Группа когомологий Тейта - Tate cohomology group

В математика, Группы когомологий Тейта представляют собой слегка измененную форму обычного группы когомологий конечной группы, объединяющей группы гомологий и когомологий в одну последовательность. Их представил Джон Тейт  (1952, п. 297), и используются в теория поля классов.

Определение

Если грамм это конечная группа и А а грамм-модуль, то существует естественное отображение N из ${displaystyle H_{0}(G,A)}$ к ${displaystyle H^{0}(G,A)}$ принимая представителя а к ${displaystyle sum _{gin G}ga}$ (сумма по всем грамм-конъюгаты а). В Группы когомологий Тейта ${displaystyle {hat {H}}^{n}(G,A)}$ определены

• ${displaystyle {hat {H}}^{n}(G,A)=H^{n}(G,A)}$ за ${displaystyle ngeq 1}$,
• ${displaystyle {hat {H}}^{0}(G,A)=operatorname {coker} N=}$ частное от ${displaystyle H^{0}(G,A)}$ по нормам элементов А,
• ${displaystyle {hat {H}}^{-1}(G,A)=ker N=}$ частное от нормы 0 элементов А по основным элементам А,
• ${displaystyle {hat {H}}^{n}(G,A)=H_{-(n+1)}(G,A)}$ за ${displaystyle nleq -2}$.

Характеристики

Если

${displaystyle 0longrightarrow Alongrightarrow Blongrightarrow Clongrightarrow 0}$

это короткая точная последовательность грамм-модулей, то мы получаем обычную длинную точную последовательность групп когомологий Тейта:

${displaystyle cdots longrightarrow {hat {H}}^{n}(G,A)longrightarrow {hat {H}}^{n}(G,B)longrightarrow {hat {H}}^{n}(G,C)longrightarrow {hat {H}}^{n+1}(G,A)longrightarrow {hat {H}}^{n+1}(G,B)cdots }$

Если А индуцированный грамм модуля, то все группы когомологий Тейта А исчезнуть.

Нулевая группа когомологий Тейта А является

(Фиксированные точки грамм на А) / (Очевидные неподвижные точки грамм действующий на А)

где под "очевидной" неподвижной точкой мы понимаем точки вида ${displaystyle sum ga}$. Другими словами, группа нулевых когомологий в некотором смысле описывает неочевидные неподвижные точки грамм действующий на А.

Группы когомологий Тейта характеризуются тремя вышеуказанными свойствами.

Теорема Тэйта

Теорема Тэйта (Тейт 1952 г. ) дает условия, при которых умножение на класс когомологий является изоморфизмом между группами когомологий. Есть несколько немного разных его версий; версия, которая особенно удобна для теория поля классов как следует:

Предположим, что А является модулем над конечной группой грамм и а является элементом ${displaystyle H^{2}(G,A)}$, такое, что для каждой подгруппы E из грамм

• ${displaystyle H^{1}(E,A)}$ тривиально, и
• ${displaystyle H^{2}(E,A)}$ генерируется ${displaystyle operatorname {Res} (a)}$, который имеет порядок E. Затем залить продукт в чашку а это изоморфизм
• ${displaystyle {hat {H}}^{n}(G,mathbb {Z} )longrightarrow {hat {H}}^{n+2}(G,A)}$

для всех п; другими словами, градуированные когомологии Тейта А изоморфна когомологиям Тейта с целыми коэффициентами со сдвигом степени на 2.

Когомологии Тейт-Фаррелла

Ф. Томас Фаррелл расширенные группы когомологий Тейта на случай всех групп грамм конечных виртуальная когомологическая размерность. В теории Фаррелла группы ${displaystyle {hat {H}}^{n}(G,A)}$ изоморфны обычным группам когомологий всякий раз, когда п больше виртуальной когомологической размерности группы грамм. Конечные группы имеют виртуальную когомологическую размерность 0, и в этом случае группы когомологий Фаррелла такие же, как у Тейта.

Смотрите также

• Фактор Herbrand
• Формирование класса

Рекомендации

• М. Ф. Атья и К. Т. К. Уолл, «Когомологии групп», в Алгебраическая теория чисел Дж. В. С. Касселс, А. Фрелих ISBN  0-12-163251-2, Глава IV. См. Раздел 6.
• Браун, Кеннет С. (1982). Когомологии групп. Тексты для выпускников по математике. 87. Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90688-6. Г-Н  0672956.
• Фаррелл, Ф. Томас (1977). «Расширение когомологий тэйта на класс бесконечных групп». Журнал чистой и прикладной алгебры. 10 (2): 153–161. Дои:10.1016/0022-4049(77)90018-4. Г-Н  0470103.
• Тейт, Джон (1952), "Группы когомологий многомерной теории полей классов", Анналы математики, 2, 56: 294–297, Дои:10.2307/1969801, JSTOR  1969801, Г-Н  0049950