Аппроксимационная теорема Дирихле - Dirichlets approximation theorem

В теория чисел, Теорема Дирихле о диофантовом приближении, также называемый Аппроксимационная теорема Дирихле, утверждает, что для любого действительные числа ${ displaystyle alpha}$ и ${ displaystyle N}$ , с ${ Displaystyle 1 leq N}$ , существуют целые числа ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ такой, что ${ Displaystyle 1 Leq Q Leq N}$ и

{ displaystyle left | q alpha -p right | leq { frac {1} {[N] +1}} <{ frac {1} {N}}.}

Здесь ${ displaystyle [N]}$ представляет целая часть из ${ displaystyle N}$ .Это фундаментальный результат Диофантово приближение, показывая, что любое действительное число имеет последовательность хороших рациональных приближений: на самом деле, непосредственным следствием этого является то, что для данного иррационального α неравенство

{ displaystyle left | alpha - { frac {p} {q}} right | <{ frac {1} {q ^ {2}}}}

удовлетворяется бесконечным числом целых чисел п и q. Это следствие также показывает, что Теорема Туэ – Зигеля – Рота., результат в другом направлении, обеспечивает, по сути, наиболее точную оценку в том смысле, что оценка рациональной аппроксимации алгебраические числа не может быть улучшен путем увеличения степени выше 2.

Одновременная версия

Одновременная версия аппроксимационной теоремы Дирихле утверждает, что при заданных действительных числах ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {d}}$ и натуральное число ${ displaystyle N}$ тогда есть целые числа ${ displaystyle p_ {1}, ldots, p_ {d}, q in mathbb {Z}, 1 leq q leq N}$ такой, что ${ displaystyle left | alpha _ {i} - { frac {p_ {i}} {q}} right | leq { frac {1} {qN ^ {1 / d}}}.}$

Метод доказательства

Эта теорема является следствием принцип голубятни. Питер Густав Лежен Дирихле кто доказал результат, использовал тот же принцип в других контекстах (например, Уравнение Пелла ) и, назвав принцип (на немецком языке), популяризировал его использование, хотя его статус с точки зрения учебников придет позже.^[1] Метод распространяется на одновременное приближение.^[2]

Другое простое доказательство аппроксимационной теоремы Дирихле основано на Теорема Минковского применяется к набору

{ displaystyle S = left {(x, y) in mathbb {R} ^ {2}; - N - { frac {1} {2}} leq x leq N + { frac {1 } {2}}, vert alpha xy vert leq { frac {1} {N}} right }.}

Поскольку объем ${ displaystyle S}$ больше, чем ${ displaystyle 4}$ , Теорема Минковского устанавливает существование нетривиальной точки с целыми координатами. Это доказательство естественным образом распространяется на одновременные приближения, рассматривая множество