Личность Вогана - Vaughans identity

В математике и аналитическая теория чисел, Личность Воана является личность найден Р. К. Воан  (1977 ), который можно использовать для упрощения Виноградов работает над тригонометрические суммы. Его можно использовать для оценки сумматорных функций вида

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)}$

куда ж есть некоторые арифметическая функция натуральных чисел п, значения которых в приложениях часто являются корнями из единицы, а Λ - функция фон Мангольдта.

Порядок применения метода

Мотивация построения личности Воаном кратко обсуждается в начале 24 главы Давенпорта. На данный момент мы пропустим большую часть технических деталей, мотивирующих идентичность и ее использование в приложениях, и вместо этого сосредоточимся на настройке ее построения по частям. Следуя ссылке, мы построим четыре различные суммы на основе разложения логарифмическая производная из Дзета-функция Римана с точки зрения функций, которые являются частичными Серия Дирихле соответственно усеченный на верхних границах ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$, соответственно. Точнее, определим ${\displaystyle F(s)=\sum _{m\leq U}\Lambda (m)m^{-s}}$ и ${\displaystyle G(s)=\sum _{d\leq V}\mu (d)d^{-s}}$, что приводит нас к точному тождеству, что

${\displaystyle -{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=F(s)-\zeta (s)F(s)G(s)-\zeta ^{\prime }(s)G(s)+\left(-{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}-F(s)\right)(1-\zeta (s)G(s)).}$

Это последнее расширение подразумевает, что мы можем написать

${\displaystyle \Lambda (n)=a_{1}(n)+a_{2}(n)+a_{3}(n)+a_{4}(n),}$

где функции компонентов определены как

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}(n)&:={\Biggl \{}{\begin{matrix}\Lambda (n),&{\text{ if }}n\leq U;\\0,&{\text{ if }}n>U\end{matrix}}\\a_{2}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mdr=n}{\stackrel {m\leq U}{d\leq V}}}\Lambda (m)\mu (d)\\a_{3}(n)&:=\sum _{\stackrel {hd=n}{d\leq V}}\mu (d)\log(h)\\a_{4}(n)&:=-\sum _{\stackrel {mk=n}{\stackrel {m>U}{k>1}}}\Lambda (m)\left(\sum _{\stackrel {d|k}{d\leq V}}\mu (d)\right).\end{aligned}}}$

Затем мы определяем соответствующие сумматорные функции для ${\displaystyle 1\leq i\leq 4}$ быть

${\displaystyle S_{i}(N):=\sum _{n\leq N}f(n)a_{i}(n),}$

так что мы можем написать

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)=S_{1}(N)+S_{2}(N)+S_{3}(N)+S_{4}(N).}$

Наконец, в заключение многостраничного обсуждения технических и иногда деликатных оценок этих сумм,^[1] получаем следующий вид Личность Воана когда мы предполагаем, что ${\displaystyle |f(n)|\leq 1,\ \forall n}$, ${\displaystyle U,V\geq 2}$, и ${\displaystyle UV\leq N}$:

${\displaystyle \sum _{n\leq N}f(n)\Lambda (n)\ll U+(\log N)\times \max _{w}\left|\sum _{w\leq r\leq {\frac {N}{t}}}f(rt)\right|+{\sqrt {N}}(\log N)^{3}\times \max _{U\leq M\leq N/V}\max _{V\leq j\leq N/M}\left(\sum _{V<k\leq N/M}\left|\sum _{\stackrel {M<m\leq 2M}{\stackrel {m\leq N/k}{m\leq N/j}}}f(mj){\bar {f(mk)}}\right|\right)^{1/2}\mathbf {(V1)} .}$

Следует отметить, что в некоторых случаях более точные оценки могут быть получены из тождества Вона, рассматривая компонентную сумму ${\displaystyle S_{2}}$ более осторожно, расширив его в виде

${\displaystyle S_{2}=\sum _{t\leq UV}\longmapsto \sum _{t\leq U}+\sum _{U<t\leq UV}=:S_{2}^{\prime }+S_{2}^{\prime \prime }.}$

Оптимальность верхней границы, полученной с применением тождества Воана, по-видимому, зависит от приложения в отношении лучших функций. ${\displaystyle U=f_{U}(N)}$ и ${\displaystyle V=f_{V}(N)}$ мы можем выбрать ввод в уравнение (V1). См. Приложения, цитируемые в следующем разделе, где приведены конкретные примеры, возникающие в различных контекстах, соответственно рассматриваемых несколькими авторами.

Приложения

• Личность Воана использовалась для упрощения доказательства Теорема Бомбьери – Виноградова. и учиться Суммы Куммера (см. ссылки и внешние ссылки ниже).
• В главе 25 Давенпорта одним из применений личности Воана является оценка важного, связанного с праймом экспоненциальная сумма из Виноградов определяется

${\displaystyle S(\alpha ):=\sum _{n\leq N}\Lambda (n)e\left(n\alpha \right).}$

В частности, мы получаем асимптотическую оценку сверху для этих сумм (обычно вычисляемых при иррациональный ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$), рациональные приближения которых удовлетворяют

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|\leq {\frac {1}{q^{2}}},(a,q)=1,}$

формы

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log N)^{4}.}$

Аргумент в пользу этой оценки следует из тождества Воана, доказывая с помощью несколько замысловатого аргумента,

${\displaystyle S(\alpha )\ll \left(UV+q+{\frac {N}{\sqrt {U}}}+{\frac {N}{\sqrt {V}}}+{\frac {N}{\sqrt {q}}}+{\sqrt {Nq}}\right)(\log(qN))^{4},}$

а затем вывести первую формулу выше в нетривиальных случаях, когда ${\displaystyle q\leq N}$ и с ${\displaystyle U=V=N^{2/5}}$.

• Еще одно применение личности Воана можно найти в главе 26 Давенпорта, где этот метод используется для получения оценок сумм (экспоненциальные суммы ) из три простых числа.
• Примеры идентичности Воана на практике приведены в следующих ссылках / цитатах в этот информативный пост:.^[2][3][4][5]

Обобщения

Личность Воана была обобщена Хит-Браун (1982).

Примечания

1. N.b., который, если вы читаете Давенпорта достаточно часто, приведет вас к заключению очевидных свойств об уровне сложности полных деталей для тщательного доказательства личности Воана.
2. Тао, Т. «Каждое целое число больше 1 является суммой не более пяти простых чисел». arXiv:1201.6656.
3. Конри, Дж. Б. (1989). «Более двух пятых нулей дзета-функции Римана находятся на критической линии». J. Reine Angew. Математика. 399: 1–26.
4. Х. Л. Монтгомери и Р. К. Воан (1981). «О распределении бесквадратных чисел». Недавний прогресс в аналитической теории чисел, Х. Хальберштам (редактор), К. Хули (редактор).. 1: 247–256.
5. Д. Р. Хит-Браун и С. Дж. Паттерсон (1979). «Распределение сумм Куммера по основным аргументам». J. Reine Angew. Математика. 310: 110–130.

Рекомендации

• Давенпорт, Гарольд. Теория мультипликативных чисел (Третье изд.). Нью-Йорк: Тексты для выпускников Springer по математике. ISBN  0-387-95097-4.
• Грэм, С. (2001) [1994], "Личность Воана", Энциклопедия математики, EMS Press
• Хит-Браун, Д. (1982), "Простые числа через короткие интервалы и обобщенное тождество Вона", Может. J. Math., 34 (6): 1365–1377, Дои:10.4153 / CJM-1982-095-9, МИСТЕР  0678676
• Воан, Р. (1977), «Тригонометрические испытания на премьерах номеров», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A, 285: 981–983, МИСТЕР  0498434

внешняя ссылка

• Proof Wiki о личности Воана
• Математические заметки Джони (очень подробное изложение)
• Энциклопедия математики
• Блог Терри Тао о большом сите и теореме Бомбьери-Виноградова