Bigr)},}

где постоянная, подразумеваемая в обозначении большого O, является абсолютной, п степень L над Q, а Δ - его дискриминант.

Эффективная форма теории плотности Чеботарева становится намного слабее без GRH. Брать L быть конечным расширением Галуа Q с группой Галуа грамм и степень d. Брать ${ displaystyle rho}$ быть нетривиальным неприводимым представлением грамм степени п, и возьми ${ Displaystyle { mathfrak {f}} ( rho)}$ быть Артиным дирижером этого представительства. Предположим, что для ${ displaystyle rho _ {0}}$ субпредставительство ${ Displaystyle rho otimes rho}$ или же ${ displaystyle rho otimes { bar { rho}}}$ , ${ Displaystyle L ( rho _ {0}, s)}$ целая; то есть гипотеза Артина выполняется для всех ${ displaystyle rho _ {0}}$ . Брать ${ displaystyle chi _ { rho}}$ быть персонажем, связанным с ${ displaystyle rho}$ . Тогда есть абсолютный позитив ${ displaystyle c}$ такой, что для ${ Displaystyle х geq 2}$ ,

{ displaystyle sum _ {p leq x, p not mid { mathfrak {f}} ( rho)} chi _ { rho} ({ text {Fr}} _ {p}) log p = rx + O { biggl (} { frac {x ^ { beta}} { beta}} + x exp { biggl (} { frac {-c (dn) ^ {- 4}) log x} {3 log { mathfrak {f}} ( rho) + { sqrt { log x}}}} { biggr)} (dn log (x { mathfrak {f}} ( rho)) { biggr)},}

куда ${ displaystyle r}$ равно 1, если ${ displaystyle rho}$ тривиально, иначе 0, и где ${ displaystyle beta}$ является исключительный реальный ноль из ${ Displaystyle L ( rho, s)}$ ; если такого нуля нет, то ${ Displaystyle х ^ { beta} / beta}$ термин можно игнорировать. Неявная константа этого выражения абсолютна. ^[5]

Бесконечные расширения

Утверждение теоремы плотности Чеботарева обобщается на случай бесконечного расширения Галуа. L / K который неразветвлен вне конечного множества S простых чисел K (т.е. если существует конечное множество S простых чисел K так что любое простое число K не в S не разветвляется в расширении L / K). В этом случае группа Галуа грамм из L / K проконечная группа с топологией Крулля. С грамм компактна в этой топологии, существует единственная мера Хаара μ на грамм. Для каждого прайма v из K не в S существует ассоциированный класс сопряженности Фробениуса F_v. Теорема плотности Чеботарева в этой ситуации может быть сформулирована следующим образом:^[2]

Позволять Икс быть подмножеством грамм устойчивая относительно сопряжения и граница которой имеет нулевую меру Хаара. Тогда набор простых чисел v из K не в S такой, что F_v ⊆ X имеет плотность

{ displaystyle { frac { mu (X)} { mu (G)}}.}

Это сводится к конечному случаю, когда L / K конечна (тогда мера Хаара является просто считающей мерой).

Следствием этой версии теоремы является то, что элементы Фробениуса неразветвленных простых чисел L плотно в грамм.

Важные последствия

Теорема Чеботарева о плотности сводит проблему классификации расширений Галуа числового поля к задаче описания разбиения простых чисел в расширениях. В частности, это означает, что как расширение Галуа K, L однозначно определяется набором простых чисел K которые полностью раскололись в нем.^[6] Связанное с этим следствие состоит в том, что если почти все простые идеалы K полностью разделен на L, то на самом деле L = K.^[7]

Примечания

^ Этот конкретный пример уже следует из результата Фробениуса, поскольку грамм симметрическая группа. В общем, сопряжение в грамм требует больше усилий, чем цикл того же типа.
^ ^а ^б Раздел I.2.2 Серра
^ Ленстра, Хендрик (2006). «Теорема Чеботарева о плотности» (PDF). Получено 7 июн 2018.
^ Lagarias, J.C .; Одлызко, А. (1977). «Эффективные версии теоремы Чеботарева». Поля алгебраических чисел: 409–464.
^ Иванец, Хенрик; Ковальский, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 111.
^ Следствие VII.13.10 Нойкирха
^ Следствие VII.13.7 Нойкирха