Идеальное число - Ideal number

В теория чисел ан идеальное число является алгебраическое целое число который представляет собой идеальный в звенеть целых чисел числовое поле; идея была разработана Эрнст Куммер, и привел к Ричард Дедекинд определение идеалы для колец. Идеалом в кольце целых чисел поля алгебраических чисел является главный если он состоит из нескольких элементов одного кольца, и неглавный иначе. Посредством теорема о главном идеале любой неглавный идеал становится главным, если его распространить на идеал Поле классов Гильберта. Это означает, что существует элемент кольца целых чисел поля классов Гильберта, который является идеальным числом, такой, что исходный неглавный идеал равен совокупности всех кратных этого идеального числа элементами этого кольцо целых чисел которые лежат в кольце целых чисел исходного поля.

Пример

Например, пусть у быть корнем у² + у + 6 = 0, то кольцо целых поля ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$ является ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$, что означает все а + к с а и б целые числа образуют кольцо целых чисел. Примером неглавного идеала в этом кольце является множество всех 2а + yb куда а и б целые числа; куб этого идеала является главным, и фактически классная группа цикличен третьего порядка. Соответствующее поле класса получается присоединением элемента ш удовлетворение ш³ − ш - 1 = от 0 до ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$, давая ${\displaystyle \mathbb {Q} (y,w)}$. Идеальное число для неглавного идеала 2а + yb является ${\displaystyle \iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23}$. Поскольку это удовлетворяет уравнению${\displaystyle \iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0}$ это целое алгебраическое число.

Все элементы кольца целых чисел поля классов, умножение которых на ι дает результат ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$ имеют форму аα +бβ, где

${\displaystyle \alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23}$

и

${\displaystyle \beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.}$

Коэффициенты α и β также являются целыми алгебраическими числами, удовлетворяющими

${\displaystyle \alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0}$

и

${\displaystyle \beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0}$

соответственно. Умножение аα + бβ идеальным числом ι дает 2а + к, который является неглавным идеалом.

История

Куммер впервые опубликовал неудачу уникальной факторизации в циклотомические поля в 1844 г. в малоизвестном журнале; он был переиздан в 1847 г. в Лиувилля журнал. В последующих статьях 1846 и 1847 годов он опубликовал свою основную теорему об уникальном разложении на (действительные и идеальные) простые числа.

Широко распространено мнение, что Куммер пришел к своим «идеальным комплексным числам» благодаря его интересу к Последняя теорема Ферма; часто рассказывают, что Куммер, как и Хромой, считал, что доказал Великую теорему Ферма, пока Лежен Дирихле сказал ему, что его аргумент основан на уникальной факторизации; но история была впервые рассказана Курт Хенсель в 1910 году, и данные указывают, что это, вероятно, происходит из-за путаницы в одном из источников Хензеля. Гарольд Эдвардс говорит, что мнение о том, что Куммера в основном интересовала Великая теорема Ферма, «безусловно ошибочно» (Edwards 1977, p. 79). Использование Куммером буквы λ для обозначения простого числа, α для обозначения корня λ-й степени из единицы и его исследование факторизации простого числа ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {\lambda }}}$ в "комплексные числа, состоящие из ${\displaystyle \lambda }$корни единства "все проистекают непосредственно из статьи Якоби что касается высшие законы взаимности. Мемуары Куммера 1844 года были посвящены празднованию юбилея Кенигсбергского университета и были задуманы как дань уважения Якоби. Хотя Куммер изучал Великую теорему Ферма в 1830-х годах и, вероятно, знал, что его теория будет иметь значение для ее изучения, более вероятно, что предмет Якоби (и Гаусса ) интерес, более высокие законы взаимности имели для него большее значение. Куммер сослался на собственное частичное доказательство Великой теоремы Ферма для обычные простые числа как «любопытство теории чисел, а не главный предмет» и к высшему закону взаимности (который он сформулировал как гипотезу) как «главный предмет и вершина современной теории чисел». С другой стороны, это последнее заявление было сделано, когда Куммер все еще был взволнован успехом своей работы по взаимности и когда его работа над Великой теоремой Ферма выдыхалась, так что, возможно, к нему можно отнестись с некоторым скептицизмом.

Распространение идей Куммера на общий случай было осуществлено независимо Кронекером и Дедекиндом в течение следующих сорока лет. Прямое обобщение столкнулось с огромными трудностями, и в конечном итоге привело Дедекинда к созданию теории модули и идеалы. Кронекер справился с трудностями, разработав теорию форм (обобщение теории форм). квадратичные формы ) и теория делители. Вклад Дедекинда станет основой теория колец и абстрактная алгебра, а инструменты Кронекера станут основными инструментами в алгебраическая геометрия.

Рекомендации

• Николя Бурбаки, Элементы истории математики. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1999.
• Гарольд М. Эдвардс, Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в теорию чисел. Тексты для выпускников по математике vol. 50, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1977.
• К.Г. Якоби, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Монацбер. дер. Акад. Wiss. Берлин (1839) 89-91.
• Э.Е. Куммер, De numeris complexis, постоянная qui radicibus unitatis et numeris integris realibus, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Кенигсберг, 1844 г .; перепечатано в Jour. de Math. 12 (1847) 185-212.
• Э.Е. Куммер, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
• Джон Стиллвелл, Введение в Теория алгебраических целых чисел Ричарда Дедекинда. Кембриджская математическая библиотека, Cambridge University Press, Великобритания, 1996.

внешняя ссылка

• Идеальные числа, Доказательство того, что теория идеальных чисел сохраняет однозначную факторизацию круговых целых чисел при Блог о Великой теореме Ферма.