Принципализация (алгебра) - Principalization (algebra)

В математической области алгебраическая теория чисел, Концепция чего-либо принципиализация относится к ситуации, когда, учитывая расширение из поля алгебраических чисел, немного идеальный (или в более общем смысле дробный идеал ) из кольцо целых чисел меньшего поля не главный но это расширение к кольцу целых чисел большего поля. Его изучение берет начало в работах Эрнст Куммер на идеальные числа из 1840-х годов, которые, в частности, доказали, что для каждого поля алгебраических чисел существует такое поле чисел расширения, что все идеалы кольца целых чисел основного поля (которые всегда могут быть порождены не более чем двумя элементами) становятся главными при расширении на большее поле. В 1897 г. Дэвид Гильберт предположил, что максимальный абелев неразветвленный расширение базового поля, которое позже было названо Поле классов Гильберта данного базового поля, является таким расширением. Эта гипотеза, теперь известная как теорема о главном идеале, было доказано Филипп Фуртвенглер в 1930 г. после перевода с теория чисел к теория групп к Эмиль Артин в 1929 году, воспользовавшись своим общий закон взаимности установить переформулировку. Поскольку это долгожданное доказательство было достигнуто с помощью Artin ТРАНСФЕРЫ из неабелевы группы с производная длина во-вторых, несколько исследователей попытались использовать теорию таких групп в дальнейшем, чтобы получить дополнительную информацию о принципализации в промежуточных полях между базовым полем и его полем гильбертовых классов. Первые вклады в этом направлении внесены Арнольд Шольц и Ольга Таусская в 1934 году, который придумал синоним капитуляция для принципиализации. Еще один независимый доступ к проблеме принципализации через Когомологии Галуа из группы единиц также принадлежит Гильберту и восходит к главе о циклические расширения числовых полей простых чисел степень в его номер отчета, кульминацией которого является знаменитый Теорема 94..

Расширение классов

Позволять ${\displaystyle K}$ - поле алгебраических чисел, называемое базовое поле, и разреши ${\displaystyle L/K}$ - расширение поля конечной степени. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K},{\mathcal {I}}_{K},{\mathcal {P}}_{K}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L},{\mathcal {I}}_{L},{\mathcal {P}}_{L}}$ обозначим кольцо целых чисел, группу ненулевых дробных идеалов и ее подгруппу главных дробных идеалов полей ${\displaystyle K,L}$ соответственно. Тогда карта расширения дробных идеалов

${\displaystyle {\begin{cases}\iota _{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}\\{\mathfrak {a}}\mapsto {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\end{cases}}}$

является инъективным групповой гомоморфизм. С ${\displaystyle \iota _{L/K}({\mathcal {P}}_{K})\subseteq {\mathcal {P}}_{L}}$, это отображение индуцирует гомоморфизм расширения идеальные группы классов

${\displaystyle {\begin{cases}j_{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}/{\mathcal {P}}_{L}\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{K}\mapsto ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}\end{cases}}}$

Если существует неглавный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{K}}$ (т.е. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{K}\neq {\mathcal {P}}_{K}}$), идеал продолжения которого в ${\displaystyle L}$ является основным (т.е. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}}$ для некоторых ${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{L}}$ и ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}=(A{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}={\mathcal {P}}_{L}}$), то мы говорим о принципиализация или же капитуляция в ${\displaystyle L/K}$. В этом случае идеальный ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ и его класс ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{K}}$ говорят принципиализировать или же капитулировать в ${\displaystyle L}$. Это явление удобнее всего описывать ядро принципализации или же капитуляция ядра, это ядро ${\displaystyle \ker(j_{L/K})}$ гомоморфизма расширений классов.

В общем, пусть ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{0}{\mathfrak {m}}_{\infty }}$ быть модуль в ${\displaystyle K}$, куда ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}$ является ненулевым идеалом в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\infty }}$ является формальным продуктом попарно различных реальные бесконечные простые числа из ${\displaystyle K}$. потом

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}}=\langle \alpha {\mathcal {O}}_{K}|\alpha \equiv 1{\bmod {\mathfrak {m}}}\rangle \leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}),}$

это луч по модулю ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, куда ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}})={\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{0})}$ - группа ненулевых дробных идеалов в ${\displaystyle K}$ относительно простой ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}$ и условие ${\displaystyle \alpha \equiv 1{\bmod {\mathfrak {m}}}}$ средства ${\displaystyle \alpha \equiv 1{\bmod {{\mathfrak {m}}_{0}}}}$ и ${\displaystyle v(\alpha )>0}$ для каждого реального бесконечного простого числа ${\displaystyle v}$ разделение ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\infty }.}$ Позволять ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}}\leq {\mathcal {H}}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}),}$ тогда группа ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}})/{\mathcal {H}}}$ называется обобщенная группа идеальных классов за ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$ Если ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})/{\mathcal {H}}_{K}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})/{\mathcal {H}}_{L}}$ являются обобщенными группами классов идеалов такие, что ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\in {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})}$ для каждого ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\in {\mathcal {H}}_{L}}$ для каждого ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {H}}_{K}}$, тогда ${\displaystyle \iota _{L/K}}$ индуцирует гомоморфизм расширения обобщенных групп классов идеалов:

${\displaystyle {\begin{cases}j_{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})/{\mathcal {H}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})/{\mathcal {H}}_{L}\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {H}}_{K}\mapsto ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {H}}_{L}\end{cases}}}$

Расширения Галуа числовых полей

Позволять ${\displaystyle F/K}$ быть Расширение Галуа полей алгебраических чисел с Группа Галуа ${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (F/K)}$ и разреши ${\displaystyle \mathbb {P} _{K},\mathbb {P} _{F}}$ обозначим множество простых идеалов полей ${\displaystyle K,F}$ соответственно. Предположим, что ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}}$ это главный идеал из ${\displaystyle K}$ который не разделяет относительный дискриминант ${\displaystyle {\mathfrak {d}}={\mathfrak {d}}(F/K)}$, и поэтому неразветвленный в ${\displaystyle F}$, и разреши ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\in \mathbb {P} _{F}}$ быть главным идеалом ${\displaystyle F}$ лежа на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

Автоморфизм Фробениуса

Существует единственный автоморфизм ${\displaystyle \sigma \in G}$ такой, что ${\displaystyle A^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}\equiv \sigma (A){\bmod {\mathfrak {P}}}}$ для всех алгебраических целых чисел ${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{F}}$, куда ${\displaystyle \mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}$ это норма из ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Карта ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]:=\sigma }$ называется Автоморфизм Фробениуса из ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$. Это порождает группа разложения ${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}=\{\sigma \in G|\sigma ({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}\}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ и его порядок равен степень инерции ${\displaystyle f:=f({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})=[{\mathcal {O}}_{F}/{\mathfrak {P}}:{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}]}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ над ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. (Если ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ разветвляется тогда ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ только определяется и генерирует ${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}}$ по модулю подгруппа инерции

${\displaystyle I_{\mathfrak {P}}=\{\sigma \in G|\sigma (A)\equiv A{\bmod {\mathfrak {P}}}{\text{ for all }}A\in {\mathcal {O}}_{F}\}=\ker(D_{\mathfrak {P}}\to \mathrm {Gal} ({\mathcal {O}}_{F}/{\mathfrak {P}}|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}))}$

чей порядок индекс ветвления ${\displaystyle e({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ над ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$). Любой другой главный идеал ${\displaystyle F}$ разделение ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ имеет форму ${\displaystyle \tau ({\mathfrak {P}})}$ с некоторыми ${\displaystyle \tau \in G}$. Его автоморфизм Фробениуса задается формулой

${\displaystyle \left[{\frac {F/K}{\tau ({\mathfrak {P}})}}\right]=\tau \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\tau ^{-1},}$

поскольку

${\displaystyle \tau (A)^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}\equiv (\tau \sigma \tau ^{-1})(\tau (A)){\bmod {\tau ({\mathfrak {P}})}}}$

для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{F}}$, а значит, и его группа разложения ${\displaystyle D_{\tau ({\mathfrak {P}})}=\tau D_{\mathfrak {P}}\tau ^{-1}}$ сопряжен с ${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}}$. В этой общей ситуации Символ Артина это отображение

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right):=\left.\left\{\tau \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\tau ^{-1}\right|\tau \in G\right\}}$

который объединяет весь класс сопряженности автоморфизмов в любой неразветвленный первичный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\nmid {\mathfrak {d}}}$, и у нас есть ${\textstyle \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)=1}$ если и только если ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ полностью раскалывается в ${\displaystyle F}$.

Факторизация основных идеалов

Когда ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq F}$ является промежуточным полем с относительной группой Галуа ${\displaystyle H=\mathrm {Gal} (F/L)\leq G}$, более точные утверждения о гомоморфизмах ${\displaystyle \iota _{L/K}}$ и ${\displaystyle j_{L/K}}$ возможны, потому что мы можем построить факторизацию ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ (куда ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ неразветвлен в ${\displaystyle F}$ как указано выше) в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ от его факторизации в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ следующее.^[1][2] Основные идеалы в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ лежа на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ находятся в ${\displaystyle G}$-эквивариантный биекция с ${\displaystyle G}$-набор левых смежных классов ${\displaystyle G/D_{\mathfrak {P}}}$, куда ${\displaystyle \tau ({\mathfrak {P}})}$ соответствует смежному классу ${\displaystyle \tau D_{\mathfrak {P}}}$. Для каждого главного идеала ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ лежа на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ группа Галуа ${\displaystyle H}$ действует транзитивно на множестве простых идеалов в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ лежа на ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$, таким образом, такие идеалы ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ находятся в биекции с орбитами действия ${\displaystyle H}$ на ${\displaystyle G/D_{\mathfrak {P}}}$ умножением слева. Такие орбиты, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют двойные классы ${\displaystyle H\backslash G/D_{\mathfrak {P}}}$. Позволять ${\displaystyle (\tau _{1},\ldots ,\tau _{g})}$ - полная система представителей этих двойных смежных классов, поэтому ${\displaystyle G={\dot {\cup }}_{i=1}^{g}\,H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}$. Кроме того, пусть ${\displaystyle H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}$ обозначим орбиту смежного класса ${\displaystyle \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}$ в действии ${\displaystyle H}$ на множестве левых смежных классов ${\displaystyle G/D_{\mathfrak {P}}}$ умножением слева и пусть ${\displaystyle H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}}}$ обозначим орбиту смежного класса ${\displaystyle H\tau _{i}}$ в действии ${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}}$ на множестве правых смежных классов ${\displaystyle H\backslash G}$ умножением справа. потом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ факторизуется в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ в качестве ${\textstyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}}$, куда ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\in \mathbb {P} _{L}}$ за ${\displaystyle 1\leq i\leq g}$ простые идеалы, лежащие над ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ в ${\displaystyle L}$ удовлетворение ${\textstyle {\mathfrak {q}}_{i}{\mathcal {O}}_{F}=\prod _{\varrho }\varrho ({\mathfrak {P}})}$ с продуктом, работающим над любой системой представителей ${\displaystyle H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}$.

У нас есть

${\displaystyle \#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})\cdot \#D_{\mathfrak {P}}=\#H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}})\cdot \#H.}$

Позволять ${\displaystyle D_{i}}$ - группа разложения ${\displaystyle \tau _{i}({\mathfrak {P}})}$ над ${\displaystyle L}$. потом ${\displaystyle D_{i}=H\cap D_{\tau _{i}({\mathfrak {P}})}}$ стабилизатор ${\displaystyle \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}$ в действии ${\displaystyle H}$ на ${\displaystyle G/D_{\mathfrak {P}}}$, так что теорема о стабилизаторе орбиты у нас есть ${\displaystyle \#D_{i}=\#H/\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})}$. С другой стороны, это ${\displaystyle \#D_{i}=f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {q}}_{i})}$, что вместе дает

${\displaystyle f({\mathfrak {q}}_{i}|{\mathfrak {p}})={\frac {f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {p}})}{f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {q}}_{i})}}={\frac {f({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})}{\#D_{i}}}={\frac {\#D_{\mathfrak {P}}}{\#H/\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})}}={\frac {\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})\cdot \#D_{\mathfrak {P}}}{\#H}}={\frac {\#H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}{\#H}}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}}).}$

Другими словами, степень инерции ${\displaystyle f_{i}:=f({\mathfrak {q}}_{i}|{\mathfrak {p}})}$ равна размеру орбиты смежного класса ${\displaystyle H\tau _{i}}$ в действии ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ на множестве правых смежных классов ${\displaystyle H\backslash G}$ умножением справа. Если взять обратное, это равно размеру орбиты ${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}\cdot \tau _{i}^{-1}H}$ сословия ${\displaystyle \tau _{i}^{-1}H}$ в действии ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ на множестве левых смежных классов ${\displaystyle G/H}$ умножением слева. Также главные идеалы в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ лежа на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ соответствуют орбитам этого действия.

Следовательно, идеальное вложение дается формулой ${\textstyle \iota _{L/K}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}}$, а расширение класса

${\displaystyle j_{L/K}({\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}_{K})=({\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {H}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}{\mathcal {H}}_{L}.}$

Закон взаимности Артина

А теперь предположим ${\displaystyle F/K}$ является абелево расширение, то есть, ${\displaystyle G}$ - абелева группа. Тогда все группы сопряженных разложений простых идеалов ${\displaystyle F}$ лежа на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ совпадают, таким образом ${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}:=D_{\tau ({\mathfrak {P}})}}$ для каждого ${\displaystyle \tau \in G}$, и символ Артина ${\textstyle \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)=\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ становится равным автоморфизму Фробениуса любого ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}}$ и ${\textstyle A^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}\equiv \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)(A){\bmod {\mathfrak {P}}}}$ для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{F}}$ и каждый ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}}$.

К теория поля классов,^[3]абелево расширение ${\displaystyle F/K}$ однозначно соответствует промежуточной группе ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {f}}}\leq {\mathcal {H}}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})}$ между лучом по модулю ${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$ из ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})}$, куда ${\displaystyle {\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}_{0}{\mathfrak {f}}_{\infty }={\mathfrak {f}}(F/K)}$ обозначает относительный дирижер (${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{0}}$ делится на те же простые идеалы, что и ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$). Символ Артина

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {P} _{K}({\mathfrak {f}})\to G\\{\mathfrak {p}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)\end{cases}}}$

который сопоставляет автоморфизм Фробениуса ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ каждому первому идеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ из ${\displaystyle K}$ который неразветвлен в ${\displaystyle F}$, может быть расширен по мультипликативности до сюръективного гомоморфизма

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})\to G\\{\mathfrak {a}}=\prod {\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {a}}}\right):=\prod \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)^{v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})}\end{cases}}}$

с ядром ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {f}}}\cdot \mathrm {N} _{F/K}({\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}}))}$ (куда ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}})}$ средства ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}}_{0}{\mathcal {O}}_{F})}$), называется Карта Артина, что индуцирует изоморфизм

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})/{\mathcal {H}}\to G=\mathrm {Gal} (F/K)\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {H}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {a}}}\right)\end{cases}}}$

обобщенной группы классов идеалов ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})/{\mathcal {H}}}$ группе Галуа ${\displaystyle G}$. Этот явный изоморфизм называется Закон взаимности Артина или же общий закон взаимности.^[4]

Рисунок 1: Коммутативная диаграмма, соединяющая расширение класса с передачей Артина.

Теоретико-групповая постановка задачи.

Этот закон о взаимности позволил Артину перевести общая проблема принципализации для числовых полей ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq F}$ основанный на следующем сценарии от теории чисел к теории групп. Позволять ${\displaystyle F/K}$ - расширение Галуа полей алгебраических чисел с группой автоморфизмов ${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (F/K)}$. Предположить, что ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq F}$ промежуточное поле с относительной группой ${\displaystyle H=\mathrm {Gal} (F/L)\leq G}$ и разреши ${\displaystyle K'/K,L'/L}$ - максимальное абелево подрасширение ${\displaystyle K,L}$ соответственно внутри ${\displaystyle F}$. Тогда соответствующие относительные группы суть коммутаторные подгруппы ${\displaystyle G'=\mathrm {Gal} (F/K')\leq G}$, соотв. ${\displaystyle H'=\mathrm {Gal} (F/L')\leq H}$. По теории полей классов существуют промежуточные группы ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}_{K}}\leq {\mathcal {H}}_{K}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})}$ и ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{L,{\mathfrak {m}}_{L}}\leq {\mathcal {H}}_{L}\leq {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})}$ такие, что отображения Артина устанавливают изоморфизмы

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right):{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{K}\to \mathrm {Gal} (K'/K)\simeq G/G'\\&\left({\frac {L'/L}{\cdot }}\right):{\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{L}\to \mathrm {Gal} (L'/L)\simeq H/H'\end{aligned}}}$

Здесь ${\displaystyle {\mathfrak {d}}={\mathfrak {d}}(F/K),{\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})}$ средства ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}}{\mathcal {O}}_{L})}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K},{\mathfrak {m}}_{L}}$ некоторые модули делятся на ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(K'/K),{\mathfrak {f}}(L'/L)}$ соответственно и на все простые числа, делящие ${\displaystyle {\mathfrak {d}},{\mathfrak {d}}{\mathcal {O}}_{L}}$ соответственно.

Гомоморфизм идеального расширения ${\displaystyle \iota _{L/K}:\,{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})}$, то индуцированный перенос Артина ${\displaystyle {\tilde {T}}_{G,H}}$ и эти отображения Артина связаны формулой

${\displaystyle {\tilde {T}}_{G,H}\circ \left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right)=\left({\frac {L'/L}{\cdot }}\right)\circ \iota _{L/K}.}$

С ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})}$ порождается простыми идеалами ${\displaystyle K}$ который не разделяет ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$, достаточно проверить это равенство на этих генераторах. Следовательно, предположим, что ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}}$ это главный идеал ${\displaystyle K}$ который не разделяет ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ и разреши ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\in \mathbb {P} _{F}}$ быть главным идеалом ${\displaystyle F}$ лежа на ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. С одной стороны, идеальный гомоморфизм продолжения ${\displaystyle \iota _{L/K}}$ отображает идеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ базового поля ${\displaystyle K}$ к идеалу расширения ${\displaystyle \iota _{L/K}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}}$ в поле ${\displaystyle L}$, и карта Артина ${\textstyle \left({\frac {L'/L}{\cdot }}\right)}$ поля ${\displaystyle L}$ отображает это произведение простых идеалов в произведение сопряженных автоморфизмов Фробениуса

${\displaystyle \prod _{i=1}^{g}\left({\frac {L'/L}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=\prod _{i=1}^{g}\left[{\frac {F/L}{\tau _{i}({\mathfrak {P}})}}\right]\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/L}{\mathfrak {P}}}\right]\tau _{i}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H',}$

где используемое двойное разложение смежных классов и его представители такие же, как в предпоследнем разделе. С другой стороны, карта Артина ${\textstyle \left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right)}$ базового поля ${\displaystyle K}$ отображает идеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ к автоморфизму Фробениуса ${\textstyle \left({\frac {K'/K}{\mathfrak {p}}}\right)=\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'}$. В ${\displaystyle g}$пара ${\displaystyle (\tau _{1}^{-1},\ldots ,\tau _{g}^{-1})}$ это система представителей двойных классов смежности ${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}\backslash G/H}$, которые соответствуют орбитам действия ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$ на множестве левых смежных классов ${\displaystyle G/H}$ левым умножением и ${\displaystyle f_{i}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}})=\#(D_{\mathfrak {P}}\cdot \tau _{i}^{-1}H)}$ равна размеру орбиты смежного класса ${\displaystyle \tau _{i}^{-1}H}$ в этом действии. Следовательно, индуцированные переводные отображения Артина ${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'}$ к продукту

${\displaystyle {\tilde {T}}_{G,H}\left(\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'\right)=T_{G,H}\left(\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\right)=\prod _{i=1}^{g}(\tau _{i}^{-1})^{-1}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H'.}$

Это выражение произведения было исходной формой гомоморфизма переноса Артина, соответствующей разложению перестановочное представление в непересекающиеся циклы.^[5]

Поскольку ядра карт Артина ${\displaystyle \left({\tfrac {K'/K}{\cdot }}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\tfrac {L'/L}{\cdot }}\right)}$ находятся ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{K}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{L}}$ соответственно, из предыдущей формулы следует, что ${\displaystyle \iota _{L/K}({\mathcal {H}}_{K})\subseteq {\mathcal {H}}_{L}}$. Отсюда следует, что существует гомоморфизм расширений классов ${\displaystyle j_{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{L}}$ и это ${\displaystyle j_{L/K}}$ и индуцированный перенос Артина ${\displaystyle {\tilde {T}}_{G,H}}$ связаны коммутативной диаграммой на рис. 1 через изоморфизмы, индуцированные отображениями Артина, т. е. имеем равенство двух составных ${\displaystyle {\tilde {T}}_{G,H}\circ \left({\tfrac {K'/K}{\cdot }}\right)=\left({\tfrac {L'/L}{\cdot }}\right)\circ j_{L/K}}$.^[3][6]

Классовая полевая башня

Коммутативная диаграмма из предыдущего раздела, которая связывает теоретико-числовой гомоморфизм расширения классов ${\displaystyle j_{L/K}}$ с теоретико-групповым переносом Артина ${\displaystyle T_{G,H}}$, позволил Фуртвенглеру доказать теорему о главном идеале, специализируясь на ситуации, когда ${\displaystyle L=F^{1}(K)}$ является (первым) полем гильбертовых классов ${\displaystyle K}$, то есть максимальное абелево неразветвленное расширение ${\displaystyle K}$, и ${\displaystyle F=F^{2}(K)}$ это второе поле класса Гильберта из ${\displaystyle K}$, то есть максимальное метабелевский неразветвленное расширение ${\displaystyle K}$ (и максимальное абелево неразветвленное расширение ${\displaystyle F^{1}(K)}$). потом ${\displaystyle K'=L,L'=F,{\mathfrak {d}}={\mathcal {O}}_{K},{\mathcal {H}}_{K}={\mathcal {P}}_{K},{\mathcal {H}}_{L}={\mathcal {P}}_{L}}$ и ${\displaystyle H=G'}$ - коммутаторная подгруппа группы ${\displaystyle G}$. Точнее, Фуртвенглер показал, что в целом передача Артина ${\displaystyle T_{G,G'}}$ из конечной метабелевой группы ${\displaystyle G}$ в производную подгруппу ${\displaystyle G'}$ - тривиальный гомоморфизм. На самом деле это правда, даже если ${\displaystyle G}$ не метабелев, потому что мы можем свести к метабелеву падеж, заменив ${\displaystyle G}$ с ${\displaystyle G/G''}$. Это также верно для бесконечных групп, если ${\displaystyle G}$ конечно порожден и ${\displaystyle [G:G']<\infty }$. Отсюда следует, что каждый идеал ${\displaystyle K}$ распространяется на главный идеал ${\displaystyle F^{1}(K)}$.

Однако коммутативная диаграмма содержит потенциал для множества более сложных приложений. В ситуации, когда ${\displaystyle p}$ простое число, ${\displaystyle F=F_{p}^{2}(K)}$ это второе поле p-класса Гильберта из ${\displaystyle K}$, то есть максимальное метабелево неразветвленное расширение ${\displaystyle K}$ степени степень ${\displaystyle p,L}$ варьируется в промежуточном поле между ${\displaystyle K}$ и его первый P-класс Гильберта поле ${\displaystyle F_{p}^{1}(K)}$, и ${\displaystyle H=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/L)\leq G=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/K)}$ соответственно изменяется по промежуточным группам между ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle G'}$, вычисление всех ядер принципализации ${\displaystyle \ker(j_{L/K})}$ и все группы p-класса ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p}(L)}$ переводится в информацию о ядрах ${\displaystyle \ker(T_{G,H})}$ и цели ${\displaystyle H/H'}$ переводов Artin ${\displaystyle T_{G,H}}$ и позволяет точно указать вторая группа p-класса ${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/K)}$ из ${\displaystyle K}$ через распознавание образов, а зачастую даже позволяет сделать выводы обо всем полевая башня класса p из ${\displaystyle K}$, то есть группа Галуа ${\displaystyle \mathrm {Gal} (F_{p}^{\infty }(K)/K)}$ максимального неразветвленного про-п расширение ${\displaystyle F_{p}^{\infty }(K)}$ из ${\displaystyle K}$.

Эти идеи явно выражены уже в статье А. Шольца и О. Таусского 1934 года.^[7] На этих ранних этапах распознавание образов состояла в указании аннигиляторные идеалы, или же символические заказы, а Отношения Шрайера метабелевского п-группы, а затем используя теорему единственности о групповые расширения О. Шрайера.^[8]В настоящее время мы используем палгоритм генерации группы М. Ф. Ньюмана^[9]и Э. А. О'Брайен^[10]для строительства потомки деревьев из п-группы и шаблоны поиска, определенные ядра и мишени переводов Artin, среди вершин этих деревьев.

Когомологии Галуа

В главе о циклических расширениях числовых полей простой степени своего числового отчета 1897 г. Д. Гильберт^[2]доказывает ряд важнейших теорем, кульминацией которых является теорема 94, изначальный росток теории полей классов. Сегодня эти теоремы можно рассматривать как начало того, что сейчас называется когомологиями Галуа. Гильберт рассматривает конечное относительное расширение ${\displaystyle L/K}$ полей алгебраических чисел с циклической группой Галуа ${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (L/K)=\langle \sigma \rangle }$ порожденный автоморфизмом ${\displaystyle \sigma }$ такой, что ${\displaystyle \sigma ^{\ell }=1}$ для относительной степени ${\displaystyle \ell =[L:K]}$, который считается нечетным простым числом.

Он исследует два эндоморфизма единичной группы ${\displaystyle U=U_{L}}$ поля расширения, рассматриваемого как Модуль Галуа по отношению к группе ${\displaystyle G}$, кратко ${\displaystyle G}$-модуль. Первый эндоморфизм

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta :U\to U\\E\mapsto E^{\sigma -1}:=\sigma (E)/E\end{cases}}}$

это символическое возведение в степень с разницей ${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]}$, а второй эндоморфизм

${\displaystyle {\begin{cases}N:U\to U\\E\mapsto E^{T_{G}}:=\prod _{i=0}^{\ell -1}\sigma ^{i}(E)\end{cases}}}$

это алгебраическая норма отображение, то есть символическое возведение в степень со следом

${\displaystyle T_{G}=\sum _{i=0}^{\ell -1}\sigma ^{i}\in \mathbb {Z} [G].}$

Фактически, образ отображения алгебраической нормы содержится в единичной группе ${\displaystyle U_{K}}$ базового поля и ${\displaystyle N(E)=\mathrm {N} _{L/K}(E)}$ совпадает с обычным арифметическая (полевая) норма как продукт всех конъюгатов. Композиция эндоморфизмов удовлетворяет соотношениям ${\displaystyle \Delta \circ N=1}$ и ${\displaystyle N\circ \Delta =1}$.

Две важные группы когомологий можно определить с помощью ядер и образов этих эндоморфизмов. Нулевой Группа когомологий Тейта из ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle U_{L}}$ дается частным ${\displaystyle H^{0}(G,U_{L}):=\ker(\Delta )/\mathrm {im} (N)=U_{K}/\mathrm {N} _{L/K}(U_{L})}$ состоящий из остатки нормы из ${\displaystyle U_{K}}$, а минус первая группа когомологий Тейта ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle U_{L}}$ дается частным ${\displaystyle H^{-1}(G,U_{L}):=\ker(N)/\mathrm {im} (\Delta )=E_{L/K}/U_{L}^{\sigma -1}}$ группы ${\displaystyle E_{L/K}=\{E\in U_{L}|N(E)=1\}}$ из относительные единицы из ${\displaystyle L/K}$ по модулю подгруппы символических степеней единиц с формальным показателем ${\displaystyle \sigma -1}$.

В его Теорема 92. Гильберт доказывает существование относительной единицы ${\displaystyle H\in E_{L/K}}$ что не может быть выражено как ${\displaystyle H=\sigma (E)/E}$, для любого блока ${\displaystyle E\in U_{L}}$, что означает, что минус первая группа когомологий ${\displaystyle H^{-1}(G,U_{L})=E_{L/K}/U_{L}^{\sigma -1}}$ нетривиален порядка кратного ${\displaystyle \ell }$. Однако с помощью совершенно аналогичной конструкции группа минус-первых когомологий ${\displaystyle H^{-1}(G,L^{\times })=\{A\in L^{\times }|N(A)=1\}/(L^{\times })^{\sigma -1}}$ из ${\displaystyle G}$-модуль ${\displaystyle L^{\times }=L\setminus \{0\}}$, мультипликативная группа суперполя ${\displaystyle L}$, можно определить, и Гильберт показывает его тривиальность ${\displaystyle H^{-1}(G,L^{\times })=1}$ в его знаменитом Теорема 90..

В конце концов, Гильберт может заявить о своей знаменитой Теорема 94.: Если ${\displaystyle L/K}$ является циклическим расширением числовых полей нечетной простой степени ${\displaystyle \ell }$ с тривиальным относительным дискриминантом ${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{L/K}={\mathcal {O}}_{K}}$, что означает, что он неразветвлен конечные простые числа, то существует неглавный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {j}}\in {\mathcal {I}}_{K}\setminus {\mathcal {P}}_{K}}$ базового поля ${\displaystyle K}$ которое становится главным в поле расширения ${\displaystyle L}$, то есть ${\displaystyle {\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}\in {\mathcal {P}}_{L}}$ для некоторых ${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{L}}$. Кроме того, ${\displaystyle \ell }$-я степень этого неглавного идеала является главной в базовом поле ${\displaystyle K}$, особенно ${\displaystyle {\mathfrak {j}}^{\ell }=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}}_{K}\in {\mathcal {P}}_{K}}$, следовательно, номер класса базового поля должен делиться на ${\displaystyle \ell }$ и поле расширения ${\displaystyle L}$ можно назвать поле класса из ${\displaystyle K}$. Доказательство выглядит следующим образом: теорема 92 утверждает, что существует единица ${\displaystyle H\in E_{L/K}\setminus U_{L}^{\sigma -1}}$, то теорема 90 обеспечивает существование (обязательно неединичной) ${\displaystyle A\in L^{\times }}$ такой, что ${\displaystyle H=A^{\sigma -1}}$, я. е., ${\displaystyle A^{\sigma }=A\cdot H}$. Умножая ${\displaystyle A}$ правильным целым числом, если необходимо, можно считать, что ${\displaystyle A}$ является целым алгебраическим числом. Неединичный ${\displaystyle A}$ является генератором двусмысленный главный идеал ${\displaystyle L/K}$, поскольку ${\displaystyle (A{\mathcal {O}}_{L})^{\sigma }=A^{\sigma }{\mathcal {O}}_{L}=A\cdot H{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}}$. Однако основной идеал ${\displaystyle {\mathfrak {j}}:=(A{\mathcal {O}}_{L})\cap {\mathcal {O}}_{K}}$ подполя ${\displaystyle K}$ не может быть главным. Предположим противное, что ${\displaystyle {\mathfrak {j}}=\beta {\mathcal {O}}_{K}}$ для некоторых ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {O}}_{K}}$. С ${\displaystyle L/K}$ неразветвлен, каждый неоднозначный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ это лифт какого-то идеала в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$, особенно ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=({\mathfrak {a}}\cap {\mathcal {O}}_{K}){\mathcal {O}}_{L}}$. Следовательно ${\displaystyle \beta {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}}$ и поэтому ${\displaystyle A=\beta E}$ для какой-то единицы ${\displaystyle E\in U_{L}}$. Это означало бы противоречие ${\displaystyle H=A^{\sigma -1}=(\beta E)^{\sigma -1}=E^{\sigma -1}}$ потому что ${\displaystyle \beta ^{\sigma -1}=1}$. С другой стороны,

${\displaystyle {\mathfrak {j}}^{\ell }{\mathcal {O}}_{L}=({\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L})^{\ell }=\mathrm {N} _{L/K}({\mathfrak {j}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {O}}_{L}=\mathrm {N} _{L/K}(A{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {O}}_{L}=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}}_{L},}$

таким образом ${\displaystyle {\mathfrak {j}}^{\ell }=\mathrm {N} _{L/K}(A){\mathcal {O}}_{K}}$ является главным в базовом поле ${\displaystyle K}$ уже.

Теоремы 92 и 94 не верны, как указано для ${\displaystyle \ell =2}$, с полями ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$ и ${\displaystyle L=K(i)}$ являясь контрпримером (в данном конкретном случае ${\displaystyle L}$ это узкое поле классов Гильберта из ${\displaystyle K}$). Причина в том, что Гильберт рассматривает ветвление только в конечных простых числах, но не в бесконечных простых числах (мы говорим, что действительное бесконечное простое число ${\displaystyle K}$ разветвляется в ${\displaystyle L}$ если существует ненастоящее расширение этого простого числа на ${\displaystyle L}$). Это не имеет значения, когда ${\displaystyle [L:K]}$ является нечетным, так как тогда расширение не разветвляется на бесконечных простых числах. Однако он отмечает, что теоремы 92 и 94 верны для ${\displaystyle \ell =2}$ при условии, что мы также предполагаем, что количество полей, сопряженных с ${\displaystyle L}$ которые являются действительными, в два раза больше числа реальных полей, сопряженных с ${\displaystyle K}$. Это условие эквивалентно ${\displaystyle L/K}$ не разветвляется на бесконечных простых числах, поэтому теорема 94 верна для всех простых чисел ${\displaystyle \ell }$ если мы предположим, что ${\displaystyle L/K}$ везде неразветвлен.

Из теоремы 94 следует простое неравенство ${\displaystyle \#\ker(j_{L/K})\geq \ell =[L:K]}$ для порядка ядра принципализации расширения ${\displaystyle L/K}$. Однако точная формула для порядка этого ядра может быть получена для циклического неразветвленного (включая бесконечные простые числа) расширения (не обязательно простой степени) с помощью Фактор Herbrand^[11] ${\displaystyle h(G,U_{L})}$ из ${\displaystyle G}$-модуль ${\displaystyle U_{L}}$, который задается

${\displaystyle h(G,U_{L}):=\#H^{-1}(G,U_{L})/\#H^{0}(G,U_{L})=(\ker(N):\mathrm {im} (\Delta ))/(\ker(\Delta ):\mathrm {im} (N))=(E_{L/K}:U_{L}^{\sigma -1})/(U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}(U_{L})).}$

Можно показать, что ${\displaystyle h(G,U_{L})=[L:K]}$ (без вычисления порядка любой из групп когомологий). Поскольку расширение ${\displaystyle L/K}$ неразветвленный, это ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{L}^{G}={\mathcal {I}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}}$ так ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{L}^{G}={\mathcal {P}}_{L}\cap {\mathcal {I}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}}$ . С помощью изоморфизма К. Ивасавы^[12]${\displaystyle H^{1}(G,U_{L})\cong {\mathcal {P}}_{L}^{G}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}}$, специализирующаяся на циклическом расширении с периодическими когомологиями длины ${\displaystyle 2}$, мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\#\ker(j_{L/K})&=\#({\mathcal {P}}_{L}\cap {\mathcal {I}}_{K}{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L})=\#({\mathcal {P}}_{L}^{G}/{\mathcal {P}}_{K}{\mathcal {O}}_{L})=\#H^{1}(G,U_{L})=\#H^{-1}(G,U_{L})\\&=h(G,U_{L})\cdot \#H^{0}(G,U_{L})=[L:K]\cdot \#H^{0}(G,U_{L})=[L:K]\cdot (U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}(U_{L}))\end{aligned}}}$

Это соотношение увеличивает нижнюю границу на множитель ${\displaystyle (U_{K}:\mathrm {N} _{L/K}(U_{L}))}$, так называемой индекс единичной нормы.

История

Как упоминалось в ведущем разделе, несколько исследователей пытались обобщить теорему Гильберта-Артина-Фуртвенглера о главном идеале 1930 года на вопросы, касающиеся принципализации в промежуточных расширениях между базовым полем и его полем классов Гильберта. С одной стороны, они установили общие теоремы о принципализации над произвольными числовыми полями, такие как Ph. Furtwängler 1932,^[13]О. Таусский 1932,^[14]О. Таусский 1970,^[15]и Х. Кисилевский 1970.^[16]С другой стороны, они искали конкретные числовые примеры принципализации в неразветвленных циклических расширениях определенных видов базовых полей.

Квадратичные поля

Принципиализация ${\displaystyle 3}$-классы воображаемых квадратичные поля ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ с ${\displaystyle 3}$-класс второго ранга в неразветвленных циклических кубических расширениях вычислялся вручную для трех дискриминантов ${\displaystyle d\in \{-3299,-4027,-9748\}}$ А. Шольца и О. Таусского^[7]в 1934 г. Поскольку эти вычисления требуют композиции бинарных квадратичных форм и явного знания фундаментальных систем единиц в полях кубических чисел, что было очень сложной задачей в 1934 г., исследования оставались в покое в течение полувека, пока Ф.-П. Хайдер и Б. Шмитальс^[17]использовали компьютер CDC Cyber ​​76 в Кельнском университете для распространения информации, касающейся принципализации, на весь диапазон ${\displaystyle -2\cdot 10^{4}<d<10^{5}}$ содержащий ${\displaystyle 27}$ соответствующих дискриминантов в 1982 г., тем самым предоставив первый анализ пяти действительных квадратичных полей. Два года спустя Дж. Р. Бринк^[18]вычислил типы принципализации ${\displaystyle 66}$ комплексные квадратичные поля.В настоящее время наиболее обширное вычисление данных принципализации для всех ${\displaystyle 4596}$ квадратичные поля с дискриминантами ${\displaystyle -10^{6}<d<10^{7}}$ и ${\displaystyle 3}$-классовая группа типа ${\displaystyle (3,3)}$ причитается Д. К. Майеру в 2010 г.,^[19]который использовал недавно обнаруженную связь между ядрами переноса и целями переноса для разработки нового алгоритм принципализации.^[20]

В ${\displaystyle 2}$-принципализация в неразветвленных квадратичных расширениях мнимых квадратичных полей с ${\displaystyle 2}$-классовая группа типа ${\displaystyle (2,2)}$ изучал Х. Кисилевский в 1976 г.^[21]Подобные исследования реальных квадратичных полей были выполнены Э. Бенджамином и К. Снайдером в 1995 г.^[22]

Кубические поля

В ${\displaystyle 2}$-принципализация в неразветвленных квадратичных расширениях циклических кубические поля с ${\displaystyle 2}$-классовая группа типа ${\displaystyle (2,2)}$ был исследован А. Дерхемом в 1988 г.^[23]Семь лет спустя М. Аяди изучил ${\displaystyle 3}$-принципализация в неразветвленных циклических кубических расширениях циклических кубических полей ${\displaystyle K\subset \mathbb {Q} (\zeta _{f})}$, ${\displaystyle \zeta _{f}^{f}=1}$, с ${\displaystyle 3}$-классовая группа типа ${\displaystyle (3,3)}$ и дирижер ${\displaystyle f}$ делится на два или три простых числа.^[24]

Секстические поля

В 1992 г. М. К. Исмаили исследовал ${\displaystyle 3}$-принципализация в неразветвленных циклических кубических расширениях нормальное закрытие из чистый кубический поля ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{D}})}$, в случае, если это поле шестого числа ${\displaystyle N=K(\zeta _{3})}$, ${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$, имеет ${\displaystyle 3}$-классовая группа типа ${\displaystyle (3,3)}$.^[25]

Поля четвертой степени

В 1993 г. А. Азизи изучал ${\displaystyle 2}$-принципализация в неразветвленных квадратичных расширениях биквадратные поля из Тип Дирихле ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}},{\sqrt {-1}})}$ с ${\displaystyle 2}$-классовая группа типа ${\displaystyle (2,2)}$.^[26] Совсем недавно, в 2014 г., А. Зехнини распространил исследования на поля Дирихле с ${\displaystyle 2}$-классовая группа типа ${\displaystyle (2,2,2)}$,^[27] таким образом предоставляя первые примеры ${\displaystyle 2}$-принципализация в двух слоях неразветвленных квадратичных и биквадратичных расширений квадратичных полей с группами классов ${\displaystyle 2}$-ранг три.

Смотрите также

Как алгебраический, теоретико-групповой доступ к проблеме принципализации Гильберта-Артина-Фуртвенглера, так и арифметический, когомологический доступ Гильберта-Хербранда-Ивасавы также подробно представлены в двух Библии капитуляции Ж.-Ф. Бодрый 1988^[28] и К. Мияке 1989.^[6]

Вторичные источники

• Касселс, J.W.S.; Фрёлих, Альбрехт, ред. (1967). Алгебраическая теория чисел. Академическая пресса. Zbl  0153.07403.
• Ивасава, Кенкичи (1986). Теория поля локальных классов. Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-504030-2. МИСТЕР  0863740. Zbl  0604.12014.
• Януш, Джеральд Дж. (1973). Поля алгебраических чисел. Чистая и прикладная математика. 55. Академическая пресса. п. 142. Zbl  0307.12001.
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. МИСТЕР  1697859. Zbl  0956.11021.
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008). Когомологии числовых полей. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 323 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  3-540-37888-X. Zbl  1136.11001.

Рекомендации

1. Гурвиц, А. (1926). "Uber Beziehungen zwischen den Primidealen eines algebraischen Körpers und den Substitutionen seiner Gruppe". Математика. Z. 25: 661–665. Дои:10.1007 / bf01283860.
2. Гильберт, Д. (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Яхресбер. Deutsch. Математика. Verein. 4: 175–546.
3. Хассе, Х. (1930). "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. Teil II: Reziprozitätsgesetz". Яхресбер. Deutsch. Математика. Verein., Ergänzungsband. 6: 1–204.
4. Артин, Э. (1927). "Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes". Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург. 5: 353–363.
5. Артин, Э. (1929). «Idealklassen в Оберкёрперн и allgemeines Reziprozitätsgesetz». Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург. 7: 46–51.
6. Мияке, К. (1989). «Алгебраические исследования теоремы Гильберта 94, теоремы об основном идеале и проблемы капитуляции». Экспо. Математика. 7: 289–346.
7. Шольц А., Таусский О. (1934). "Die Hautileale der kubischen Klassenkörper imaginär quadratischer Zahlkörper: ihre rechnerische Bestimmung und ihr Einfluß auf den Klassenkörperturm". J. Reine Angew. Математика. 171: 19–41.
8. Шрайер, О. (1926). "Uber die Erweiterung von Gruppen II". Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург. 4: 321–346.
9. Ньюман, М. Ф. (1977). Определение групп порядка степени простого числа. С. 73-84, в: Теория групп, Канберра, 1975, Конспект лекций по математике, т. 573, Шпрингер, Берлин.
10. О'Брайен, Э. А. (1990). "The п-групповой алгоритм генерации ». J. Символическое вычисление. 9: 677–698. Дои:10.1016 / s0747-7171 (08) 80082-х.
11. Хербранд, Дж. (1932). "Sur les théorèmes du жанра и главных идей". Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург. 9: 84–92. Дои:10.1007 / bf02940630.
12. Ивасава, К. (1956). «Заметка о группе единиц поля алгебраических чисел». J. Math. Pures Appl. 9 (35): 189–192.
13. Фуртвенглер, доктор наук (1932). "Uber eine Verschärfung des Hauptidealsatzes für algebraische Zahlkörper". J. Reine Angew. Математика. 167: 379–387.
14. Таусский, О. (1932). "Uber eine Verschärfung des Hauptidealsatzes für algebraische Zahlkörper". J. Reine Angew. Математика. 168: 193–210.
15. Таусский, О. (1970). «Замечание по поводу теоремы Гильберта 94». J. Reine Angew. Математика. 239/240: 435–438.
16. Кисилевский, Х. (1970). «Некоторые результаты, связанные с теоремой Гильберта 94». J. Теория чисел. 2: 199–206. Дои:10.1016 / 0022-314x (70) 90020-х.
17. Хайдер, Ф.-П., Шмиталс, Б. (1982). "Zur Kapitulation der Idealklassen in unverzweigten primzyklischen Erweiterungen". J. Reine Angew. Математика. 363: 1–25.
18. Бринк, Дж. Р. (1984). Башня полей классов для полей мнимых квадратичных чисел типа (3,3). Диссертация, Университет штата Огайо.
19. Майер, Д. К. (2012). «Вторая группа p-класса числового поля». Int. J. Теория чисел. 8 (2): 471–505. arXiv:1403.3899. Дои:10.1142 / с 179304211250025x.
20. Майер, Д. К. (2014). «Алгоритм принципализации через структуру группы классов». J. Théor. Номбр Бордо. 26 (2): 415–464. arXiv:1403.3839. Дои:10.5802 / jtnb.874.
21. Кисилевский, Х. (1976). «Числовые поля с числом классов, соответствующим 4 mod 8 и теореме Гильберта 94». J. Теория чисел. 8: 271–279. Дои:10.1016 / 0022-314x (76) 90004-4.
22. Бенджамин, Э., Снайдер, К. (1995). «Поля вещественных квадратичных чисел с 2-классной группой типа (2,2)». Математика. Сканд. 76: 161–178.
23. Дерхем, А. (1988). Capitulation dans les extension quadratiques non ramifiées de corps de nombres cubiques cycliques. Thèse de Doctorat, Univ. Лаваль, Квебек.
24. Аяди, М. (1995). Sur la capitulation de 3-classes d'idéaux d'un corps cubique cyclique. Thèse de Doctorat, Univ. Лаваль, Квебек.
25. Исмаили, М. К. (1992). Sur la capitulation de 3-classes d'idéaux de la clôture normale d'un corps cubique pure. Thèse de Doctorat, Univ. Лаваль, Квебек.
26. Азизи, А. (1993). Sur la capitulation de 2-classes d'idéaux de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}},i)}$. Thèse de Doctorat, Univ. Лаваль, Квебек.
27. Зехнини, А. (2014). Capitulation des 2-classes d'idéaux de определенных corps de nombres biquadratiques imaginaires ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}},i)}$ де типа (2,2,2). Thèse de Doctorat, Univ. Мохаммед Премьер, Faculté des Sciences d'Oujda, Maroc.
28. Жолент, Ж.-Ф. (26 февраля 1988 г.). "L'état actuel du problème de la capitulation". Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux. 17: 1–33.