Критерий неприводимости Кона - Cohns irreducibility criterion

Критерий неприводимости Артура Кона является достаточным условием для многочлен быть несводимый в ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ - то есть, чтобы его нельзя было преобразовать в произведение многочленов низшей степени с целыми коэффициентами.

Критерий часто формулируется следующим образом:

Если простое число ${\displaystyle p}$ выражается в основание 10 как ${\displaystyle p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{1}10+a_{0}}$ (куда ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq 9}$), то многочлен

${\displaystyle f(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

неприводимо в ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.

Теорема может быть обобщена на другие базисы следующим образом:

Предположить, что ${\displaystyle b\geq 2}$ натуральное число и ${\displaystyle p(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ - многочлен такой, что ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq b-1}$. Если ${\displaystyle p(b)}$ простое число, тогда ${\displaystyle p(x)}$ неприводимо в ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$.

Версия теоремы по основанию 10 приписана Кону Pólya и Сегё в одной из их книг^[1] а обобщение на любую базу б принадлежит Бриллхарту, Filaseta, и Одлызко.^[2]

В 2002, Рам Мурти дал упрощенное доказательство, а также некоторую историю теоремы в статье, доступной в Интернете.^[3]

Обратное к этому критерию состоит в том, что если п является неприводимым многочленом с целыми коэффициентами, имеющими наибольший общий делитель 1, то существует такая база, что коэффициенты п формируют представление простого числа в этой базе; это Гипотеза Буняковского и его правда или ложь остается открытым вопросом.

Исторические заметки

• Поля и Сегу дали свое собственное обобщение, но оно имеет много побочных условий (например, в отношении расположения корней).^{[нужна цитата ]} поэтому ему не хватает элегантности обобщений Брилхарта, Филазеты и Одлызко.
• Из контекста ясно, что «А. Кон», упомянутый Поля и Сегё, - это Артур Кон (1894–1940), ученик Иссай Шур который получил докторскую степень от Университет Фредерика Уильяма в 1921 г.^[4][5]

Смотрите также

• Критерий Эйзенштейна
• Критерий неприводимости Перрона

Рекомендации

1. Полиа, Джордж; Сегё, Габор (1925). Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd 2. Спрингер, Берлин. OCLC  73165700. Английский перевод на: Полиа, Джордж; Сегу, Габор (2004). Проблемы и теоремы анализа, том 2. 2. Springer. п. 137. ISBN  978-3-540-63686-1.
2. Бриллхарт, Джон; Филасета, Майкл; Одлызко Андрей (1981). «О теореме А. Кона о неприводимости». Канадский математический журнал. 33 (5): 1055–1059. Дои:10.4153 / CJM-1981-080-0.
3. Мурти, Рам (2002). «Простые числа и неприводимые многочлены» (PDF). Американский математический ежемесячный журнал. 109 (5): 452–458. CiteSeerX  10.1.1.225.8606. Дои:10.2307/2695645. JSTOR  2695645. (файл dvi)
4. Запись Артура Кона на проект «Математическая генеалогия»
5. Зигмунд-Шульце, Рейнхард (2009). Математики, бегущие из нацистской Германии: индивидуальные судьбы и глобальные последствия. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. п. 346. ISBN  9781400831401.

внешняя ссылка

• «Критерий неприводимости А. Кона». PlanetMath.