Проблема предупреждений - Warings problem

В теория чисел, Проблема Варинга спрашивает, каждый ли натуральное число k имеет связанный положительное число s такое, что каждое натуральное число является суммой не более чем s натуральные числа в степени k. Например, каждое натуральное число представляет собой сумму не более 4 квадратов, 9 кубиков или 19 четвертых степеней. Проблема Варинга была предложена в 1770 г. Эдвард Уоринг, в честь кого назван. Его утвердительный ответ, известный как Теорема Гильберта – Варинга, был предоставлен Гильберта в 1909 г.^[1] Проблема Варинга имеет свою Классификация предметов математики, 11P05, «Проблема Варинга и варианты».

Связь с теоремой Лагранжа о четырех квадратах

Задолго до того, как Уоринг сформулировал свою проблему, Диофант спросил, может ли каждое положительное целое число быть представлено как сумма четырех полных квадратов больше или равно нулю. Этот вопрос позже стал известен как гипотеза Баше после того, как в 1621 году был переведен Диофант. Клод Гаспар Баше де Мезириак, и это было решено Жозеф-Луи Лагранж в его теорема четырех квадратов в 1770 году, в том же году, Уоринг высказал свое предположение. Варинг стремился обобщить эту проблему, пытаясь представить все положительные целые числа как сумму кубов, целых чисел в четвертой степени и т. Д., Чтобы показать, что любое положительное целое число может быть представлено как сумма других целых чисел, возведенных в определенную степень и что всегда было максимальное количество целых чисел, возведенных в определенную степень, необходимое для представления всех положительных целых чисел таким образом.

Номер грамм(k)

Для каждого ${\displaystyle k}$, позволять ${\displaystyle g(k)}$ обозначить минимальное число ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle k}$-ые степени натуральных чисел, необходимые для представления всех положительных целых чисел. Каждое положительное целое число - это сумма самой первой степени, поэтому ${\displaystyle g(1)=1}$. Некоторые простые вычисления показывают, что для 7 требуется 4 квадрата, для 23 требуется 9 кубиков,^[2] а 79 требует 19 четвертых степеней; эти примеры показывают, что ${\displaystyle g(2)\geq 4}$, ${\displaystyle g(3)\geq 9}$, и ${\displaystyle g(4)\geq 19}$. Варинг предположил, что эти нижние оценки на самом деле являются точными значениями.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах 1770 г. гласит, что каждое натуральное число является суммой не более четырех квадратов. Поскольку трех квадратов недостаточно, эта теорема устанавливает ${\displaystyle g(2)=4}$. Теорема Лагранжа о четырех квадратах была высказана в Bachet издание 1621 г. Диофант с Арифметика; Ферма заявили, что имеют доказательства, но не опубликовали их.^[3]

С годами были установлены различные границы с использованием все более изощренных и сложных методов доказательства. Например, Liouville показало, что ${\displaystyle g(4)}$ не больше 53. Харди и Littlewood показал, что все достаточно большие числа являются суммой не более 19 четвертых степеней.

Который ${\displaystyle g(3)=9}$ была основана с 1909 по 1912 год Виферих^[4] и А. Дж. Кемпнер,^[5] ${\displaystyle g(4)=19}$ в 1986 г. Р. Баласубраманян, F. Платье и Ж.-М. Deshouillers,^[6][7] ${\displaystyle g(5)=37}$ в 1964 г. Чен Цзинжун, и ${\displaystyle g(6)=73}$ в 1940 г. Пиллаи.^[8]

Позволять ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ и ${\displaystyle \{x\}}$ соответственно обозначим интеграл и дробная часть положительного действительного числа ${\displaystyle x}$. Учитывая количество ${\displaystyle c=2^{k}\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1<3^{k}}$, Только ${\displaystyle 2^{k}}$ и ${\displaystyle 1^{k}}$ может использоваться для представления ${\displaystyle c}$; наиболее экономичное представление требует ${\displaystyle \lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1}$ условия ${\displaystyle 2^{k}}$ и ${\displaystyle 2^{k}-1}$ условия ${\displaystyle 1^{k}}$. Следует, что ${\displaystyle g(k)}$ по крайней мере такой же большой, как ${\displaystyle 2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$. Это заметил Дж. А. Эйлер, сын Леонард Эйлер, примерно в 1772 г.^[9] Позже работа Диксон, Пиллаи, Рубугунди, Niven^[10] и многие другие доказали, что

${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$	${\displaystyle \,\mathrm {if} }$	${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor \leq 2^{k}}$
${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -2}$	${\displaystyle \,\mathrm {if} }$	${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}}$	${\displaystyle \,\mathrm {and} }$	${\displaystyle \lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor =2^{k}}$
${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -3}$	${\displaystyle \,\mathrm {if} }$	${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}}$	${\displaystyle \,\mathrm {and} }$	${\displaystyle \lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}.}$

Нет ценности ${\displaystyle k}$ известен тем, что ${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}}$. Малер^[11] доказано, что может быть только конечное число таких ${\displaystyle k}$, а Кубина и Вундерлих^[12] показали, что любой такой ${\displaystyle k}$ должен удовлетворить ${\displaystyle k>}$ 471 600 000. Таким образом, предполагается, что этого никогда не происходит, то есть ${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$ для каждого положительного целого числа ${\displaystyle k}$.

Первые несколько значений ${\displaystyle g(k)}$ находятся:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (последовательность A002804 в OEIS ).

Номер грамм(k)

Из работы Харди и Littlewood, связанная величина грамм(k) изучался с грамм(k). грамм(k) определяется как наименьшее положительное целое число s так что каждый достаточно большой целое число (т.е. каждое целое число, большее некоторой константы) может быть представлено как сумма не более s положительные целые числа в степени k. Четко, грамм(1) = 1. Поскольку квадраты конгруэнтны 0, 1 или 4 (mod 8), никакое целое число, конгруэнтное 7 (mod 8), не может быть представлено в виде суммы трех квадратов, что означает, что грамм(2) ≥ 4. С грамм(k) ≤ грамм(k) для всех k, это показывает, что грамм(2) = 4. Давенпорт показало, что грамм(4) = 16 в 1939 году, продемонстрировав, что любое достаточно большое число, равное от 1 до 14 по модулю 16, может быть записано как сумма 14 четвертых степеней (Воган в 1985 и 1989 годах уменьшил 14 последовательно до 13 и 12). Точная стоимость грамм(k) неизвестно ни для каких других k, но есть границы.

Нижние оценки для грамм(k)

Границы
1 = G (1) = 1
4 = G (2) = 4
4 ≤ G (3) ≤ 7
16 = G (4) = 16
6 ≤ G (5) ≤ 17
9 ≤ G (6) ≤ 24
8 ≤ G (7) ≤ 33
32 ≤ G (8) ≤ 42
13 ≤ G (9) ≤ 50
12 ≤ G (10) ≤ 59
12 ≤ G (11) ≤ 67
16 ≤ G (12) ≤ 76
14 ≤ G (13) ≤ 84
15 ≤ G (14) ≤ 92
16 ≤ G (15) ≤ 100
64 ≤ G (16) ≤ 109
18 ≤ G (17) ≤ 117
27 ≤ G (18) ≤ 125
20 ≤ G (19) ≤ 134
25 ≤ G (20) ≤ 142

Номер грамм(k) Больше или равно

2^р+2 если k = 2^р с р ≥ 2, или k = 3 × 2^р;

п^р+1 если п простое число больше 2 и k = п^р(п − 1);

(п^р+1 - 1) / 2, если п простое число больше 2 и k = p^р(п - 1) / 2;

k +1 для всех целых чисел k больше 1.

В отсутствие ограничений конгруэнтности аргумент плотности предполагает, что грамм(k) должно равняться k + 1.

Верхние границы для грамм(k)

G (3) по крайней мере четыре (поскольку кубы конгруэнтны 0, 1 или −1 mod 9); для чисел меньше 1,3×10⁹, 1290740 является последним, для которого требуется шесть кубиков, и число чисел от N до 2N, требующих пяти кубов, уменьшается с увеличением N с достаточной скоростью, чтобы люди поверили, что G (3) = 4;^[13] наибольшее число, которое, как известно, не является суммой четырех кубиков, - 7373170279850,^[14] и авторы приводят разумные аргументы в пользу того, что это может быть максимально возможным. Верхняя граница G (3) ≤ 7 принадлежит Линнику в 1943 году.^[15] (Для всех неотрицательных целых чисел требуется не более 9 кубов, а наибольшие целые числа, требующие 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, предположительно равны 239, 454, 8042, 1290740 и 7373170279850 соответственно.)

13792 - это наибольшее число, для которого требуется семнадцать четвертых степеней (Deshouillers, Hennecart и Landreau показали в 2000 г.^[16] что каждое число от 13793 до 10²⁴⁵ требовалось не более шестнадцати, и Кавада, Вули и Дешуиллерс расширили результат Давенпорта 1939 года, чтобы показать, что каждое число больше 10²²⁰ требуется не более шестнадцати). Шестнадцать четвертых степеней всегда необходимы для записи числа в форме 31 · 16.^п.

617597724 - последнее число меньше 1,3×10⁹ что требует десяти пятых степеней, а 51033617 последнее число меньше 1,3×10⁹ для чего требуется одиннадцать.

Верхние границы справа с k = 5, 6, ..., 20 из за Vaughan и Вули.^[17]

Используя его улучшенный Метод Харди-Литтлвуда, Виноградов И. М. опубликовал многочисленные уточнения, ведущие к

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}$

в 1947 г. и, в конечном итоге,

${\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)}$

для неуказанной константы C и достаточно большой k в 1959 г.

Применяя его p-адический форма метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова для оценки тригонометрических сумм, в котором суммирование ведется по числам с малыми простыми делителями, Анатолий Алексеевич Карацуба полученный^[18] (1985) новая оценка Харди функция ${\displaystyle G(k)}$ (за ${\displaystyle k\geq 400}$):

${\displaystyle \!G(k)<2k\log k+2k\log \log k+12k.}$

Дальнейшие уточнения были получены Воганом [1989].

Затем Вули установил, что для некоторой постоянной C,^[19]

${\displaystyle G(k)\leq k\log k+k\log \log k+Ck.}$

Воан и Вули написали обширную обзорную статью.^[17]

Смотрите также

• Теорема Ферма о многоугольных числах, по теореме каждое натуральное число является суммой не более чем п из п-гональные числа
• Проблема Варинга – Гольдбаха, проблема представления чисел в виде сумм степеней простых чисел
• Проблема суммы подмножества, алгоритмическая проблема, с помощью которой можно найти кратчайшее представление данного числа в виде суммы степеней
• Суммы трех кубиков, обсуждает, какие числа являются суммой трех не обязательно положительный кубики

Примечания

1. Гильберт, Дэвид (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Проблема Waringsches)". Mathematische Annalen. 67 (3): 281–300. Дои:10.1007 / bf01450405. МИСТЕР  1511530.
2. Помните, что мы ограничиваемся натуральными числами. С обычными целыми числами нетрудно записать 23 как сумму 4 кубиков, например ${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}}$ или же ${\displaystyle 29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}}$.
3. Диксон, Леонард Юджин (1920). «Глава VIII». История теории чисел, том II: Диофантов анализ. Институт Карнеги в Вашингтоне.
4. Виферих, Артур (1909). "Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt". Mathematische Annalen. 66 (1): 95–101. Дои:10.1007 / BF01450913.
5. Кемпнер, Обри (1912). "Bemerkungen zum Waringschen Problem". Mathematische Annalen. 72 (3): 387–399. Дои:10.1007 / BF01456723.
6. Баласубраманиан, Рамачандран; Deshouillers, Жан-Марк; Платье, Франсуа (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution" [Проблема Варинга для биквадратов. I. Эскиз решения. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (На французском). 303 (4): 85–88. МИСТЕР  0853592.
7. Баласубраманиан, Рамачандран; Deshouillers, Жан-Марк; Платье, Франсуа (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique" [Проблема Варинга для биквадратов. II. Вспомогательные результаты к асимптотической теореме. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (На французском). 303 (5): 161–163. МИСТЕР  0854724.
8. Пиллаи, С. С. (1940). «О проблеме Варинга g (6) = 73». Proc. Индийский акад. Наука. 12: 30–40. Дои:10.1007 / BF03170721. МИСТЕР  0002993.
9. Л. Эйлер «Опера постхума» (1), 203-204 (1862). Читать онлайн
10. Нивен, Иван М. (1944). «Неразрешенный случай проблемы Варинга». Американский журнал математики. Издательство Университета Джона Хопкинса. 66 (1): 137–143. Дои:10.2307/2371901. JSTOR  2371901. МИСТЕР  0009386.
11. Малер, Курт (1957). «О дробных частях степеней рационального числа II». Математика. 4 (2): 122–124. Дои:10.1112 / с0025579300001170. МИСТЕР  0093509.
12. Кубина, Джеффри М .; Вундерлих, Марвин С. (1990). «Расширение гипотезы Варинга до 471 600 000». Математика. Комп. 55 (192): 815–820. Bibcode:1990MaCom..55..815K. Дои:10.2307/2008448. JSTOR  2008448. МИСТЕР  1035936.
13. Натансон (1996, п. 71)
14. Deshouillers, Жан-Марк; Хеннекар, Франсуа; Ландро, Бернар; I. Gusti Putu Purnaba, Приложение от (2000). "7373170279850". Математика вычислений. 69 (229): 421–439. Дои:10.1090 / S0025-5718-99-01116-3.
15. Ю.В. Линник. Мат. Сб. Н.С. 12 (54), 218–224 (1943) О представлении больших чисел суммами семи кубов.
16. Deshouillers, Жан-Марк; Хеннекар, Франсуа; Ландро, Бернар (2000). «Проблема Варинга для шестнадцати биквадратов - численные результаты». Журнал Теории Номеров Бордо. 12 (2): 411–422. Дои:10.5802 / jtnb.287.
17. Vaughan, R.C .; Вули, Тревор (2002). «Проблема Варинга: обзор». В Bennet, Michael A .; Берндт, Брюс С .; Бостон, Найджел; Diamond, Harold G .; Хильдебранд, Адольф Дж .; Филипп, Вальтер (ред.). Теория чисел тысячелетия. III. Натик, Массачусетс: А. К. Петерс. С. 301–340. ISBN  978-1-56881-152-9. МИСТЕР  1956283.
18. Карацуба, А. А. (1985). «О функции G (n) в проблеме Варинга». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Математика. 27 (49:5): 935–947. Bibcode:1986ИзМат..27..239К. Дои:10.1070 / IM1986v027n02ABEH001176.
19. Воан, Р. (1997). Метод Харди-Литтлвуда. Кембриджские трактаты по математике. 125 (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-57347-5. Zbl  0868.11046.

Рекомендации

• Г. И. Архипов, В. Н. Чубариков, А. А. Карацуба, «Тригонометрические суммы в теории чисел и анализе». Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер, (2004).
• Архипов, А.А. Карацуба, В. Н. Чубариков, "Теория кратных тригонометрических сумм". Москва: Наука, (1987).
• Ю. В. Линник, «Элементарное решение проблемы Варинга по методу Шнирельмана». Мат. Сб., Н. Сер. 12 (54), 225–230 (1943).
• Р. К. Воан, «Новый итерационный метод в проблеме Варинга». Acta Mathematica (162), 1–71 (1989).
• Виноградов И. М. «Метод тригонометрических сумм в теории чисел». Trav. Inst. Математика. Стеклофф (23), 109 с. (1947).
• Виноградов И. М. «Об оценке сверху G (n)». Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. (23), 637–642 (1959).
• Виноградов И. М., Карацуба А. А. "Метод тригонометрических сумм в теории чисел", Proc. Стеклова Математика.1986. Т. 168. С. 3–30; перевод из Труды Матем. Inst. МИАН, 168, 4–30 (1984).
• Эллисон, У. Дж. (1971). "Проблема Варинга". Американский математический ежемесячный журнал. 78 (1): 10–36. Дои:10.2307/2317482. JSTOR  2317482. Обзор, содержит точную формулу для грамм(k), упрощенная версия доказательства Гильберта и множество ссылок.
• Хинчин, А.Я. (1998). Три жемчужины теории чисел. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN  978-0-486-40026-6. Имеет элементарное доказательство существования грамм(k) с помощью Плотность Шнирельмана.
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: классические основы. Тексты для выпускников по математике. 164. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94656-X. Zbl  0859.11002. Имеет доказательства теоремы Лагранжа, теорема о многоугольных числах, Доказательство Гильбертом гипотезы Варинга и доказательство Харди-Литтлвуда асимптотической формулы для числа способов представления N как сумма s kй полномочия.
• Ганс Радемахер и Отто Теплиц, Удовольствие от математики (1933) (ISBN  0-691-02351-4). Имеет доказательство теоремы Лагранжа, доступное для старшеклассников.

внешняя ссылка

• «Проблема с ремонтом», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]