Лемма Гаусса (полином) - Gausss lemma (polynomial)

Эта статья посвящена лемме Гаусса для многочленов. Для использования в других целях см. Лемма Гаусса (значения).

В алгебра, Лемма Гаусса,^[1] названный в честь Карл Фридрих Гаусс, это заявление о многочлены над целые числа, или, в более общем смысле, более уникальная область факторизации (это звенеть который имеет уникальное свойство факторизации, подобное основная теорема арифметики ). Лемма Гаусса лежит в основе всей теории факторизация и наибольшие общие делители таких многочленов.

Лемма Гаусса утверждает, что произведение двух примитивные полиномы примитивен (многочлен с целыми коэффициентами примитивный если он имеет 1 в качестве наибольшего общего делителя его коэффициентов).

Следствие леммы Гаусса, иногда также называемое Лемма Гаусса, состоит в том, что примитивный многочлен несводимый над целыми числами тогда и только тогда, когда оно неприводимо над рациональное число. В более общем смысле, примитивный многочлен имеет одинаковую полную факторизацию по целым и рациональным числам. В случае коэффициентов в единственной области факторизации р, "рациональные числа" необходимо заменить на "поле дробей из р". Это означает, что если р является либо поле, кольцо целых чисел или уникальная область факторизации, то каждый кольцо многочленов (в одном или нескольких индетерминатах) более р это уникальная область факторизации. Другое следствие состоит в том, что факторизация и вычисление наибольшего общего делителя многочленов с целыми числами или рациональными коэффициентами могут быть сведены к аналогичным вычислениям над целыми числами и примитивными многочленами. Это систематически используется (явно или неявно) во всех реализованных алгоритмах (см. Наибольший общий делитель полинома и Факторизация многочленов ).

Лемма Гаусса и все ее следствия, не предполагающие существования полной факторизации, остаются верными для любого GCD домен (ан область целостности над которыми существуют наибольшие общие делители). В частности, кольцо многочленов над областью НОД также является областью НОД. Если позвонить примитивный многочлен такой, что коэффициенты порождают единица идеальная, Лемма Гаусса верна на всех коммутативное кольцо.^[2] Однако следует соблюдать осторожность при использовании этого определения примитивный, as, по уникальной области факторизации, которая не является главная идеальная область, есть многочлены, которые примитивны в указанном выше смысле и не примитивны в этом новом смысле.

Лемма о целых числах

Если ${\displaystyle F(X)=a_{0}+a_{1}X+\dots +a_{n}X^{n}}$ - многочлен с целыми коэффициентами, то ${\displaystyle F}$ называется примитивный если наибольший общий делитель всех коэффициентов ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$ равно 1; другими словами, нет простое число делит все коэффициенты.

Лемма Гаусса (примитивность) — Если п и Q примитивные полиномы над целыми числами, то произведение PQ тоже примитивен.

Доказательство: Ясно продукт ж(Икс).грамм(Икс) двух примитивных многочленов имеет целые коэффициенты. Следовательно, если он не примитивен, должно быть простое число п который является общим делителем всех его коэффициентов. Но п не может разделить все коэффициенты ни ж(Икс) или же грамм(Икс) (иначе они не были бы примитивными). Позволять а_рИкс^р быть первым сроком ж(Икс) не делится на п и разреши б_sИкс^s быть первым сроком грамм(Икс) не делится на п. Теперь рассмотрим термин Икс^{г + с} в продукте. Его коэффициент должен иметь вид:

${\displaystyle a_{r}b_{s}+a_{r+1}b_{s-1}+a_{r+2}b_{s-2}+\cdots +a_{r-1}b_{s+1}+a_{r-2}b_{s+2}+\cdots \,}$

Первый член не делится на п (потому что п простое число), а все остальные простые, поэтому вся сумма не может делиться на п. По предположению все коэффициенты в произведении делятся на п, что приводит к противоречию. Следовательно, коэффициенты произведения не могут иметь общего делителя и поэтому являются примитивными. ${\displaystyle \square }$

Лемма Гаусса (неприводимость) — Непостоянный многочлен от Z[Икс] неприводима в Z[Икс] тогда и только тогда, когда они оба неприводимы в Q[Икс] и примитив в Z[Икс].

Доказательство для более общего случая приводится ниже. Отметим, что неприводимый элемент Z (простое число) по-прежнему неприводимо, если рассматривать его как постоянный многочлен от Z[Икс]; это объясняет необходимость использования «непостоянства» в заявлении.

Утверждения для уникальных доменов факторизации

Основная статья: Примитивная часть и содержание

Лемма Гаусса верна в более общем случае над произвольными уникальные домены факторизации. Там содержание c(п) полинома п можно определить как наибольший общий делитель коэффициентов п (как и gcd, содержимое на самом деле представляет собой набор ассоциировать элементы ). Полином п с коэффициентами в UFD называется примитивный если единственные элементы р которые делят все коэффициенты п сразу являются обратимыми элементами р; т.е. gcd коэффициентов равен единице.

Заявление о примитивности: Если р является УФД, то множество примитивных многочленов от р[Икс] замкнуто относительно умножения. В более общем смысле, содержание продукта ${\displaystyle fg}$ многочленов - произведение ${\displaystyle c(f)c(g)}$ их содержания.

Заявление о несводимости: Позволять р быть уникальной областью факторизации и F это поле дробей. Непостоянный многочлен ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle R[x]}$ неприводимо в ${\displaystyle R[x]}$ тогда и только тогда, когда они оба неприводимы в ${\displaystyle F[x]}$ и примитивный в ${\displaystyle R[x]}$.

(Доказательства см. # Общая версия ниже.)

Позволять ${\displaystyle R}$ - уникальная факторизационная область с полем дробей ${\displaystyle F}$. Если ${\displaystyle f\in F[x]}$ является полиномом над ${\displaystyle F}$, то для некоторых ${\displaystyle d\in R}$, ${\displaystyle df}$ имеет коэффициенты в ${\displaystyle R}$ итак, за вычетом gcd ${\displaystyle q}$ коэффициентов можно записать: ${\displaystyle df=qf'}$ для некоторого примитивного полинома ${\displaystyle f'\in R[x]}$. Как можно проверить, этот многочлен ${\displaystyle f'}$ уникален с точностью до умножения на единичный элемент и называется примитивная часть (или же примитивный представитель) из ${\displaystyle f}$ и обозначается ${\displaystyle \operatorname {pp} (f)}$. Процедура совместима с продуктом: ${\displaystyle \operatorname {pp} (fg)=\operatorname {pp} (f)\operatorname {pp} (g)}$.

Конструкцию можно использовать для отображения инструкции:

• Кольцо полиномов над UFD - это UFD.

Действительно, по индукции достаточно показать ${\displaystyle R[x]}$ УрФО, когда ${\displaystyle R}$ это УФО. Позволять ${\displaystyle f\in R[x]}$ ненулевой многочлен. Сейчас же, ${\displaystyle F[x]}$ является единственной областью факторизации (поскольку это область главных идеалов) и, следовательно, как многочлен от ${\displaystyle F[x]}$, ${\displaystyle f}$ можно разложить на множители как:

${\displaystyle f=g_{1}g_{2}\dots g_{r}}$

куда ${\displaystyle g_{i}}$ неприводимые многочлены от ${\displaystyle F[x]}$. Теперь мы пишем ${\displaystyle f=cf'}$ для gcd ${\displaystyle c}$ коэффициентов ${\displaystyle f}$ (и ${\displaystyle f'}$ это примитивная часть), а затем:

${\displaystyle f=cf'=c\operatorname {pp} (g_{1})\operatorname {pp} (g_{2})\cdots \operatorname {pp} (g_{r}).}$

Сейчас же, ${\displaystyle c}$ является произведением простых элементов ${\displaystyle R}$ (поскольку ${\displaystyle R}$ является УФД) и простым элементом ${\displaystyle R}$ является основным элементом ${\displaystyle R[x]}$, так как ${\displaystyle R[x]/(p)\cong R/(p)[x]}$ является областью целостности. Следовательно, ${\displaystyle c}$ допускает разложение на простые множители (или единственное разложение на неприводимые). Затем заметьте, что ${\displaystyle f'=\operatorname {pp} (g_{1})\cdots \operatorname {pp} (g_{r})}$ является единственной факторизацией на неприводимые элементы ${\displaystyle R[x]}$, поскольку (1) каждый ${\displaystyle \operatorname {pp} (g_{i})}$ неприводимо по утверждению о неприводимости и (2) единственно, поскольку факторизация ${\displaystyle f'}$ также можно рассматривать как факторизацию в ${\displaystyle F[x]}$ и факторизация там уникальна. С ${\displaystyle c,f'}$ однозначно определяются ${\displaystyle f}$, с точностью до единичных элементов, указанная выше факторизация ${\displaystyle f}$ является единственной факторизацией на неприводимые элементы. ${\displaystyle \square }$

Условие, что "р является единственной областью факторизации "не является лишним, поскольку из нее следует, что каждый неприводимый элемент этого кольца также является главный элемент, что, в свою очередь, означает, что каждый ненулевой элемент р имеет не более одной факторизации в продукт неприводимых элементов и единицу до упорядоченных и ассоциированных отношений. В кольце, где факторизация не уникальна, скажем, па = qb с п и q неприводимые элементы, которые не разделяют ни один из факторов с другой стороны, продукт (п + qX)(а + qX) = па + (п+а)qX + q²Икс² = q(б + (п+а)Икс + qX²) показывает несостоятельность утверждения о примитивности. В качестве конкретного примера можно взять р = Z[я√5], п = 1 + я√5, а = 1 - я√5, q = 2, б = 3. В этом примере многочлен 3 + 2X + 2X² (получено делением правой части на q = 2) дает пример отказа утверждения о неприводимости (оно неприводимо над р, но приводимая над своим полем дробей Q[я√5]). Другой хорошо известный пример - полином Икс² − Икс − 1, корнями которых являются Золотое сечение φ = (1 + √5)/2 и его сопряженный (1 − √5)/2 показывая, что он приводим над полем Q[√5], хотя она неприводима по не-УФО Z[√5] у которого есть Q[√5] как поле дробей. В последнем примере кольцо можно превратить в UFD, взяв его целостное закрытие Z[φ] в Q[√5] (кольцо целых чисел Дирихле), над которым Икс² − Икс − 1 становится приводимым, но в предыдущем примере р уже полностью закрыто.

Общая версия

Позволять ${\displaystyle R}$ коммутативное кольцо. Если ${\displaystyle f}$ является многочленом от ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$, то пишем ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ для идеала ${\displaystyle R}$ порождается всеми коэффициентами при ${\displaystyle f}$; это называется содержанием ${\displaystyle f}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle \operatorname {cont} (af)=a\operatorname {cont} (f)}$ для каждого ${\displaystyle a\in R}$. Следующее предложение утверждает более существенное свойство.

Предложение^[3] — Для каждой пары многочленов ${\displaystyle f,g}$ в ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$,

${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)\subset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)\subset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$

куда ${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$ обозначает радикал идеала. Более того, если ${\displaystyle R}$ является доменом GCD (например, уникальным доменом факторизации), то

${\displaystyle \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (fg))=\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (f))\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (g))}$

куда ${\displaystyle \operatorname {gcd} (I)}$ обозначает единственный минимальный главный идеал, содержащий конечно порожденный идеал ${\displaystyle I}$.^{[примечание 1]}

Полином ${\displaystyle f}$ как говорят примитивный если ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)=(1)}$ это идеальная единица.^[4] Когда ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ (или в более общем смысле Безу домен ), это согласуется с обычным определением примитивного многочлена. (Но если ${\displaystyle R}$ является только UFD, это определение несовместимо с определением примитивности в # Заявления для уникальных доменов факторизации.)

Следствие^[2] — Два полинома ${\displaystyle f,g}$ примитивны тогда и только тогда, когда продукт ${\displaystyle fg}$ примитивен.

Доказательство: Это легко использовать факт^[5] который ${\displaystyle {\sqrt {I}}=(1)}$ подразумевает ${\displaystyle I=(1).}$ ${\displaystyle \square }$

Следствие^[6] — Предполагать ${\displaystyle R}$ является областью НОД (например, уникальной областью факторизации) с полем дробей ${\displaystyle F}$. Тогда непостоянный многочлен ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle R[x]}$ неприводимо тогда и только тогда, когда оно неприводимо в ${\displaystyle F[x]}$ и НОД коэффициентов при ${\displaystyle f}$ равно 1.

Доказательство: (${\displaystyle \Rightarrow }$) Прежде всего отметим, что НОД коэффициентов ${\displaystyle f}$ равно 1, поскольку в противном случае мы можем вынести некоторый элемент ${\displaystyle c\in R}$ из коэффициентов ${\displaystyle f}$ написать ${\displaystyle f=cf'}$, что противоречит несводимости ${\displaystyle f}$. Далее предположим ${\displaystyle f=gh}$ для некоторых непостоянных многочленов ${\displaystyle g,h}$ в ${\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. Тогда для некоторых ${\displaystyle d\in R}$, многочлен ${\displaystyle dg}$ имеет коэффициенты в ${\displaystyle R}$ и поэтому, вычленив НОД ${\displaystyle q}$ коэффициентов запишем ${\displaystyle dg=qg'}$. Сделайте то же самое для ${\displaystyle h}$ и мы можем написать ${\displaystyle f=cg'h'}$ для некоторых ${\displaystyle c\in F}$. Теперь позвольте ${\displaystyle c=a/b}$ для некоторых ${\displaystyle a,b\in R}$. потом ${\displaystyle bf=ag'h'}$. Отсюда, используя предложение, получаем:

${\displaystyle (b)\supset \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (bf))=(a)}$.

То есть, ${\displaystyle b}$ разделяет ${\displaystyle a}$. Таким образом, ${\displaystyle c\in R}$ а затем факторизация ${\displaystyle f=cg'h'}$ составляет противоречие с несводимостью ${\displaystyle f}$.

(${\displaystyle \Leftarrow }$) Если ${\displaystyle f}$ неприводимо над ${\displaystyle F}$, то либо оно неприводимо над ${\displaystyle R}$ или он содержит в качестве множителя постоянный многочлен, вторая возможность исключена предположением. ${\displaystyle \square }$

Доказательство предложения: Четко, ${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)\subset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)}$. Если ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ простой идеал, содержащий ${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)}$, тогда ${\displaystyle fg\equiv 0}$ по модулю ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. С ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ является кольцом многочленов над областью целостности и, следовательно, является областью целостности, это влечет либо ${\displaystyle f\equiv 0}$ или же ${\displaystyle g\equiv 0}$ по модулю ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Следовательно, либо ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ или же ${\displaystyle \operatorname {cont} (g)}$ содержится в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. С ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$ является пересечением всех простых идеалов, содержащих ${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)}$ и выбор ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ был произвольным, ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)\subset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$.

Теперь докажем часть «более того». Вынося за скобки НОД из коэффициентов, мы можем написать ${\displaystyle f=af'}$ и ${\displaystyle g=bg'}$ где НОД коэффициентов ${\displaystyle f',g'}$ оба равны 1. Ясно, что достаточно доказать утверждение, когда ${\displaystyle f,g}$ заменены на ${\displaystyle f',g'}$; таким образом, мы предполагаем, что НОД коэффициентов ${\displaystyle f,g}$ равны 1. Остальная часть доказательства проста и прозрачна, если ${\displaystyle R}$ - уникальная область факторизации; таким образом, мы приводим здесь доказательство в этом случае (см. ^{[заметка 2]} для доказательства для случая НОД). Если ${\displaystyle \gcd(\operatorname {cont} (fg))=(1)}$, то доказывать нечего. Итак, предположим иначе; то есть неединичный элемент, делящий коэффициенты ${\displaystyle fg}$. Факторизуя этот элемент в произведении простых элементов, мы можем принять этот элемент как простой элемент. ${\displaystyle \pi }$. Теперь у нас есть:

${\displaystyle (\pi )={\sqrt {(\pi )}}\supset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}\supset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)}$.

Таким образом, либо ${\displaystyle (\pi )}$ содержит ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ или же ${\displaystyle \operatorname {cont} (g)}$; что противоречит НОД коэффициентов при ${\displaystyle f,g}$ оба 1. ${\displaystyle \square }$

• Замечание: В области НОД (например, в области уникальной факторизации) НОД всех коэффициентов многочлена ${\displaystyle f}$, уникальный с точностью до единичных элементов, также называется содержимым ${\displaystyle f}$.

Приложения

Из леммы Гаусса следует, что для каждого уникальная область факторизации ${\displaystyle R}$, кольцо многочленов ${\displaystyle R[X_{1},X_{2},...,X_{n}]}$ также является уникальной областью факторизации (см. # Заявления для уникальных доменов факторизации ). Лемму Гаусса можно также использовать, чтобы показать Критерий неприводимости Эйзенштейна. Наконец, его можно использовать, чтобы показать, что циклотомические многочлены (унитарные единицы с целыми коэффициентами) неприводимы.

Из леммы Гаусса следует следующее утверждение:

• Если ${\displaystyle f(x)}$ - монический многочлен от одной переменной с коэффициентами в единственной области факторизации ${\displaystyle R}$ (или, в более общем смысле, домен GCD), затем корень ${\displaystyle f}$ то есть в поле дробей ${\displaystyle F}$ из ${\displaystyle R}$ в ${\displaystyle R}$.^{[заметка 3]}

Если ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$, то он говорит, что рациональный корень монического многочлена по целым числам является целым числом (см. теорема о рациональном корне ). Чтобы увидеть заявление, позвольте ${\displaystyle a/b}$ быть корнем ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle F}$ и предполагать ${\displaystyle a,b}$ относительно просты. В ${\displaystyle F[x]}$, мы можем написать ${\displaystyle f=(x-a/b)g}$ с ${\displaystyle cg\in R[x]}$ для некоторых ${\displaystyle c\in R}$. потом

${\displaystyle cbf=(bx-a)cg}$,

это факторизация в ${\displaystyle R[x]}$. Но ${\displaystyle bx-a}$ примитивен (в смысле UFD) и, следовательно, ${\displaystyle cb}$ делит коэффициенты при ${\displaystyle cg}$ по лемме Гаусса, поэтому

${\displaystyle f=(bx-a)h}$,

с ${\displaystyle h}$ в ${\displaystyle R[x]}$. С ${\displaystyle f}$ моник, это возможно только когда ${\displaystyle b}$ это единица.

Аналогичный аргумент показывает:

• Позволять ${\displaystyle R}$ - НОД с полем дробей ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle f\in R[x]}$. Если ${\displaystyle f=gh}$ для некоторого полинома ${\displaystyle g\in R[x]}$ это примитивно в смысле UFD и ${\displaystyle h\in F[x]}$, тогда ${\displaystyle h\in R[x]}$.

Из утверждения о неприводимости также следует, что минимальный многочлен над рациональными числами алгебраическое целое число имеет целые коэффициенты.

Примечания и ссылки

1. Генератор главного идеала - это НОД некоторых образующих я (и существует, потому что ${\displaystyle R}$ является доменом GCD).
2. Доказательство для случая НОД: Доказательство здесь взято из Мины, р .; Richman, F .; Руйтенбург, В. (1988). Курс конструктивной алгебры. Universitext. Springer-Verlag. ISBN  0-387-96640-4. Нам понадобится следующая простая лемма о НОД:
   • Если ${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(a,c)=1}$, тогда ${\displaystyle \gcd(a,bc)=1}$.
   (Доказательство леммы нетривиально, оно проводится с помощью элементарной алгебры.) Мы рассуждаем индукцией по сумме чисел слагаемых в ${\displaystyle f,g}$; то есть, мы предполагаем, что предложение было установлено для любой пары многочленов с одним общим числом членов меньше. Позволять ${\displaystyle (c)=\gcd(\operatorname {cont} (fg))}$; т.е. ${\displaystyle c}$ - НОД коэффициентов при ${\displaystyle fg}$. Предполагать ${\displaystyle (c)\neq (1)}$; в противном случае мы закончили. Позволять ${\displaystyle f_{0},g_{0}}$ обозначают члены наивысшей степени ${\displaystyle f,g}$ с точки зрения лексикографический мономиальный порядок. потом ${\displaystyle f_{0}g_{0}}$ это как раз главный термин ${\displaystyle fg}$ и так ${\displaystyle c}$ делит (единственный) коэффициент при ${\displaystyle f_{0}g_{0}}$ (поскольку он делит все коэффициенты ${\displaystyle fg}$). Сейчас если ${\displaystyle c}$ не имеет общего множителя с (единственным) коэффициентом ${\displaystyle f_{0}}$ и не имеет общего с фактором ${\displaystyle g_{0}}$, то по лемме выше ${\displaystyle \gcd(c,\operatorname {cont} (f_{0}g_{0}))=(1)}$. Но ${\displaystyle c}$ делит коэффициент при ${\displaystyle f_{0}g_{0}}$; Итак, это противоречие. Таким образом, либо ${\displaystyle c}$ имеет общий множитель с коэффициентом ${\displaystyle f_{0}}$ или делает с этим из ${\displaystyle g_{0}}$; скажем, первое имеет место. Позволять ${\displaystyle (d)=\operatorname {gcd} (c,\operatorname {cont} (f_{0}))}$. С ${\displaystyle d}$ делит коэффициенты при ${\displaystyle fg-f_{0}g=(f-f_{0})g}$, по предположению индукции,

   ${\displaystyle (d)\supset \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} ((f-f_{0})g))=\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (f-f_{0}))\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (g))=\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (f-f_{0}))}$.

   С ${\displaystyle (d)}$ содержит ${\displaystyle \operatorname {cont} (f_{0})}$, это содержит ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$; т.е. ${\displaystyle (d)=(1)}$, противоречие. ${\displaystyle \square }$
3. Другими словами, он говорит, что уникальная область факторизации целиком закрытый.

1. Статья 42 Карл Фридрих Гаусс с Disquisitiones Arithmeticae (1801)
2. Атья и Макдональд, Гл. 1., упражнение 2. (iv) и упражнение 3. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAtiyahMacDonald (помощь)
3. Эйзенбуд, Упражнение 3.4. (а) ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEisenbud (помощь)
4. Атья и Макдональд, Гл. 1., упражнение 2. (iv Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAtiyahMacDonald (помощь))
5. Атья и Макдональд, Гл. 1., упражнение 1.13. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAtiyahMacDonald (помощь)
6. Эйзенбуд, Exercise 3.4.c; Случай, когда р это УФО. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEisenbud (помощь)

• Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN  978-0-387-94268-1, МИСТЕР  1322960, ISBN  978-0-387-94269-8