Двойной смежный класс - Double coset

В теория групп, поле математика, а двойной смежный представляет собой набор элементов группы, эквивалентных относительно симметрий, исходящих от двух подгрупп.^[1][2] Точнее, пусть грамм быть группа, и разреши ЧАС и K быть подгруппы. Позволять ЧАС действовать на грамм умножением слева, а K действует на грамм умножением справа. Для каждого Икс в грамм, то (ЧАС, K)-двойной смежный класс Икс это набор

${\displaystyle HxK=\{hxk\colon h\in H,k\in K\}.}$

Когда ЧАС = K, это называется ЧАС-двойной смежный класс Икс. Эквивалентно, HxK класс эквивалентности Икс при отношении эквивалентности

Икс ~ у тогда и только тогда, когда существуют час в ЧАС и k в K такой, что hxk = у.

Множество всех двойных смежных классов обозначается

${\displaystyle H\backslash G/K.}$

Характеристики

Предположим, что грамм группа с подгруппами ЧАС и K действуя левым и правым умножением соответственно. В (ЧАС, K)-двойные смежные классы грамм могут быть эквивалентно описаны как орбиты для группы продуктов ЧАС × K действующий на грамм к (час, k)⋅Икс = hxk⁻¹. Многие из основных свойств двойных смежных классов непосредственно вытекают из того факта, что они являются орбитами. Однако, поскольку грамм это группа и ЧАС и K являются подгруппами, действующими путем умножения, двойные классы смежности более структурированы, чем орбиты произвольных групповых действий, и у них есть дополнительные свойства, которые ложны для более общих действий.

• Два двойных смежных класса HxK и HyK либо не пересекаются, либо идентичны.
• грамм является несвязным объединением своих двойных смежных классов.
• Между двумя двойными пространствами смежных классов существует взаимно однозначное соответствие ЧАС \ грамм / K и K \ грамм / ЧАС дан путем определения HxK с Kx⁻¹ЧАС.
• Если ЧАС = {1}, тогда ЧАС \ грамм / K = грамм / K. Если K = {1}, тогда ЧАС \ грамм / K = ЧАС \ грамм.
• Двойной смежный класс HxK является объединением правых классов смежности ЧАС и левые смежные классы K, конкретно,

  ${\displaystyle {\begin{aligned}HxK&=\bigcup _{k\in K}Hxk=\coprod _{Hxk\in H\backslash HxK}Hxk,\\HxK&=\bigcup _{h\in H}hxK=\coprod _{hxK\in HxK/K}hxK.\end{aligned}}}$

• Набор (ЧАС, K)-двойные классы смежности находятся в биекции с орбитами ЧАС \ (грамм / K), а также с орбитами (ЧАС \ грамм) / K под сопоставлениями ${\displaystyle HgK\to H(gK)}$ и ${\displaystyle HgK\to (Hg)K}$ соответственно.
• Если ЧАС нормально, то ЧАС \ грамм группа, и правильное действие K на факторы этой группы через правильное действие ЧАС \ HK. Следует, что ЧАС \ грамм / K = HK \ грамм. Аналогично, если K нормально, то ЧАС \ грамм / K = грамм / HK.
• Если ЧАС нормальная подгруппа грамм, то ЧАС-двойные классы смежности находятся во взаимно однозначном соответствии с левым (и правым) ЧАС-косеты.
• Учитывать HxK как союз K-орбита вправо ЧАС-косеты. Стабилизатор правый ЧАС-косет Hxk ∈ ЧАС \ HxK относительно правильного действия K является K ∩ (xk)⁻¹Hxk. Аналогично стабилизатор левого K-косет hxK ∈ HxK / K относительно левого действия ЧАС является ЧАС ∩ hxK(hx)⁻¹.
• Отсюда следует, что количество правых классов смежности ЧАС содержалась в HxK это индекс [K : K ∩ Икс⁻¹Hx] и количество левых смежных классов K содержалась в HxK это индекс [ЧАС : ЧАС ∩ xKx⁻¹]. Следовательно

  ${\displaystyle {\begin{aligned}|HxK|&=[H:H\cap xKx^{-1}]|K|=|H|[K:K\cap x^{-1}Hx],\\\left[G:H\right]&=\sum _{HxK\in H\backslash G/K}[K:K\cap x^{-1}Hx],\\\left[G:K\right]&=\sum _{HxK\in H\backslash G/K}[H:H\cap xKx^{-1}].\end{aligned}}}$

• Если грамм, ЧАС, и K конечны, то также следует, что

  ${\displaystyle {\begin{aligned}|HxK|&={\frac {|H||K|}{|H\cap xKx^{-1}|}}={\frac {|H||K|}{|K\cap x^{-1}Hx|}},\\\left[G:H\right]&=\sum _{HxK\in H\backslash G/K}{\frac {|K|}{|K\cap x^{-1}Hx|}},\\\left[G:K\right]&=\sum _{HxK\in H\backslash G/K}{\frac {|H|}{|H\cap xKx^{-1}|}}.\end{aligned}}}$

• Исправить Икс ∈ грамм, и разреши (ЧАС × K)_Икс обозначают двойной стабилизатор {(час, k) : hxk = Икс}. Тогда двойной стабилизатор является подгруппой ЧАС × K.
• Потому что грамм группа, для каждого час ∈ ЧАС есть ровно один грамм ∈ грамм такой, что hxg = Икс, а именно грамм = Икс⁻¹час⁻¹Икс; тем не мение, грамм может не быть в K. Аналогично для каждого k ∈ K есть ровно один грамм′ ∈ грамм такой, что грамм′xk = Икс, но грамм′ может не быть в ЧАС. Поэтому двойной стабилизатор имеет описания

  ${\displaystyle (H\times K)_{x}=\{(h,x^{-1}h^{-1}x)\colon h\in H\}\cap H\times K=\{(xk^{-1}x^{-1},k)\colon k\in K\}\cap H\times K.}$

• (Теорема орбиты стабилизатора ) Между HxK и (ЧАС × K) / (ЧАС × K)_Икс под которым hxk соответствует (час, k⁻¹)(ЧАС × K)_Икс. Отсюда следует, что если грамм, ЧАС, и K конечны, то

  ${\displaystyle |HxK|=[H\times K:(H\times K)_{x}]=|H\times K|/|(H\times K)_{x}|.}$

• (Лемма Коши – Фробениуса ) Позволять грамм^{(час, k)} обозначим элементы, фиксируемые действием (час, k). потом

  ${\displaystyle |H\backslash G/K|={\frac {1}{|H||K|}}\sum _{(h,k)\in H\times K}|G^{(h,k)}|.}$

• В частности, если грамм, ЧАС, и K конечны, то количество двойных смежных классов равно среднему количеству точек, фиксируемых на пару элементов группы.

Есть эквивалентное описание двойных смежных классов в терминах одиночных классов. Позволять ЧАС и K оба действуют правым умножением на грамм. потом грамм действует умножением слева на произведение пространств смежных классов грамм / ЧАС × грамм / K. Орбиты этого действия находятся во взаимно однозначном соответствии с ЧАС \ грамм / K. Это соответствие идентифицирует (xH, yK) с двойным смежным классом Hx⁻¹yK. Вкратце, это потому, что каждый грамм-орбита допускает представителей вида (ЧАС, xK), а представитель Икс определяется только с точностью до умножения слева на элемент ЧАС. По аналогии, грамм действует правым умножением на ЧАС \ грамм × K \ грамм, и орбиты этого действия находятся во взаимно однозначном соответствии с двойными смежными классами ЧАС \ грамм / K. Концептуально это идентифицирует двойное смежное пространство ЧАС \ грамм / K с пространством относительных конфигураций ЧАС-косет и K-косет. Кроме того, эта конструкция обобщается на случай любого числа подгрупп. Данные подгруппы ЧАС₁, ..., ЧАС_п, пространство (ЧАС₁, ..., ЧАС_п)-множественные наборы это набор грамм-орбиты грамм / ЧАС₁ × ... × грамм / ЧАС_п.

Аналог Теорема Лагранжа для двойных смежных классов ложно. Это означает, что размер двойного смежного класса не обязательно делит порядок грамм. Например, пусть грамм = S₃ - симметрическая группа из трех букв, и пусть ЧАС и K - циклические подгруппы, порожденные транспозициями (1 2) и (1 3), соответственно. Если е обозначает тождественную перестановку, то

${\displaystyle HeK=HK=\{e,(12),(13),(132)\}.}$

В нем четыре элемента, и четыре не делят шесть, порядок S₃. Также неверно, что разные двойные смежные классы имеют одинаковый размер. Продолжая тот же пример,

${\displaystyle H(23)K=\{(23),(123)\},}$

который имеет два элемента, а не четыре.

Однако предположим, что ЧАС это нормально. Как отмечалось ранее, в этом случае двойное смежное пространство равно правому смежному пространству HK \ грамм. Аналогично, если K нормально, то ЧАС \ грамм / K левое смежное пространство грамм / HK. Из стандартных результатов о левых и правых смежных пространствах вытекают следующие факты.

• |HxK| = |HK| для всех Икс ∈ грамм. То есть все двойные классы смежности имеют одинаковую мощность.
• Если грамм конечно, то |грамм| = |HK| ⋅ |ЧАС \ грамм / K|. Особенно, |HK| и |ЧАС \ грамм / K| разделять |грамм|.

Примеры

• Позволять грамм = S_п - симметрическая группа, рассматриваемая как перестановки множества {1, ..., п}. Рассмотрим подгруппу ЧАС = S_{п − 1} что стабилизирует п. потом S_{п − 1} \ S_п / S_{п − 1} состоит из двух двойных смежных классов. Один из них ЧАС = S_{п − 1}. Если γ это перестановка, которая не фиксирует п, то второй смежный класс представлен как S_{п − 1} γ S_{п − 1}.
• Позволять грамм быть группой GL_п(р), и разреши B - подгруппа верхнетреугольных матриц. Двойное смежное пространство B \ грамм / B это Разложение Брюа из грамм. У каждого двойного смежного класса есть представитель BwB, куда ш матрица перестановок. Например, если п = 2, тогда

  ${\displaystyle B\backslash \operatorname {GL} _{2}(\mathbf {R} )/B=\left\{B{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}B,B{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}B\right\}.}$

Произведения в свободной абелевой группе на множестве двойных классов смежности

Предположим, что грамм это группа и это ЧАС, K, и L являются подгруппами. При определенных условиях конечности существует произведение на свободной абелевой группе, порожденное (ЧАС, K)- и (K, L)-двойные классы смежности со значениями в свободной абелевой группе, порожденной (ЧАС, L)-двойные классы. Это означает, что существует билинейная функция

${\displaystyle \mathbf {Z} [H\backslash G/K]\times \mathbf {Z} [K\backslash G/L]\to \mathbf {Z} [H\backslash G/L].}$

Предположим для простоты, что грамм конечно. Чтобы определить произведение, переинтерпретируйте эти свободные абелевы группы в терминах групповая алгебра из грамм следующее. Каждый элемент Z[ЧАС \ грамм / K] имеет форму

${\displaystyle \sum _{HxK\in H\backslash G/K}f_{HxK}\cdot [HxK],}$

куда { ж_HxK } представляет собой набор целых чисел, индексированных элементами ЧАС \ грамм / K. Этот элемент можно интерпретировать как Z-значная функция на ЧАС \ грамм / K, конкретно, HxK ↦ ж_HxK. Эту функцию можно оттянуть назад по проекции. грамм → ЧАС \ грамм / K который отправляет Икс к двойному классу HxK. Это приводит к функции Икс ↦ ж_HxK. По способу построения этой функции она остается инвариантной относительно ЧАС и правый инвариант относительно K. Соответствующий элемент групповой алгебры Z[грамм] является

${\displaystyle \sum _{x\in G}f_{HxK}\cdot [x],}$

и этот элемент инвариантен относительно умножения слева на ЧАС и правильное умножение на K. Концептуально этот элемент получается заменой HxK элементами, которые он содержит, и конечностью грамм гарантирует, что сумма все еще конечна. И наоборот, каждый элемент Z[грамм] который остается инвариантным относительно ЧАС и правый инвариант относительно K это откат функции на Z[ЧАС \ грамм / K]. Параллельные утверждения верны для Z[K \ грамм / L] и Z[ЧАС \ грамм / L].

Когда элементы Z[ЧАС \ грамм / K], Z[K \ грамм / L], и Z[ЧАС \ грамм / L] интерпретируются как инвариантные элементы Z[грамм], то произведение, существование которого утверждалось выше, есть в точности умножение на Z[грамм]. В самом деле, легко проверить, что произведение левойЧАС-инвариантный элемент и право-L-инвариантный элемент продолжает оставаться влево-ЧАС-инвариантный и правый-L-инвариантный. Билинейность произведения немедленно следует из билинейности умножения на Z[грамм]. Отсюда также следует, что если M четвертая подгруппа грамм, то произведение (ЧАС, K)-, (K, L)-, и (L, M)-двойные классы смежности ассоциативны. Потому что продукт в Z[грамм] соответствует свертке функций на грамм, этот продукт иногда называют продуктом свертки.

Важный частный случай - это когда ЧАС = K = L. В этом случае произведение представляет собой билинейную функцию

${\displaystyle \mathbf {Z} [H\backslash G/H]\times \mathbf {Z} [H\backslash G/H]\to \mathbf {Z} [H\backslash G/H].}$

Этот продукт превращается Z[ЧАС \ грамм / ЧАС] в ассоциативное кольцо, единичным элементом которого является класс тривиального двойного смежного класса [ЧАС]. В общем случае это кольцо некоммутативно. Например, если ЧАС = {1}, то кольцо является групповой алгеброй Z[грамм], а групповая алгебра является коммутативным кольцом тогда и только тогда, когда основная группа абелева.

Если ЧАС нормально, так что ЧАС-двойные классы смежности такие же, как элементы фактор-группы грамм / ЧАС, то продукт на Z[ЧАС \ грамм / ЧАС] является произведением в групповой алгебре Z[грамм / ЧАС]. В частности, это обычная свертка функций на грамм / ЧАС. В этом случае кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда грамм / ЧАС абелева, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда ЧАС содержит коммутаторная подгруппа из грамм.

Если ЧАС это ненормально, тогда Z[ЧАС \ грамм / ЧАС] может быть коммутативным, даже если грамм неабелева. Классический пример - произведение двух Операторы Гекке. Это произведение в алгебре Гекке, которое коммутативно, хотя группа грамм это модульная группа, который неабелева, и подгруппа является арифметическая подгруппа и, в частности, не содержит коммутаторной подгруппы. Коммутативность продукта свертки тесно связана с Пары Гельфанда.

Когда группа грамм является топологической группой, можно ослабить предположение, что число левых и правых смежных классов в каждом двойном классе конечно. Групповая алгебра Z[грамм] заменяется алгеброй таких функций, как L²(грамм) или же C^∞(грамм), а суммы заменяются интегралами. Изделие по-прежнему соответствует свертке. Например, это происходит для Алгебра Гекке локально компактной группы.

Приложения

Когда группа ${\displaystyle G}$ имеет переходное групповое действие на съемочной площадке ${\displaystyle S}$, вычисляя некоторые двойные разложения смежных классов ${\displaystyle G}$ раскрывает дополнительную информацию о структуре действия ${\displaystyle G}$ на ${\displaystyle S}$. В частности, если ${\displaystyle H}$ стабилизирующая подгруппа некоторого элемента ${\displaystyle s\in S}$, тогда ${\displaystyle G}$ разлагается как ровно два двойных смежных класса по ${\displaystyle (H,H)}$ если и только если ${\displaystyle G}$ действует транзитивно на множестве различных пар ${\displaystyle S}$. Видеть 2-транзитивные группы для получения дополнительной информации об этом действии.

Двойные классы важны в связи с теория представлений, когда представление ЧАС используется для построения индуцированное представление из грамм, что тогда ограниченный к K. Соответствующая двойная структура смежного класса несет информацию о том, как разлагается полученное представление. В случае конечных групп это Теорема Макки о разложении.

Они также важны в функциональный анализ, где в некоторых важных случаях функции левоинвариантны и правоинвариантны по подгруппе K может сформировать коммутативное кольцо под свертка: видеть Пара Гельфанда.

В геометрии Форма Клиффорда – Клейна двойное смежное пространство Γ грамм/ЧАС, куда грамм это редуктивная группа Ли, ЧАС - замкнутая подгруппа и Γ дискретная подгруппа (из грамм), который действует правильно прерывисто на однородное пространство грамм/ЧАС.

В теория чисел, то Алгебра Гекке соответствующий подгруппа конгруэнции Γ из модульная группа натянута на элементы двойного смежного класса ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathrm {GL} _{2}^{+}(\mathbb {Q} )/\Gamma }$; структура алгебры получена в результате умножения двойных смежных классов, описанных выше. Особое значение имеют операторы Гекке ${\displaystyle T_{m}}$ соответствующие двойным смежным классам ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)g\Gamma _{0}(N)}$ или же ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)g\Gamma _{1}(N)}$, куда ${\displaystyle g=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&m\end{smallmatrix}}\right)}$ (они имеют разные свойства в зависимости от того, м и N взаимно просты или нет), а алмазные операторы ${\displaystyle \langle d\rangle }$ заданные двойными смежными классами ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\Gamma _{1}(N)}$ куда ${\displaystyle d\in (\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}$ и мы требуем ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma _{0}(N)}$ (выбор а, б, c не влияет на ответ).

Рекомендации

1. Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп, Нью-Йорк: Macmillan, стр. 14–15.
2. Бехтелл, Гомер (1971), Теория групп, Эддисон-Уэсли, стр. 101