Теорема о главном идеале - Principal ideal theorem

Эта статья о Хауптидальзаце теории поля классов. По поводу теоремы о нётеровых кольцах см. Теорема Крулля о главном идеале.

В математика, то теорема о главном идеале из теория поля классов, филиал алгебраическая теория чисел говорит, что расширение идеалов дает отображение на классная группа из поле алгебраических чисел в классную группу своего Поле классов Гильберта, переводящий все идеальные классы в класс главного идеала. Это явление также назвали принципиализация, а иногда капитуляция.

Официальное заявление

Для любого поле алгебраических чисел K и любой идеальный я из кольцо целых чисел из K, если L это Поле классов Гильберта из K, тогда

это главный идеал αОL, за ОL кольцо целых чисел L и некоторый элемент α в нем.

История

Теорема об основном идеале была высказана Дэвид Гильберт  (1902 ), и был последним оставшимся аспектом его программы в области классов, который должен был быть завершен в 1929 году.

Эмиль Артин (1927, 1929 ) свел теорему о главном идеале к вопросу о конечных абелевых группах: он показал, что из нее следует, если передача от конечной группы к ее производной подгруппе тривиально. Этот результат доказал Филипп Фуртвенглер (1929 ).

Рекомендации

  • Артин, Эмиль (1927), "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 5 (1): 353–363, Дои:10.1007 / BF02952531
  • Артин, Эмиль (1929), "Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 7 (1): 46–51, Дои:10.1007 / BF02941159
  • Фуртвенглер, Филипп (1929). "Beweis des Hautilealsatzes fur Klassenkörper algebraischer Zahlkörper". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 7: 14–36. Дои:10.1007 / BF02941157. JFM  55.0699.02.
  • Гра, Жорж (2003). Теория поля классов. От теории к практике. Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-44133-6. Zbl  1019.11032.
  • Гильберт, Давид (1902 г.) [1898 г.], «Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper», Acta Mathematica, 26 (1): 99–131, Дои:10.1007 / BF02415486
  • Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел. Энцикл. Математика. Sci. 62 (2-е издание 1-го изд.). Springer-Verlag. п. 104. ISBN  3-540-63003-1. Zbl  0819.11044.
  • Серр, Жан-Пьер (1979). Местные поля. Тексты для выпускников по математике. 67. Переведено Гринберг, Марвин Джей. Springer-Verlag. С. 120–122. ISBN  0-387-90424-7. Zbl  0423.12016.