Биквадратное поле - Biquadratic field

В математика, а биквадратное поле это числовое поле K особого вида, который является Расширение Галуа из поле рациональных чисел Q с Группа Галуа то Кляйн четыре группы.

Структура и подполя

Все биквадратные поля получаются соединением двух квадратные корни. Поэтому в явном виде они имеют вид

K = Q(√а,√б)

для рациональных чисел а и б. Здесь нет потеря общности в принятии а и б быть ненулевым и целые числа без квадратов.

В соответствии с Теория Галуа, должно быть три квадратичные поля содержалась в K, так как группа Галуа имеет три подгруппы индекса 2. Третье подполе, добавляемое к очевидному Q(√а) и Q(√б), является Q(√ab).

L-функция

Биквадратные поля - простейшие примеры абелевы расширения из Q это не циклические расширения. Согласно общей теории Дзета-функция Дедекинда такого поля является продуктом Дзета-функция Римана и три L-функции Дирихле. Эти L-функции предназначены для Персонажи Дирихле которые являются Символы Якоби прикреплен к трем квадратичным полям. Следовательно, произведение дзета-функции Дедекинда квадратичных полей, умножение их вместе и деление на квадрат дзета-функции Римана является рецептом дзета-функции Дедекинда биквадратичного поля. Это также иллюстрирует некоторые общие принципы абелевых расширений, такие как вычисление проводник поля.

Такие L-функции имеют приложения в аналитической теории (Зигель обнуляет ), а в некоторых Кронекер работа.^{[нужна цитата ]}

Рекомендации

• Раздел 12 Суиннертон-Дайер, H.P.F. (2001), Краткое руководство по алгебраической теории чисел, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 50, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-00423-7, МИСТЕР  1826558