Главный элемент - Prime element

В математика особенно в абстрактная алгебра, а главный элемент из коммутативное кольцо это объект, удовлетворяющий определенным свойствам, подобным простые числа в целые числа и чтобы неприводимые многочлены. Следует проявлять осторожность, чтобы отличать основные элементы от неприводимые элементы, концепция, которая одинакова в УФО но в целом не то же самое.

Определение

Элемент $п$ коммутативного кольца $р$ как говорят премьер если это не нулевой элемент или единица измерения и когда $п$ разделяет $ab$ для некоторых $а$ и $б$ в $р$ , тогда $п$ разделяет $а$ или $п$ разделяет $б$ . Эквивалентно элемент $п$ является простым тогда и только тогда, когда главный идеал $(п)$ Сгенерированно с помощью $п$ ненулевой главный идеал.^[1] (Обратите внимание, что в область целостности, идеал $(0)$ это главный идеал, но $0$ является исключением из определения «первичного элемента».)

Интерес к первоклассным элементам исходит из Основная теорема арифметики, который утверждает, что каждое ненулевое целое число может быть записано по существу только одним способом как 1 или −1, умноженное на произведение положительных простых чисел. Это привело к изучению уникальные домены факторизации, которые обобщают то, что только что было показано в целых числах.

Простота зависит от того, в каком кольце считается элемент; например, 2 - простой элемент в $Z$ но это не в $Z [я]$ , кольцо Гауссовские целые числа, поскольку $2 = (1 + я)(1 - я)$ и 2 не делит множитель справа.

Связь с первостепенными идеалами

Идеальный $я$ в ринге $р$ (с единицей) премьер если фактор-кольцо $р / я$ является область целостности.

Ненулевой главный идеал является премьер тогда и только тогда, когда он порождается простым элементом.

Неприводимые элементы

Основные элементы не следует путать с неприводимые элементы. В область целостности, каждое простое число неприводимо^[2] но в целом обратное неверно. Однако в уникальных областях факторизации^[3] или в более общем плане в GCD домены, простые и неприводимые числа одинаковы.

Примеры

Ниже приведены примеры простых элементов в кольцах:

Целые числа $\pm2$ , $\pm3$ , $\pm5$ , $\pm7$ , $\pm11$ , ... в кольцо целых чисел $Z$
комплексные числа $(1 + я)$ , $19$ , и $(2 + 3 я)$ в кольце Гауссовские целые числа $Z [я]$
многочлены $Икс 2 - 2$ и $Икс 2 + 1$ в $Z [Икс]$ , то кольцо многочленов над $Z$ .
2 в кольцо частного $Z /6 Z$
$Икс 2 + (Икс 2 + Икс)$ неприводимо, но не является простым в кольце $Q [Икс]/(Икс 2 + Икс)$

использованная литература

Заметки

^ Хангерфорд 1980, Теорема III.3.4 (i), как указано в примечании под теоремой и доказательством, результат верен в полной общности.
^ Хангерфорд 1980, Теорема III.3.4 (iii)
^ Хангерфорд 1980, Замечание после определения III.3.5.

Источники

Раздел III.3 Хангерфорд, Томас В. (1980), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 73 (Перепечатка изд. 1974 г.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90518-1, Г-Н 0600654
Джейкобсон, Натан (1989), Базовая алгебра. II (2-е изд.), Нью-Йорк: W. H. Freeman and Company, pp. Xviii + 686, ISBN 0-7167-1933-9, Г-Н 1009787
Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца, Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. X + 180, Г-Н 0254021

[1] Хангерфорд 1980, Теорема III.3.4 (i), как указано в примечании под теоремой и доказательством, результат верен в полной общности.

[2] Хангерфорд 1980, Теорема III.3.4 (iii)

[3] Хангерфорд 1980, Замечание после определения III.3.5.

[1]

[2]

[3]