Поле классов Гильберта - Hilbert class field

В алгебраическая теория чисел, то Поле классов Гильберта E из числовое поле K это максимальный абелев неразветвленный расширение K. Его степень выше K равно количеству классов K и Группа Галуа из E над K канонически изоморфна группа идеального класса из K с помощью Элементы Фробениуса за главные идеалы в K.

В этом контексте поле классов Гильберта K не просто неразветвлен в конечные места (классическая теоретико-идеальная интерпретация), но и в бесконечных местах K. То есть каждый реальное вложение из K распространяется на реальное вложение E (а не к сложному встраиванию E).

Примеры

Если кольцо целых чисел K это уникальная область факторизации, в частности, если ${ Displaystyle К = mathbb {Q}}$ , тогда K - собственное поле гильбертовых классов.
Позволять ${ Displaystyle К = mathbb {Q} ({ sqrt {-15}})}$ дискриминанта ${ displaystyle -15}$ . Поле ${ displaystyle L = mathbb {Q} ({ sqrt {-3}}, { sqrt {5}})}$ имеет дискриминант ${ displaystyle 225 = (- 15) ^ {2}}$ и повсюду неразветвленное расширение K, и это абелева. С использованием Минковский граница, можно показать, что K имеет класс номер 2. Следовательно, его поле классов Гильберта равно ${ displaystyle L}$ . Неосновной идеал K есть (2, (1+√−15) / 2), а в L это становится главным идеалом ((1+√5)/2).
Поле ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-23}})}$ имеет класс номер 3. Его поле классов Гильберта может быть образовано путем присоединения корня из x³ - x - 1, имеющий дискриминант -23.
Чтобы понять, почему необходимо учитывать ветвление в простых числах архимеда, рассмотрим настоящий квадратичное поле K полученный присоединением квадратного корня из 3 к Q. Это поле имеет номер класса 1 и дискриминант 12, но расширение K(я)/K дискриминанта 9 = 3² не разветвляется на все основные идеалы в K, так K допускает конечные абелевы расширения степени выше 1, в которых все конечные простые числа K неразветвлены. Это не противоречит полю классов Гильберта K существование K само: каждое собственное конечное абелево расширение K должен разветвляться в каком-то месте, а в расширении K(я)/K в местах архимеда есть разветвление: настоящие вложения K распространяются на сложные (а не реальные) вложения K(я).
По теории комплексное умножение, поле классов Гильберта мнимое квадратичное поле генерируется значением эллиптическая модульная функция в образующей для кольца целых чисел (как Z-модуль).

История

Существование (узкого) поля классов Гильберта для данного числового поля K было предположено Дэвид Гильберт (1902 ) и доказано Филипп Фуртвенглер.^[1] Существование поля классов Гильберта является ценным инструментом в изучении структуры группа идеального класса данного поля.

Дополнительные свойства

Поле классов Гильберта E также удовлетворяет следующему:

E является конечным Галуа расширение из K и [E : K]=час_K, куда час_K это номер класса из K.
В группа идеального класса из K является изоморфный к Группа Галуа из E над K.
Каждый идеальный из О_K распространяется на главный идеал расширения кольца О_E (теорема о главном идеале ).
Каждый главный идеал п из О_K разлагается на продукт час_K/ж главные идеалы в О_E, куда ж это порядок из [п] в идеальной группе классов О_K.

Фактически, E уникальный поле удовлетворяющие первому, второму и четвертому свойствам.

Явные конструкции

Если K мнимая квадратичная и А является эллиптическая кривая с комплексное умножение посредством кольцо целых чисел из K, затем, примыкая к j-инвариантный из А к K дает поле классов Гильберта.^[2]

Обобщения

В теория поля классов, изучается поле класса лучей относительно данного модуль, который является формальным продуктом первичных идеалов (в том числе, возможно, архимедовых). Поле классов лучей - это максимальное абелево расширение, не разветвленное за пределами простых чисел, делящих модуль, и удовлетворяющее определенному условию ветвления на простых числах, делящих модуль. Поле классов Гильберта тогда является полем классов лучей по отношению к тривиальному модулю 1.

В узкое классовое поле - поле классов лучей по модулю, состоящему из всех бесконечных простых чисел. Например, приведенный выше аргумент показывает, что ${ Displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {3}}, я)}$ это узкое поле классов ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {3}})}$ .

Примечания

^ Фуртвенглер 1906
^ Теорема II.4.1 из Сильверман 1994