Теорема Гильбертса 90 - Hilberts Theorem 90

В абстрактная алгебра, Теорема Гильберта 90 (или же Satz 90) - важный результат на циклические расширения из поля (или к одному из его обобщений), что приводит к Теория Куммера. В своей основной форме он утверждает, что если L/K является циклическим расширением полей с Группа Галуа грамм = Гал (L/K) порожденный элементом ${\displaystyle \sigma ,}$ и если ${\displaystyle a}$ является элементом L из относительная норма 1, то существует ${\displaystyle b}$ в L такой, что

${\displaystyle a=\sigma (b)/b.}$

Теорема получила свое название от того факта, что это 90-я теорема в Дэвид Гильберт знаменитый Zahlbericht (Гильберт1897, 1998 ), хотя изначально это связано с Куммер  (1855, стр.213, 1861 ). Часто более общая теорема из-за Эмми Нётер  (1933 ) дается имя, утверждая, что если L/K конечный Расширение Галуа полей с группой Галуа грамм = Гал (L/K), то первый когомология группа тривиальна:

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

Примеры

Позволять L/K быть квадратичное расширение ${\displaystyle \mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q} .}$ Группа Галуа циклическая порядка 2, ее образующая ${\displaystyle s}$ действуя через спряжение:

${\displaystyle s:c+di\mapsto c-di.}$

Элемент ${\displaystyle x=a+bi}$ в L имеет норму ${\displaystyle x}$, т.е. ${\displaystyle x^{2}=a^{2}+b^{2}}$. Элемент нормы один соответствует рациональному решению уравнения ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$ или другими словами точка с рациональными координатами на единичный круг. Теорема Гильберта 90 утверждает, что каждый такой элемент у нормы можно параметризовать (с интеграломc, d) в качестве

${\displaystyle y={\frac {c+di}{c-di}}={\frac {c^{2}-d^{2}}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {2cd}{c^{2}+d^{2}}}i}$

которое можно рассматривать как рациональную параметризацию рациональных точек единичной окружности. Рациональные моменты ${\displaystyle (x,y)=(a/c,b/c)}$ на единичном круге ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ соответствуют Пифагорейские тройки, т.е. троек ${\displaystyle (a,b,c)}$ целых чисел, удовлетворяющих ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Когомологии

Теорема может быть сформулирована в терминах групповые когомологии: если L^× это мультипликативная группа любого (не обязательно конечного) расширения Галуа L поля K с соответствующей группой Галуа грамм, тогда

${\displaystyle H^{1}(G,L^{\times })=\{1\}.}$

Дальнейшее обобщение с использованием когомологии неабелевых групп заявляет, что если ЧАС либо Общее или же специальная линейная группа над L, тогда

${\displaystyle H^{1}(G,H)=\{1\}.}$

Это обобщение, поскольку ${\displaystyle L^{\times }=\operatorname {GL} _{1}(L).}$ Другое обобщение:

${\displaystyle H_{{\acute {e}}t}^{1}(X,\mathbb {G} _{m})=H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X)}$

за Икс схема, и еще одна Милнор К-теория играет роль в Воеводского доказательство Гипотеза Милнора.

Доказательство

Элементарный

Позволять ${\displaystyle L/K}$ быть циклическим по степени ${\displaystyle n,}$ и ${\displaystyle \sigma }$ генерировать ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$. Выберите любой ${\displaystyle a\in L}$ нормы

${\displaystyle N(a):=a\sigma (a)\sigma ^{2}(a)\cdots \sigma ^{n-1}(a)=1.}$

Очистив знаменатели, решив ${\displaystyle a=x/\sigma (x)\in L}$ это то же самое, что показать, что ${\displaystyle a\sigma (\cdot ):L\to L}$ имеет собственное значение ${\displaystyle 1}$. Распространите это на карту ${\displaystyle L}$-векторные пространства

${\displaystyle {\begin{cases}1_{L}\otimes a\sigma (\cdot ):L\otimes _{K}L\to L\otimes _{K}L\\\ell \otimes \ell '\mapsto \ell \otimes a\sigma (\ell ')\end{cases}}}$

Теорема о примитивном элементе дает ${\displaystyle L=K(\alpha )}$ для некоторых ${\displaystyle \alpha }$. С ${\displaystyle \alpha }$ имеет минимальный многочлен

${\displaystyle f(t)=(t-\alpha )(t-\sigma (\alpha ))\cdots \left(t-\sigma ^{n-1}(\alpha )\right)\in K[t],}$

мы идентифицируем

${\displaystyle L\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\to }}L\otimes _{K}K[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L[t]/f(t){\stackrel {\sim }{\to }}L^{n}}$

через

${\displaystyle \ell \otimes p(\alpha )\mapsto \ell \left(p(\alpha ),p(\sigma \alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha )\right).}$

Здесь мы записали второй фактор как ${\displaystyle K}$-полином в ${\displaystyle \alpha }$.

Под этим обозначением наша карта

${\displaystyle {\begin{cases}a\sigma (\cdot ):L^{n}\to L^{n}\\\ell \left(p(\alpha ),\ldots ,p(\sigma ^{n-1}\alpha ))\mapsto \ell (ap(\sigma \alpha ),\ldots ,\sigma ^{n-1}ap(\sigma ^{n}\alpha )\right)\end{cases}}}$

То есть под этой картой

${\displaystyle (\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})\mapsto (a\ell _{n},\sigma a\ell _{1},\ldots ,\sigma ^{n-1}a\ell _{n-1}).}$

${\displaystyle (1,\sigma a,\sigma a\sigma ^{2}a,\ldots ,\sigma a\cdots \sigma ^{n-1}a)}$ является собственным вектором с собственным значением ${\displaystyle 1}$ если только ${\displaystyle a}$ имеет норму ${\displaystyle 1}$.

Рекомендации

• Гильберт, Дэвид (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком), 4: 175–546, ISSN  0012-0456
• Гильберт, Дэвид (1998), Теория полей алгебраических чисел, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62779-1, МИСТЕР  1646901
• Куммер, Эрнст Эдуард (1855), "Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke"., Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком), 50: 212–232, Дои:10.1515 / crll.1855.50.212, ISSN  0075-4102
• Куммер, Эрнст Эдуард (1861), "Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist", Abdruck aus den Abhandlungen der Kgl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (на немецком языке), перепечатанный в томе 1 его собрания сочинений, страницы 699–839
• Глава II J.S. Милн, Теория поля классов, доступно на его сайте [1].
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, МИСТЕР  1737196, Zbl  0948.11001
• Нётер, Эмми (1933), "Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper"., Mathematische Annalen (на немецком), 108 (1): 411–419, Дои:10.1007 / BF01452845, ISSN  0025-5831, Zbl  0007.29501
• Снайт, Виктор П. (1994), Структура модуля Галуа, Монографии Института Филдса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0264-X, Zbl  0830.11042

Внешняя ссылка