Гипотеза Буняковского - Bunyakovsky conjecture

Гипотеза Буняковского

Поле	Аналитическая теория чисел
Предполагается	Виктор Буняковский
Предполагается в	1857
Известные случаи	Полиномы 1 степени
Обобщения	Гипотеза Бейтмана – Хорна Обобщенная гипотеза Диксона Гипотеза Шинцеля H
Последствия	Гипотеза о простых числах близнецов

В Гипотеза Буняковского (или же Гипотеза Буняковского) дает критерий многочлен ${\displaystyle f(x)}$ в одной переменной с целое число коэффициенты давать бесконечно много простых значений в последовательности${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\ldots .}$ Это было заявлено в 1857 г. русский математик Виктор Буняковский. Следующие три условия необходимы для ${\displaystyle f(x)}$ иметь желаемую производственную недвижимость:

1. В ведущий коэффициент является положительный,
2. Многочлен равен несводимый над целыми числами.
3. Ценности ${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\ldots }$ не иметь Общий делитель. (В частности, коэффициенты при ${\displaystyle f(x)}$ должно быть относительно простым.)

Гипотеза Буняковского состоит в том, что этих условий достаточно: если ${\displaystyle f(x)}$ удовлетворяет (1) - (3), то ${\displaystyle f(n)}$ проста для бесконечного числа натуральных чисел ${\displaystyle n}$.

Утверждение, эквивалентное гипотезе Буняковского, состоит в том, что для любого целочисленного многочлена ${\displaystyle f(x)}$ который удовлетворяет (1) - (3), ${\displaystyle f(n)}$ простое хотя бы для одного положительного целого числа ${\displaystyle n}$. В этом можно убедиться, рассмотрев последовательность многочленов ${\displaystyle f(t),f(t+1),f(t+2),}$ и т. д. Гипотеза Буняковского - частный случай Гипотеза Шинцеля H, одна из самых известных открытых проблем теории чисел.

Обсуждение трех условий

Нам нужно первое условие, потому что если старший коэффициент отрицательный, то ${\displaystyle f(x)<0}$ для всех больших ${\displaystyle x}$, и поэтому ${\displaystyle f(n)}$ не является (положительным) простым числом для больших натуральных чисел ${\displaystyle n}$. (Это просто удовлетворяет условию знаков, что простые числа положительны.)

Нам нужно второе условие, потому что если ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$ где многочлены ${\displaystyle g(x)}$ и ${\displaystyle h(x)}$ имеют целые коэффициенты, то мы имеем ${\displaystyle f(n)=g(n)h(n)}$ для всех целых чисел ${\displaystyle n}$; но ${\displaystyle g(x)}$ и ${\displaystyle h(x)}$ принимают значения 0 и ${\displaystyle \pm 1}$ только конечное число раз, поэтому ${\displaystyle f(n)}$ составной для всех больших ${\displaystyle n}$.

Третье условие, что числа ${\displaystyle f(n)}$ иметь gcd 1, очевидно, необходимо, но это несколько тонко и лучше всего понимается с помощью контрпримера. Учитывать ${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+2}$, который имеет положительный старший коэффициент и является неприводимым, а коэффициенты взаимно просты; тем не мение ${\displaystyle f(n)}$ является четное для всех целых чисел ${\displaystyle n}$, поэтому простое число раз (а именно, когда ${\displaystyle f(n)=2}$, фактически только в ${\displaystyle n=0,-1}$).

На практике самый простой способ проверить третье условие - найти одну пару натуральных чисел ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ такой, что ${\displaystyle f(m)}$ и ${\displaystyle f(n)}$находятся относительно простой. Опишем общий способ вычисления НОД ${\displaystyle \{f(n)\}_{n\geq 1}.}$ Любой целочисленный многочлен ${\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{d}x^{d}}$можно записать в базисе полиномов биномиальных коэффициентов:

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}{\binom {x}{1}}+\cdots +a_{d}{\binom {x}{d}}}$

где каждый ${\displaystyle a_{i}}$ целое число, а ${\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}\ =\ \gcd(a_{0},a_{1},\dots ,a_{d}).}$

В приведенном выше примере у нас есть:

${\displaystyle x^{2}-x+2=2{\binom {x}{2}}+2,}$

а коэффициенты во второй формуле имеют НОД 2, что означает, что ${\displaystyle x^{2}-x+2}$ имеет четные значения целых чисел.

Используя эту формулу НОД, можно доказать ${\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=1}$ тогда и только тогда, когда есть положительные целые числа ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ такой, что ${\displaystyle f(m)}$ и ${\displaystyle f(n)}$ относительно просты.

Примеры

${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$

Примером гипотезы Буняковского является многочлен ж(Икс) = Икс² + 1, некоторые простые значения которого перечислены ниже. (Значения Икс форма OEIS последовательность A005574; те из Икс² + 1 форма A002496 )

Икс	1	2	4	6	10	14	16	20	24	26	36	40	54	56	66	74	84	90	94	110	116	120
Икс^2 + 1	2	5	17	37	101	197	257	401	577	677	1297	1601	2917	3137	4357	5477	7057	8101	8837	12101	13457	14401

Который ${\displaystyle n^{2}+1}$ должно быть простым бесконечно часто - это проблема, впервые поднятая Эйлером, а также пятая Гипотеза Харди – Литтлвуда и четвертый из Проблемы Ландау. Несмотря на обширные числовые данные, неизвестно, может ли эта последовательность продолжаться бесконечно.

Циклотомические полиномы

В циклотомические многочлены ${\displaystyle \Phi _{k}(x)}$за ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$ удовлетворяют трем условиям гипотезы Буняковского, поэтому для всех k, натуральных чисел должно быть бесконечно много п такой, что ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ простое. Это можно показать^{[нужна цитата ]} что если для всех k, существует целое число п > 1 с ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ премьер, то для всех k, натуральных чисел бесконечно много п с ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ основной.

Следующая последовательность дает наименьшее натуральное число п > 1 такой, что ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ простое, для ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$:

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2, ... (последовательность A085398 в OEIS ).

Эта последовательность, как известно, содержит несколько больших членов: 545-й член - 2706, 601-й - 2061, а 943-й - 2042. Этот случай гипотезы Буняковского широко распространен, но, опять же, неизвестно, что последовательность может продолжаться бесконечно.

Обычно это целое число 2≤n≤φ (k) такие, что ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ простое (обратите внимание, что степень из ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ есть φ (k)), но есть исключения, номера исключений k

1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ...

Частичные результаты: только теорема Дирихле

На сегодняшний день единственный случай гипотезы Буняковского, который был доказано является полиномами степени 1. Это Теорема Дирихле, в котором говорится, что когда ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle m}$ являются относительно простыми целыми числами, существует бесконечно много простых чисел ${\displaystyle p\equiv a{\pmod {m}}}$. Это гипотеза Буняковского о ${\displaystyle f(x)=a+mx}$ (или же ${\displaystyle a-mx}$ если ${\displaystyle m<0}$Третье условие в гипотезе Буняковского для линейного многочлена ${\displaystyle mx+a}$ эквивалентно ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle m}$ быть относительно простым.

Ни один случай гипотезы Буняковского для степени больше 1 не доказан, хотя численное свидетельство более высокой степени согласуется с гипотезой.

Обобщенная гипотеза Буняковского

Данный k ≥ 1 полиномы с положительными степенями и целыми коэффициентами, каждый из которых удовлетворяет трем условиям, предполагают, что для любого простого п существует п такое, что ни одно из значений k полиномы при п делятся на п. Учитывая эти предположения, предполагается, что существует бесконечно много натуральных чисел п так что все значения этих k многочлены на х = п простые.

Отметим, что многочлены {Икс, Икс + 2, Икс + 4} не удовлетворяют предположению, так как одно из их значений должно делиться на 3 для любого целого числа x = п. Также нет {Икс, Икс² + 2}, так как одно из значений должно делиться на 3 для любого х = п. С другой стороны, {Икс² + 1, 3Икс - 1, Икс² + Икс + 41} удовлетворяют предположению, и из гипотезы следует, что многочлены имеют одновременные простые значения для бесконечного числа натуральных чисел х = п.

Эта гипотеза включает в качестве частных случаев гипотеза о простых близнецах (когда k = 2, и два многочлена равны Икс и Икс + 2), а также бесконечность первоклассные четверки (когда k = 4, а четыре полинома равны Икс, Икс + 2, Икс + 6, и Икс + 8), сексуальные простые (когда k = 2, и два многочлена равны Икс и Икс + 6), Софи Жермен простые числа (когда k = 2, и два многочлена равны Икс и 2Икс + 1), и Гипотеза Полиньяка (когда k = 2, и два многочлена равны Икс и Икс + а, с а любое четное число). Когда все многочлены имеют степень 1, это Гипотеза Диксона.

Фактически, эта гипотеза эквивалентна Обобщенная гипотеза Диксона.

Кроме Теорема Дирихле, ни один случай гипотезы не доказан, включая указанные выше случаи.

Смотрите также

• Целочисленный полином
• Критерий неприводимости Кона
• Гипотеза Шинцеля H
• Гипотеза Бейтмана – Хорна
• Гипотеза Харди и Литтлвуда F

Рекомендации

• Эд Пегг младший "Гипотеза Буняковского". MathWorld.
• Руперт, Вольфганг М. (1998-08-05). «Сводимость многочленов. ж(Икс, у) по модулю п". arXiv:математика / 9808021.
• Буняковский, В. (1857). «Теоретические новинки связаны с различием между премьерными номерами и декомпозицией первых лиц». Mém. Акад. Sc. Санкт-петербург. 6: 305–329.