Поле класса лучей - Ray class field

В математике поле класса лучей является абелево расширение из глобальное поле связанный с группа классов лучей из идеальные классы или же классы idele. Каждое конечное абелево расширение числового поля содержится в одном из его полей лучевого класса.

Термин «группа классов лучей» является переводом немецкого термина «Strahlklassengruppe». Здесь Strahl по-немецки означает луч и часто означает положительную действительную линию, которая появляется в условиях положительности, определяющих группы классов лучей. Хассе (1926 г., стр.6) использует "Strahl" для обозначения определенной группы идеалов, определенных с использованием условий положительности, и использует "Strahlklasse" для обозначения смежного класса этой группы.

Есть два немного разных понятия о том, что такое поле класса лучей, поскольку авторы различаются в том, как обрабатываются бесконечные простые числа.

История

Вебер ввел группы лучевых классов в 1897 году. Такаги доказал существование соответствующих полей лучевых классов примерно в 1920 году. Шевалле переформулировал определение групп лучевых классов в терминах идеелей в 1933 году.

Поля класса лучей с использованием идеалов

Если м это идеал кольцо целых чисел из числовое поле K и S является подмножеством реальных мест, то группа классов лучей м и S это факторгруппа

${\displaystyle I^{m}/P^{m}\,}$

куда я^м это группа фракционные идеалы соправитель к м, и "луч" п^м это группа главные идеалы генерируется элементами а с а ≡ 1 модм что положительные на местах S.Когда S состоит из всех реальных мест, так что а ограничена быть полностью положительной, группа называется узкая группа классов лучей из м. Некоторые авторы используют термин «группа классов лучей» для обозначения «узкая группа классов лучей».

Поле класса лучей K является абелевым расширением K ассоциирована с группой классов лучей теорией полей классов, а ее группа Галуа изоморфна соответствующей группе классов лучей. Доказательство существования поля классов лучей данной группы классов лучей является длинным и косвенным, и, как правило, нет известного простого способа его построения (хотя явные конструкции известны в некоторых частных случаях, таких как мнимые квадратичные поля).

Поля класса лучей с использованием иделей

Шевалле переопределил группу классов лучей идеала м и набор S вещественных мест как фактор группы классов иделей по образу группы

${\displaystyle \prod U_{p}\,}$

куда U_п дан кем-то:

• Ненулевой сложные числа для сложного места п
• Положительный действительные числа для реального места п в S, и все ненулевые действительные числа для п не в S
• Единицы K_п для конечное место п не делящий м
• Единицы K_п конгруэнтный до 1 мода п^п если п^п это максимальная мощность п разделение м.

Некоторые авторы используют более общее определение, в котором группа U_п разрешены все ненулевые действительные числа для определенных реальные места  п.

Группы классов лучей, определенные с помощью иделей, естественно изоморфны группам, определенным с помощью идеалов. Иногда с ними легче справиться теоретически, потому что все они являются частными одной группы, и поэтому их легче сравнивать.

Поле классов лучей группы классов лучей является (уникальным) абелевым расширением L из K такая, что норма группы классов идеелей C_L из L это изображение ${\displaystyle \prod U_{p}\,}$ в группе классов иделей K.

Примеры

Если K это область рациональное число, м является ненулевым рациональным целым числом, и S включает в себя Архимедово место из K, то группа классов лучей (м) и S изоморфна группе единиц Z/мZ, а поле класса лучей - это поле, порожденное мth корни единства. Поле класса лучей для (м), а пустое множество мест - это его максимальное вполне вещественное подполе - поле ${\displaystyle \mathbb {Q} (\cos({\frac {2\pi }{m}}))}$.

В Поле классов Гильберта - это поле класса лучей, соответствующее единичному идеалу и пустому набору реальных мест, поэтому это наименьшее поле класса лучей. В узкое поле классов Гильберта - это поле класса лучей, соответствующее единичному идеалу и набору всех реальных мест, поэтому это наименьшее узкое поле класса лучей.

Рекомендации

• Хассе, Гельмут (1926), "Bericht über neuere Unterschungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper"., Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Геттинген: Тойбнер, 35
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. МИСТЕР  1697859. Zbl  0956.11021.