Теорема о рациональном корне - Rational root theorem

В алгебра, то теорема о рациональном корне (или же рациональный корень, теорема о рациональном нуле, рациональный нулевой тест или же п/q теорема) устанавливает ограничение на рациональный решения из полиномиальное уравнение

${displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{0}=0}$

с целое число коэффициенты ${displaystyle a_{i}in mathbb {Z} }$ и ${displaystyle a_{0},a_{n}eq 0}$. Решения уравнения также называют корни или нули многочлен с левой стороны.

Теорема утверждает, что каждый рациональный решение Икс = ^п⁄_q, написанные в наименьшем количестве, так что п и q находятся относительно простой, удовлетворяет:

• п это целое число фактор из постоянный срок а₀, и

• q - целочисленный множитель ведущего коэффициент а_п.

Теорема о рациональном корне - это частный случай (для одного линейного фактора) Лемма Гаусса о факторизации многочленов. В теорема об интегральном корне является частным случаем теоремы о рациональном корне, когда старший коэффициент равена_п = 1.

Заявление

Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые имеются. Он дает конечное число возможных дробей, которые можно проверить, чтобы увидеть, являются ли они корнями. Если рациональный корень Икс = р найден линейный многочлен (Икс – р) можно вынести из полинома с помощью полиномиальное деление в столбик, в результате чего получается многочлен более низкой степени, корни которого также являются корнями исходного многочлена.

Кубическое уравнение

Генерал кубическое уравнение

${displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

с целыми коэффициентами имеет три решения в комплексная плоскость. Если проверка рационального корня не находит рациональных решений, то единственный способ выразить решения алгебраически использует кубические корни. Но если тест найдет рациональное решение р, затем за вычетом (Икс – р) оставляет квадратичный многочлен чьи два корня, найденные с квадратичная формула, являются двумя оставшимися корнями кубики, избегая кубических корней.

Доказательства

Первое доказательство

Позволять

${displaystyle P(x) = a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0},qquad a_{0},ldots a_{n}in mathbb {Z} .}$

Предполагать п(п/q) = 0 для некоторых совмещать п, q ∈ ℤ:

${displaystyle Pleft({ frac {p}{q}}ight)=a_{n}left({ frac {p}{q}}ight)^{n}+a_{n-1}left({ frac {p}{q}}ight)^{n-1}+cdots +a_{1}left({ frac {p}{q}}ight)+a_{0}=0.}$

Теперь умножьте обе стороны на q^п.

${displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0}$

Путем сдвига постоянного члена (члена, содержащего а₀) в правую сторону и за вычетом п на левой стороне производит

${displaystyle pleft(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+cdots +a_{1}q^{n-1}ight)=-a_{0}q^{n}.}$

Таким образом, п разделяет а₀q^п. Но п взаимно прост с q и поэтому q^п, так что Лемма евклида п должен разделить оставшийся фактор а₀ продукта.

С другой стороны, сдвиг ведущего члена вправо и вынесение за скобки q с левой стороны дает

${displaystyle qleft(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+cdots +a_{0}q^{n-1}ight)=-a_{n}p^{n}.}$

Рассуждая по-прежнему, следует, что q разделяет а_п.^[1]

Доказательство с использованием леммы Гаусса

Если есть нетривиальный множитель, делящий все коэффициенты многочлена, то можно разделить на наибольший общий делитель коэффициентов так, чтобы получить примитивный многочлен в смысле Лемма Гаусса; это не меняет набор рациональных корней, а только усиливает условия делимости. Эта лемма говорит, что если полиномиальные множители в Q[Икс], то он также учитывает Z[Икс] как произведение примитивных многочленов. Теперь любой рациональный корень п/q соответствует коэффициенту степени 1 в Q[Икс] полинома, и его примитивный представитель тогда qx − п, при условии, что п и q взаимно просты. Но любое кратное в Z[Икс] из qx − п имеет ведущий член, делящийся на q и постоянный член, кратный п, что доказывает утверждение. Этот аргумент показывает, что в более общем плане любой несводимый фактор п можно предположить, что они имеют целые коэффициенты, а также ведущие и постоянные коэффициенты, делящие соответствующие коэффициентып.

Примеры

Первый

В полиноме

${displaystyle 2x^{3}+x-1,}$

любой полностью приведенный рациональный корень должен иметь числитель, который делится равномерно на 1, и знаменатель, который делится равномерно на 2. Следовательно, единственными возможными рациональными корнями являются ± 1/2 и ± 1; так как ни один из них не приравнивает многочлен к нулю, он не имеет рациональных корней.

Второй

В полиноме

${displaystyle x^{3}-7x+6}$

единственные возможные рациональные корни будут иметь числитель, который делит 6, и знаменатель, который делит 1, ограничивая возможности до ± 1, ± 2, ± 3 и ± 6. Из них 1, 2 и –3 приравнивают многочлен к нулю и, следовательно, являются его рациональными корнями. (На самом деле это единственные корни, так как кубика имеет только три корня; в общем, многочлен может иметь некоторые рациональные и некоторые иррациональный корни.)

В третьих

Каждый рациональный корень многочлена

${displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2}$

должен быть среди чисел, символически обозначенных:

${displaystyle pm { frac {1,2}{1,3}} = pm {1,2,{ frac {1}{3}},{ frac {2}{3}}}.}$

Эти 8 корневых кандидатов Икс = р можно проверить, оценив п(р), например, используя Метод Хорнера. Оказывается, есть ровно один с п(р) = 0.

Этот процесс можно сделать более эффективным: если п(р) ≠ 0, его можно использовать для сокращения списка оставшихся кандидатов.^[2] Например, Икс = 1 не работает, так как п(1) = 1. Подстановка Икс = 1 + т дает многочлен отт с постоянным сроком п(1) = 1, а коэффициент т³ остается таким же, как коэффициент при Икс³. Таким образом, применение теоремы о рациональном корне дает возможные корни ${displaystyle t=pm { frac {1}{1,3}}}$, так что

${displaystyle x=1+t=2,0,{ frac {4}{3}},{ frac {2}{3}}.}$

Истинные корни должны встречаться в обоих списках, поэтому список рациональных корневых кандидатов сократился до Икс = 2 и Икс = 2/3.

Если k ≥ 1 рациональные корни найдены, метод Горнера также даст многочлен степени п − k корни которого вместе с рациональными корнями являются в точности корнями исходного многочлена. Если ни один из кандидатов не является решением, не может быть рационального решения.

Смотрите также

• Целостно закрытый домен
• Правило знаков Декарта
• Теорема Гаусса – Лукаса
• Свойства полиномиальных корней
• Содержание (алгебра)
• Критерий Эйзенштейна

Примечания

1. Арнольд, Д .; Арнольд, Г. (1993). Математика с четырьмя единицами. Эдвард Арнольд. С. 120–121. ISBN  0-340-54335-3.
2. Кинг, Джереми Д. (ноябрь 2006 г.). «Целочисленные корни многочленов». Математический вестник. 90: 455–456.

Рекомендации

• Чарльз Д. Миллер, Маргарет Л. Лиал, Дэвид И. Шнайдер: Основы студенческой алгебры. Scott & Foresman / Little & Brown Higher Education, 3-е издание, 1990 г., ISBN  0-673-38638-4, стр. 216–221
• Филип С. Джонс, Джек Д. Бедиент: Исторические корни элементарной математики. Публикации Dover Courier 1998, ISBN  0-486-25563-8, стр. 116–117 (онлайн-копия, п. 116, в Google Книги )
• Рон Ларсон: Исчисление: прикладной подход. Cengage Learning 2007, г. ISBN  978-0-618-95825-2, стр. 23–24 (онлайн-копия, п. 23, в Google Книги )

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема рационального нуля". MathWorld.
• RationalRootTheorem в PlanetMath
• Еще одно доказательство того, что n^th корни целых чисел иррациональны, за исключением совершенных n-х степеней Скотт Э. Броди
• Тест рациональных корней на purplemath.com