Критерий Эйзенштейна - Eisensteins criterion

В математика, Критерий Эйзенштейна дает достаточное условие для многочлен с целое число коэффициенты, которые будут несводимый над рациональное число - то есть, чтобы его нельзя было факторизовать в произведение непостоянных многочленов с рациональными коэффициентами.

Этот критерий не применим ко всем многочленам с целыми коэффициентами, которые неприводимы по рациональным числам, но он позволяет в некоторых важных случаях доказать неприводимость с очень небольшими усилиями. Он может применяться либо непосредственно, либо после преобразования исходного многочлена.

Этот критерий назван в честь Готтхольд Эйзенштейн. В начале 20 века он был также известен как Теорема Шёнемана – Эйзенштейна потому что Теодор Шёнеманн был первым, кто ее опубликовал.^[1]^[2]

Критерий

Предположим, у нас есть следующий многочлен с целым числом коэффициенты.

{ displaystyle Q (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0}}

Если существует простое число $п$ таким образом, чтобы выполнялись следующие три условия:

$п$ разделяет каждый $а я$ за $0 \leq я < п$ ,
$п$ делает нет разделять $а п$ , и
$п 2$ делает нет разделять $а 0$ ,

тогда $Q$ неприводимо по рациональным числам. Он также будет неприводимым по целым числам, если только все его коэффициенты не имеют общего нетривиального множителя (в этом случае $Q$ поскольку целочисленный многочлен будет иметь некоторое простое число, обязательно отличное от $п$ , как неприводимый фактор). Последней возможности можно избежать, предварительно выполнив $Q$ примитивный, разделив его на наибольший общий делитель его коэффициентов ( содержание из $Q$ ). Это деление не меняет $Q$ приводима или нет по рациональным числам (см. Примитивная часть – факторизация содержимого для деталей), и не отменяет гипотезы критерия для $п$ (напротив, это может сделать критерий справедливым для некоторого простого числа, даже если этого не было до деления).

Примеры

Критерий Эйзенштейна может применяться либо напрямую (то есть с использованием исходного многочлена), либо после преобразования исходного многочлена.

Прямой (без трансформации)

Рассмотрим многочлен $Q (х) = 3 Икс 4 + 15 Икс 2 + 10$ . Чтобы критерий Эйзенштейна применил простое число $п$ он должен делить оба не ведущих коэффициента $15$ и $10$ , что означает только $п = 5$ может работать, и это действительно так, поскольку $5$ не делит старший коэффициент $3$ , и его квадрат $25$ не делит постоянный коэффициент $10$ . Следовательно, можно сделать вывод, что $Q$ неприводимо над $Q$ (а так как он примитивен, более $Z$ также). Обратите внимание, что поскольку $Q$ имеет степень 4, этот вывод не мог быть установлен только проверкой того, что $Q$ не имеет рациональных корней (что исключает возможные множители степени 1), так как разложение на два квадратичных множителя также возможно.

Косвенный (после преобразования)

Часто критерий Эйзенштейна не применим ни к одному простому числу. Однако может случиться так, что он применяется (для некоторого простого числа) к многочлену, полученному после подстановки (для некоторого целого числа $а$ ) из $Икс + а$ за $Икс$ . Тот факт, что многочлен после подстановки неприводим, позволяет сделать вывод, что исходный многочлен также является неприводимым. Эта процедура известна как применение сдвиг.

Например, рассмотрим $ЧАС = Икс 2 + Икс + 2$ , в котором коэффициент 1 при $Икс$ не делится на какое-либо простое число, критерий Эйзенштейна не применяется к $ЧАС$ . Но если заменить $Икс + 3$ за $Икс$ в $ЧАС$ , получаем полином $Икс 2 + 7 Икс + 14$ , которая удовлетворяет критерию Эйзенштейна для простого числа $7$ . Поскольку подстановка автоморфизм кольца $Q [Икс]$ , тот факт, что мы получаем неприводимый многочлен после подстановки, означает, что изначально у нас был неприводимый многочлен. В этом конкретном примере было бы проще утверждать, что $ЧАС$ (будучи моникой степени 2) может быть приводимым только в том случае, если у него был целочисленный корень, чего, очевидно, нет; однако общий принцип попыток подстановки, чтобы применить критерий Эйзенштейна, является полезным способом расширить его область применения.

Другая возможность преобразовать многочлен так, чтобы он удовлетворял критерию, который можно комбинировать с применением сдвига, - это изменение порядка его коэффициентов на обратный, при условии, что его постоянный член отличен от нуля (без которого он делился бы на $Икс$ так или иначе). Это потому, что такие многочлены приводимы в $р [Икс]$ тогда и только тогда, когда они приводимы в $р [Икс, Икс -1]$ (для любой области целостности $р$ ), и в этом кольце замена $Икс -1$ за $Икс$ изменяет порядок коэффициентов на противоположный (симметрично относительно постоянного коэффициента, но следующий сдвиг в показателе степени равен умножению на единицу). В качестве примера $2 Икс 5 - 4 Икс 2 - 3$ удовлетворяет критерию $п = 2$ после изменения своих коэффициентов, и (будучи примитивным), следовательно, неприводимо в $Z [Икс]$ .

Циклотомические полиномы

Важным классом многочленов, неприводимость которых может быть установлена с помощью критерия Эйзенштейна, является класс многочленов. циклотомические многочлены для простых чисел $п$ . Такой многочлен получается делением многочлена $Икс п - 1$ линейным фактором $Икс - 1$ , соответствующий его очевидному корню $1$ (который является его единственным рациональным корнем, если $п > 2$ ):

{ displaystyle { frac {x ^ {p} -1} {x-1}} = x ^ {p-1} + x ^ {p-2} + cdots + x + 1.}

Здесь, как и в предыдущем примере $ЧАС$ , коэффициенты $1$ предотвратить прямое применение критерия Эйзенштейна. Однако многочлен будет удовлетворять критерию $п$ после замены $Икс + 1$ за $Икс$ : это дает

{ displaystyle { frac {(x + 1) ^ {p} -1} {x}} = x ^ {p-1} + { binom {p} {p-1}} x ^ {p-2 } + cdots + { binom {p} {2}} x + { binom {p} {1}},}

все не главные коэффициенты которого делятся на $п$ по свойствам биномиальные коэффициенты, а постоянный коэффициент которого равен $п$ , и поэтому не делится на $п 2$ . Альтернативный способ прийти к такому выводу - использовать идентификатор $(а + б) п = а п + б п$ что действительно в характеристика $п$ (и который основан на тех же свойствах биномиальных коэффициентов, и приводит к Эндоморфизм Фробениуса ), чтобы вычислить редукцию по модулю $п$ частного многочленов:

{ displaystyle { frac {(x + 1) ^ {p} -1} {x}} Equiv { frac {x ^ {p} + 1 ^ {p} -1} {x}} = { гидроразрыв {x ^ {p}} {x}} = x ^ {p-1} { pmod {p}},}

что означает, что все не главные коэффициенты частного делятся на $п$ ; оставшаяся проверка того, что постоянный член частного равен $п$ можно сделать, подставив $1$ (вместо $Икс + 1$ ) за $Икс$ в развернутом виде $Икс п -1 + ... + Икс + 1$ .

История

Теодор Шёнеманн был первым, кто опубликовал версию критерия,^[1] в 1846 г. в Журнал Крелля,^[3] который читается в переводе

Который $(Икс - а) п + ПФ (Икс)$ будет неприводима к модулю $п 2$ когда $F (Икс)$ по модулю $п$ не содержит фактора $Икс - а$ .

Эта формулировка уже включает переход к $а$ на месте $0$ ; условие на $F (Икс)$ Значит это $F (а)$ не делится на $п$ , и так $ПФ (а)$ делится на $п$ но не $п 2$ . Как было сказано, это не совсем правильно, поскольку не делается никаких предположений о степени полинома $F (Икс)$ , так что рассматриваемый многочлен не обязательно должен иметь степень $п$ что предполагает его выражение; пример $Икс 2 + п (Икс 3 + 1) \equiv (Икс 2 + п)(px + 1) мод п 2$ , показывает, что вывод неверен без такой гипотезы. Предполагая, что степень $F (Икс)$ не превышает $п$ , критерий, однако, правильный и несколько более сильный, чем приведенная выше формулировка, поскольку если $(Икс - а) п + ПФ (Икс)$ неприводимо по модулю $п 2$ , конечно, не может разложиться в $Z [Икс]$ на непостоянные факторы.

Впоследствии Эйзенштейн опубликовал несколько иную версию в 1850 году, также в журнале Crelle's Journal.^[4] Эта версия читается в переводе

Когда в полиноме $F (Икс)$ в $Икс$ произвольной степени коэффициент при старшем члене равен $1$ , а все последующие коэффициенты являются целыми (действительными, комплексными) числами, в которые входит определенное (действительное или комплексное) простое число $м$ делится, и когда, кроме того, последний коэффициент равен $εm$ , куда $ε$ обозначает число, не делящееся на $м$ : то принести нельзя $F (Икс)$ в форму
${ displaystyle left (x ^ { mu} + a_ {1} x ^ { mu -1} + cdots + a _ { mu} right) left (x ^ { nu} + b_ {1 } x ^ { nu -1} + cdots + b _ { nu} right)}$
куда $μ, ν \geq 1$ , $μ + ν = град (F (Икс))$ , и все $а$ и $б$ находятся весь (действительные или комплексные) числа; уравнение $F (Икс) = 0$ поэтому неприводимо.

Здесь "целые числа" - обычные целые числа и "целые комплексные числа" Гауссовские целые числа; аналогично следует интерпретировать «действительные и комплексные простые числа». Приложение, для которого Эйзенштейн разработал свой критерий, заключалось в установлении неприводимости некоторых многочленов с коэффициентами в целых гауссовских числах, которые возникают при изучении деления лемниската на куски равной длины дуги.

Примечательно, что Шёнеман и Эйзенштейн, однажды сформулировав свои соответствующие критерии неприводимости, сразу же применяют его, чтобы дать элементарное доказательство неприводимости круговых многочленов для простых чисел, результат, который Гаусс получил в своей работе. Disquisitiones Arithmeticae с гораздо более сложным доказательством. Фактически, Эйзенштейн добавляет в сноске, что единственное известное ему доказательство этой неприводимости, кроме доказательства Гаусса, - это доказательство, данное Кронекер в 1845 году. Это показывает, что он не знал о двух различных доказательствах этого утверждения, которые Шенеман дал в своей статье 1846 года, где второе доказательство было основано на вышеупомянутом критерии. Это тем более удивительно, учитывая тот факт, что двумя страницами дальше Эйзенштейн фактически ссылается (по другому поводу) на первую часть статьи Шёнемана. В заметке («Notiz»), опубликованной в следующем номере журнала,^[5] Шенеман указывает на это Эйзенштейну и указывает, что метод последнего существенно не отличается от того, который он использовал во втором доказательстве.

Основное доказательство

Чтобы доказать справедливость критерия, предположим $Q$ удовлетворяет критерию простого числа $п$ , но тем не менее сводится к $Q [Икс]$ , откуда мы и хотим получить противоречие. Из Лемма Гаусса следует, что $Q$ сводится к $Z [Икс]$ также, и на самом деле может быть записано как продукт $Q = GH$ двух непостоянных многочленов $грамм, ЧАС$ (в случае $Q$ не является примитивным, применяют лемму к примитивному многочлену $Q / c$ (где целое число $c$ это содержание $Q$ ), чтобы получить разложение, и умножает $c$ в один из факторов, чтобы получить разложение для $Q$ ). Теперь уменьшите $Q = GH$ по модулю $п$ получить разложение по $(Z / п Z)[Икс]$ . Но по предположению это сокращение для $Q$ оставляет свой главный член в форме $топор п$ для ненулевой константы $а \in Z / п Z$ , как единственный ненулевой член. Но тогда обязательно редукции по модулю $п$ из $грамм$ и $ЧАС$ также обращают в нуль все невыводящие члены (и не могут сделать так, чтобы их главные члены исчезли), поскольку никакие другие разложения $топор п$ возможны в $(Z / п Z)[Икс]$ , который является уникальная область факторизации. В частности, постоянные условия $грамм$ и $ЧАС$ исчезают при редукции, поэтому они делятся на $п$ , но тогда постоянный член $Q$ , который является их произведением, делится на $п 2$ , вопреки гипотезе, и получаем противоречие.

Второе доказательство критерия Эйзенштейна также начинается с предположения, что многочлен $Q (Икс)$ приводимо. Показано, что это предположение приводит к противоречию.

Предположение, что

{ displaystyle Q (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0}}

приводимость означает, что существуют многочлены

{ displaystyle { begin {align} G (x) & = c_ {r} x ^ {r} + c_ {r-1} x ^ {r-1} + cdots + c_ {0} && r geq 1 H (x) & = d_ {s} x ^ {s} + d_ {s-1} x ^ {s-1} + cdots + d_ {0} && s geq 1 end {выровнено}}}

Такой, что

{ Displaystyle Q (x) = G (x) cdot H (x), qquad n = r + s.}

Коэффициент $а 0$ полинома $Q (Икс)$ можно разделить на простое число $п$ но не $п 2$ . С $а 0 = c 0 d 0$ , можно разделить $c 0$ или же $d 0$ к $п$ , но не то и другое одновременно. Можно без ограничения общности продолжить

с коэффициентом $c 0$ что можно разделить на $п$ и

с коэффициентом $d 0$ это не может быть разделено на $п$ .

По предположению, ${ displaystyle p}$ не разделяет ${ displaystyle a_ {n}}$ . Потому что $а п = c р d s$ , ни один $c р$ ни $d s$ можно разделить на $п$ . Таким образом, если ${ displaystyle a_ {r}}$ это ${ displaystyle r}$ -й коэффициент приводимого многочлена ${ displaystyle Q}$ , то (возможно, с ${ displaystyle d_ {t} = 0}$ в случае ${ displaystyle t> s}$ )

{ displaystyle a_ {r} = c_ {r} d_ {0} + c_ {r-1} d_ {1} + cdots + c_ {0} d_ {r}}

в которой ${ displaystyle c_ {r} d_ {0}}$ нельзя разделить на ${ displaystyle p}$ , потому что ни ${ displaystyle d_ {0}}$ ни ${ displaystyle c_ {r}}$ можно разделить на ${ displaystyle p}$ .

Мы докажем, что ${ displaystyle c_ {0}, c_ {1}, ldots, c_ {r-1}}$ все делятся на $п$ . В качестве ${ displaystyle a_ {r}}$ также делится на $п$ (по условию критерия) отсюда следует, что

{ displaystyle c_ {r} d_ {0} = a_ {r} - left (c_ {r-1} d_ {1} + cdots + c_ {0} d_ {r} right)}

делится на $п$ , противоречие, подтверждающее критерий.

Можно разделить ${ displaystyle c_ {0} d_ {r}}$ к ${ displaystyle p}$ , потому что ${ displaystyle c_ {0}}$ можно разделить на ${ displaystyle p}$ .

По исходному предположению можно разделить коэффициент $а 1$ полинома $Q (Икс)$ к $п$ . С

{ displaystyle a_ {1} = c_ {0} d_ {1} + c_ {1} d_ {0}}

и с тех пор $d 0$ не является кратным $п$ должно быть возможно разделить $c 1$ к $п$ . Аналогично по индукции ${ displaystyle c_ {i}}$ кратно ${ displaystyle p}$ для всех ${ Displaystyle я <г}$ , что завершает доказательство.

Расширенное объяснение

Применяя теорию Многоугольник Ньютона для $п$ -адическое число поле, в качестве полинома Эйзенштейна мы должны взять нижняя выпуклая оболочка из точек

(0, 1), (1, v 1), (2, v 2), ..., (п - 1, v п -1), (п, 0)

,

куда $v я$ это $п$ -адическая оценка из $а я$ (т.е. наивысшая степень $п$ разделив его). Теперь данные, которые нам даны по $v я$ за $0 < я < п$ , а именно, что их по крайней мере один, это именно то, что нам нужно, чтобы заключить, что нижняя выпуклая оболочка - это в точности единственный отрезок прямой из $(0, 1)$ к $(п, 0)$ , то склон существование $-1/ п$ .

Это говорит нам о том, что каждый корень $Q$ имеет $п$ -адическая оценка $1/ п$ и, следовательно, что $Q$ неприводима над $п$ -адическое поле (поскольку, например, ни один продукт какого-либо надлежащего подмножества корней не имеет целочисленной оценки); и a fortiori над полем рациональных чисел.

Этот аргумент намного сложнее, чем прямой аргумент редукцией по модулю $п$ . Однако это позволяет увидеть, с точки зрения алгебраическая теория чисел, как часто может применяться критерий Эйзенштейна после некоторой замены переменной; и, таким образом, строго ограничивают возможные варианты выбора $п$ относительно которого полином мог бы иметь перевод Эйзенштейна (то есть стать Эйзенштейном после аддитивной замены переменных, как в случае $п$ -й круговой многочлен).

Фактически только простые числа $п$ разветвленный в продолжение $Q$ порожденный корнем $Q$ есть шанс на работу. Их можно найти с точки зрения дискриминант из $Q$ . Например, в случае $Икс 2 + Икс + 2$ приведенный выше дискриминант $-7$ так что $7$ - единственное простое число, которое может удовлетворить критерию. По модулю $7$ , это становится $(Икс - 3) 2$ - повторение корня неизбежно, так как дискриминант $0 мод 7$ . Следовательно, смещение переменных на самом деле предсказуемо.

Опять же, для кругового полинома это становится

(Икс - 1) п -1 мод п

;

можно показать, что дискриминант (с точностью до знака) $п п -2$ , к линейная алгебра методы.

Точнее, только полностью разветвленные простые числа могут быть простыми числами Эйзенштейна для полинома. (В квадратичных полях разветвление всегда полное, поэтому в квадратичном случае, таком как $Икс 2 + Икс + 2$ выше.) На самом деле, многочлены Эйзенштейна напрямую связаны с полностью разветвленными простыми числами следующим образом: если расширение поля рациональных чисел порождается корнем многочлена Эйзенштейна в $п$ тогда $п$ полностью разветвлен в расширении, и наоборот, если $п$ полностью разветвлен в числовом поле, то поле порождается корнем многочлена Эйзенштейна в точке $п$ .

Обобщение

Обобщенный критерий

Учитывая область целостности $D$ , позволять

{ displaystyle Q = sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}}

быть элементом $D [Икс]$ , то кольцо многочленов с коэффициентами в $D$ .

Предположим, что существует главный идеал $п$ из $D$ такой, что

$а я \in п$ для каждого $я \neq п$ ,
$а п \notin п$ , и
$а 0 \notin п 2$ , куда $п 2$ это идеальный продукт из $п$ с собой.

потом $Q$ не может быть записано как произведение двух непостоянных многочленов от $D [Икс]$ . Если вдобавок $Q$ является примитивный (т.е. нет нетривиальных постоянный дивизоры), то она неприводима в $D [Икс]$ . Если $D$ это уникальная область факторизации с поле дробей $F$ , затем по Лемма Гаусса $Q$ неприводимо в $F [Икс]$ , примитивен он или нет (поскольку постоянные множители обратимы в $F [Икс]$ ); в этом случае возможным выбором первичного идеала является главный идеал, порожденный любым неприводимым элементом $D$ . Последнее утверждение дает оригинальную теорему для $D = Z$ или (в формулировке Эйзенштейна) для $D = Z [я]$ .

Доказательство

Доказательство этого обобщения аналогично доказательству исходного утверждения, учитывая уменьшение коэффициентов по модулю $п$ ; существенным моментом является то, что одночленный многочлен над областью целостности $D / п$ не может быть разложен как продукт, в котором хотя бы один из факторов имеет более одного члена (потому что в таком продукте не может быть отмены в коэффициенте как наивысшей, так и минимально возможной степени).

Пример

После $Z$ , одним из основных примеров области целостности является кольцо многочленов $D = k [ты]$ в переменной $ты$ над полем $k$ . В этом случае главный идеал, порожденный $ты$ это главный идеал. Затем критерий Эйзенштейна может быть использован для доказательства неприводимости многочлена, такого как $Q (Икс) = Икс 3 + ux + ты$ в $D [Икс]$ . В самом деле, $ты$ не разделяет $а 3$ , $ты 2$ не разделяет $а 0$ , и $ты$ разделяет $а 0, а 1$ и $а 2$ . Это показывает, что этот многочлен удовлетворяет условиям обобщения критерия Эйзенштейна для простого идеала $п = (ты)$ поскольку для главного идеала $(ты)$ , являясь элементом $(ты)$ эквивалентно делению на $ты$ .

Смотрите также

Критерий Эйзенштейна - Eisensteins criterion

Содержание