Проблема Варинга – Гольдбаха - Waring–Goldbach problem

В Проблема Варинга – Гольдбаха проблема в аддитивная теория чисел о представительстве целые числа как суммы полномочий простые числа. Он назван как комбинация Проблема Варинга на суммы степеней целых чисел, а Гипотеза Гольдбаха на суммы простых чисел. Это было инициировано Хуа Луогэн[1] в 1938 г.

Постановка задачи

Он спрашивает, могут ли большие числа быть выражены как сумма, состоящая не более чем из постоянного числа членов, одинаковых степеней простых чисел. То есть для любого данного натурального числа k, верно ли, что для достаточно большого целого N обязательно существует набор простых чисел, {п1, п2, ..., пт}, такие что N = п1k + п2k + ... + птk, куда т самое большее постоянное значение?[2]

Дело, k= 1, является более слабой версией гипотезы Гольдбаха. Некоторый прогресс был достигнут по делам k= От 2 до 7.

Эвристическое обоснование

Посредством теорема о простых числах, количество k-я степень простого числа ниже Икс имеет порядок Икс1/k/бревно Икс. Отсюда количество т-членные выражения с суммами ≤Икс примерно Икст/k/(бревно Икс)т.Разумно предположить, что для некоторого достаточно большого числа т это Икс-c, т.е. все числа до Икс находятся т-кратные суммы k-ые степени простых чисел. Этот аргумент, конечно, далек от строгого доказательства.

Соответствующие результаты

В своей монографии[3] использование и совершенствование методов Харди, Литтлвуд и Виноградов, Хуа Луогэн получает О(k2бревно k) верхняя граница количества членов, необходимых для отображения всех достаточно больших чисел в виде суммы k-ые степени простых чисел.

Каждое достаточно большое нечетное целое число представляет собой сумму 21 пятой степени простых чисел.[4]

Рекомендации

  1. ^ Л. К. Хуа: Некоторые результаты в аддитивной теории простых чисел, Кварта. J. Math. Оксфорд, 9(1938), 68–80.
  2. ^ Батткейн, Джек (январь 2010 г.). «Заметка по проблеме Варинга – Гольдбаха». Журнал теории чисел. Эльзевир. 130 (1): 116–127. Дои:10.1016 / j.jnt.2009.07.006.
  3. ^ Хуа Ло Кенг: Аддитивная теория простых чисел, Переводы математических монографий, 13, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1965 г. xiii + 190 стр.
  4. ^ Кавада, Коичи; Вули, Тревор Д. (2001), «О проблеме Варинга – Гольдбаха для четвертой и пятой степеней» (PDF), Труды Лондонского математического общества, 83 (1): 1–50, Дои:10.1112 / plms / 83.1.1, HDL:2027.42/135164.