Теория Куммера - Kummer theory

В абстрактная алгебра и теория чисел, Теория Куммера дает описание определенных типов расширения полей с участием примыкание из п-ые корни элементов базы поле. Теория была первоначально разработана Эрнст Эдуард Куммер примерно в 1840-х годах в своей новаторской работе над Последняя теорема Ферма. Основные утверждения не зависят от природы поля - кроме его характеристика, который не должен делить целое число п - и поэтому относятся к абстрактной алгебре. Теория циклических расширений поля. K когда характеристика K действительно разделяет п называется Теория Артина – Шрайера.

Теория Куммера является базовой, например, в теория поля классов и вообще в понимании абелевы расширения; он говорит, что при наличии достаточного количества корней из единицы циклические расширения можно понимать в терминах извлечения корней. Основное бремя теории поля классов - избавиться от лишних корней единства («спуск» обратно к меньшим полям); что гораздо серьезнее.

Куммер расширения

А Куммер расширение расширение поля L/K, где для некоторого заданного целого числа п > 1 у нас есть

• K содержит п отчетливый пth корни единства (т.е. корни Икс^п − 1)
• L/K имеет абелевский Группа Галуа из показатель степени п.

Например, когда п = 2, первое условие всегда выполняется, если K имеет характеристика ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения ${\displaystyle L=K({\sqrt {a}})}$ куда а в K неквадратный элемент. Обычным решением квадратные уравнения, любое расширение степени 2 K имеет такую ​​форму. Расширения Куммера в этом случае также включают биквадратные расширения и более общие мультиквадратичные расширения. Когда K имеет характеристику 2, таких расширений Куммера нет.

Принимая п = 3, не существует куммеровских расширений степени 3 Рациональное число поле Q, поскольку для трех кубических корней из 1 сложные числа необходимы. Если взять L быть полем расщепления Икс³ − а над Q, куда а не является кубом в рациональных числах, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1; это потому, что если α и β являются корнями кубического многочлена, мы будем иметь (α / β)³ = 1 и кубика является отделимый многочлен. потом L/K является расширением Куммера.

В более общем плане верно, что когда K содержит п отчетливый пкорней из единства, что означает, что характеристика K не делит п, затем примыкая к K то пкорень -й корень любого элемента а из K создает расширение Куммера (степени м, для некоторых м разделение п). Поскольку поле расщепления полинома Икс^п − а, расширение Куммера обязательно Галуа, с группой Галуа, циклический порядка м. Легко проследить действие Галуа через корень единства перед ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}.}$

Теория Куммера предоставляет обратные утверждения. Когда K содержит п отчетливый пкорней единства, говорится, что любой абелево расширение из K деления экспоненты п образуется путем извлечения корней элементов K. Далее, если K^× обозначает мультипликативную группу ненулевых элементов K, абелевы расширения K экспоненты п биективно соответствуют подгруппам

${\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

то есть элементы K^× по модулю пй полномочия. Соответствие можно явно описать следующим образом. Учитывая подгруппу

${\displaystyle \Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},}$

соответствующее расширение дается

${\displaystyle K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),}$

куда

${\displaystyle \Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.}$

Фактически достаточно примыкать пкорень -й степени одного представителя каждого элемента любого набора образующих группы Δ. Наоборот, если L является куммеровским расширением K, то Δ восстанавливается по правилу

${\displaystyle \Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.}$

В этом случае имеется изоморфизм

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$

данный

${\displaystyle a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),}$

где α - любое пй корень а в L. Здесь ${\displaystyle \mu _{n}}$ обозначает мультипликативную группу пкорни единства (которые принадлежат K) и ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}$ - группа непрерывных гомоморфизмов из ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ оснащен Топология Крулля к ${\displaystyle \mu _{n}}$ с дискретной топологией (с групповой операцией, заданной поточечным умножением). Эту группу (с дискретной топологией) также можно рассматривать как Понтрягин дуальный из ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$, если мы рассматриваем ${\displaystyle \mu _{n}}$ как подгруппа круговая группа. Если расширение L/K конечно, то ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ конечная дискретная группа, и мы имеем

${\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}$

однако последний изоморфизм не естественный.

Восстановление ${\displaystyle a^{1/n}}$ из примитивного элемента

За ${\displaystyle p}$ премьер, пусть ${\displaystyle K}$ быть полем, содержащим ${\displaystyle \zeta _{p}}$ и ${\displaystyle K(\beta )/K}$ градус ${\displaystyle p}$ Расширение Галуа. Обратите внимание, что группа Галуа является циклической, порожденной ${\displaystyle \sigma }$. Позволять

${\displaystyle \alpha =\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l}\sigma ^{l}(\beta )\in K(\beta )}$

потом

${\displaystyle \zeta _{p}\sigma (\alpha )=\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l+1}\sigma ^{l+1}(\beta )=\alpha .}$

С ${\displaystyle \alpha \neq \sigma (\alpha ),K(\alpha )=K(\beta )}$ и

${\displaystyle \alpha ^{p}=\prod _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{-l}\alpha =\prod _{l=0}^{p-1}\sigma ^{l}(\alpha )=N_{K(\beta )/K}(\alpha )\in K}$.

Когда ${\displaystyle L/K}$ является абелевым расширением степени ${\displaystyle n=\prod _{j=1}^{m}p_{j}}$ бесквадратный такой, что ${\displaystyle \zeta _{n}\in K}$, примените тот же аргумент к подполям ${\displaystyle K(\beta _{j})/K}$ Галуа степени ${\displaystyle p_{j}}$ чтобы получить

${\displaystyle L=K\left(a_{1}^{1/p_{1}},\ldots ,a_{m}^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/p_{1}},\ldots ,A^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/n}\right)}$

куда

${\displaystyle A=\prod _{j=1}^{m}a_{j}^{n/p_{j}}\in K}$.

Обобщения

Предположим, что грамм это проконечная группа действующий на модуль А с сюръективным гомоморфизмом π из грамм-модуль А себе. Предположим также, что грамм действует тривиально на ядре C π и первая группа когомологий H¹(грамм,А) тривиально. Тогда точная последовательность групповых когомологий показывает, что существует изоморфизм между А^грамм/ π (А^грамм) и Hom (грамм,C).

Теория Куммера является частным случаем этого, когда А - мультипликативная группа сепарабельного замыкания поля k, грамм - группа Галуа, π - пкарта мощности, и C группа пкорни единства. Теория Артина – Шрайера это частный случай, когда А аддитивная группа сепарабельного замыкания поля k положительной характеристики п, грамм - группа Галуа, π - Карта Фробениуса минус личность, и C конечное поле порядка п. Принимая А кольцо усеченных векторов Витта дает Виттовское обобщение теории Артина – Шрайера на расширения экспоненты, делящей п^п.

Смотрите также

• Квадратичное поле

Рекомендации

• «Куммерская пристройка», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Брайан Берч, «Циклотомические поля и расширения Куммера», в J.W.S. Cassels и А. Фрелих (edd), Алгебраическая теория чисел, Академическая пресса, 1973. Глава III, стр. 85–93.