Целочисленный полином - Integer-valued polynomial

В математика, целочисленный многочлен (также известный как числовой полином) ${\displaystyle P(t)}$ это многочлен чья ценность ${\displaystyle P(n)}$ является целое число для каждого целого числа п. Каждый многочлен с целым числом коэффициенты является целочисленным, но обратное неверно. Например, полином

${\displaystyle {\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}t={\frac {1}{2}}t(t+1)}$

принимает целые значения всякий раз, когда т целое число. Это потому, что один из т и ${\displaystyle t+1}$ должен быть четное число. (Значения, которые принимает этот полином, являются треугольные числа.)

Целочисленные многочлены являются самостоятельными объектами изучения алгебры и часто появляются в алгебраическая топология.^[1]

Классификация

Класс целочисленных многочленов полностью описан Георгий Полиа  (1915 ). Внутри кольцо многочленов ${\displaystyle \mathbb {Q} [t]}$ многочленов с Рациональное число коэффициенты, подкольцо целочисленных многочленов является свободная абелева группа. Он имеет как основа многочлены

${\displaystyle P_{k}(t)=t(t-1)\cdots (t-k+1)/k!}$

за ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$, т.е. биномиальные коэффициенты. Другими словами, каждый целочисленный многочлен можно записать как целое число линейная комбинация биномиальных коэффициентов точно одним способом. Доказательство проводится методом дискретный ряд Тейлора: биномиальные коэффициенты - это целочисленные многочлены, и, наоборот, дискретная разность целочисленного ряда является целочисленным рядом, поэтому дискретный ряд Тейлора целочисленного ряда, порожденный многочленом, имеет целочисленные коэффициенты (и является конечным рядом).

Фиксированные простые делители

Целочисленные многочлены могут быть эффективно использованы для решения вопросов о фиксированных делителях многочленов. Например, многочлены п с целыми коэффициентами, которые всегда принимают четные числовые значения, - это как раз такие, что ${\displaystyle P/2}$ является целочисленным. Те, в свою очередь, представляют собой многочлены, которые могут быть выражены как линейная комбинация с четными целыми коэффициентами биномиальных коэффициентов.

В вопросах теории простых чисел, таких как Гипотеза Шинцеля H и Гипотеза Бейтмана – Хорна, принципиально важно понять случай, когда п не имеет фиксированного простого делителя (это было названо Собственность Буняковского^{[нужна цитата ]}, после Виктор Буняковский ). Написав п в терминах биномиальных коэффициентов мы видим, что старший фиксированный простой делитель также является самым высоким простым числом Общий делитель коэффициентов в таком представлении. Таким образом, свойство Буняковского эквивалентно взаимно простым коэффициентам.

Например, пара многочленов п и ${\displaystyle n^{2}+2}$ нарушает это условие при ${\displaystyle p=3}$: для каждого п продукт

${\displaystyle n(n^{2}+2)}$

делится на 3, что следует из представления

${\displaystyle n(n^{2}+2)=6{\binom {n}{3}}+6{\binom {n}{2}}+3{\binom {n}{1}}}$

относительно биномиального базиса, где наибольший общий делитель коэффициентов - следовательно, наибольший фиксированный делитель ${\displaystyle n(n^{2}+2)}$—Это 3.

Другие кольца

Числовые полиномы могут быть определены над другими кольцами и полями, и в этом случае целочисленные полиномы, указанные выше, называются классические числовые полиномы.^{[нужна цитата ]}

Приложения

В K-теория из BU (п) - числовые (симметричные) многочлены.

В Полином Гильберта кольца многочленов в k + 1 переменная - числовой полином ${\displaystyle {\binom {t+k}{k}}}$.

Рекомендации

1. Джонсон, Кейт (2014), «Стабильная теория гомотопий, формальные групповые законы и целочисленные многочлены», в Фонтане, Марко; Фриш, Софи; Глаз, Сара (ред.), Коммутативная алгебра: последние достижения в области коммутативных колец, целочисленных многочленов и полиномиальных функций, Springer, стр. 213–224, ISBN  9781493909254. См., В частности, стр. 213–214.

Алгебра

• Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (1997), Целочисленные многочлены, Математические обзоры и монографии, 48, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, МИСТЕР  1421321
• Полиа, Джордж (1915), "Über ganzwertige ganze Funktionen", Палермо Ренд. (на немецком), 40: 1–16, ISSN  0009-725X, JFM  45.0655.02

Алгебраическая топология

• Бейкер, Эндрю; Кларк, Фрэнсис; Рэй, Найджел; Шварц, Лайонел (1989), "О конгруэнциях Куммера и стабильной гомотопии BU", Труды Американского математического общества, 316 (2): 385–432, Дои:10.2307/2001355, JSTOR  2001355, МИСТЕР  0942424

• Экедаль, Торстен (2002), «О минимальных моделях в интегральной теории гомотопий», Гомологии, гомотопии и приложения, 4 (2): 191–218, Дои:10.4310 / hha.2002.v4.n2.a9, МИСТЕР  1918189, Zbl  1065.55003

• Эллиотт, Джесси (2006). «Биномиальные кольца, целочисленные многочлены и λ-кольца». Журнал чистой и прикладной алгебры. 207 (1): 165–185. Дои:10.1016 / j.jpaa.2005.09.003. МИСТЕР  2244389.

• Хаббак, Джон Р. (1997), «Числовые формы», Журнал Лондонского математического общества, Серия 2, 55 (1): 65–75, Дои:10.1112 / S0024610796004395, МИСТЕР  1423286

дальнейшее чтение

• Наркевич, Владислав (1995). Полиномиальные отображения. Конспект лекций по математике. 1600. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-59435-3. ISSN  0075-8434. Zbl  0829.11002.