Десятичный - Decimal

Для использования в других целях см. Десятичный (значения).

В десятичный система счисления (также называемый основание десять позиционная система счисления, и иногда звонил денар /ˈdяпərя/^[1] или же деканарий) - стандартная система обозначения целое число и нецелые числа. Это расширение на нецелые числа Индусско-арабская система счисления.^[2] Способ обозначения чисел в десятичной системе часто упоминается как десятичная запись.^[3]

А десятичная цифра (также часто просто десятичный или, что менее правильно, десятичное число), как правило, относится к обозначению числа в десятичной системе счисления. Десятичные дроби иногда могут быть обозначены десятичный разделитель (обычно "." или "," как в 25.9703 или же 3,1415).^[4][5] Десятичный может также относиться конкретно к цифрам после десятичного разделителя, например, в "3.14 это приближение π к два десятичных знака".

Числа, которые могут быть представлены в десятичной системе, являются десятичные дроби. То есть, фракции формы а/10^п, куда а целое число, а п это неотрицательное целое число.

Десятичная система была расширена до бесконечные десятичные дроби для представления любых настоящий номер, используя бесконечная последовательность цифр после десятичного разделителя (см. десятичное представление ). В этом контексте иногда называются десятичные числа с конечным числом ненулевых цифр после десятичного разделителя. завершающие десятичные знаки. А повторяющаяся десятичная дробь представляет собой бесконечное десятичное число, которое после некоторого места бесконечно повторяет одну и ту же последовательность цифр (например, 5.123144144144144... = 5.123144).^[6] Бесконечная десятичная дробь представляет собой Рациональное число тогда и только тогда, когда это повторяющееся десятичное число или конечное число ненулевых цифр.

Источник

Десять пальцев на двух руках, возможное происхождение десятичного счета

Много системы счисления Древних цивилизаций использовали десять и его силы для представления чисел, возможно потому, что на двух руках десять пальцев, и люди начали считать, используя свои пальцы. Примеры Цифры брахми, Греческие цифры, Цифры на иврите, римские цифры, и Китайские цифры. Очень большие числа было трудно представить в этих старых системах счисления, и только лучшие математики могли умножать или делить большие числа. Эти трудности были полностью решены с введением Индусско-арабская система счисления для представления целые числа. Эта система была расширена для представления некоторых нецелых чисел, называемых десятичные дроби или же десятичные числа, для формирования десятичная система счисления.

Десятичная запись

Для записи чисел в десятичной системе используется десять десятичные цифры, а десятичный знак, и для отрицательные числа, а знак минус «-». Десятичные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;^[7] десятичный разделитель - точка "." во многих странах,^[4][8] но также запятая "," в другие страны.^[5]

Для представления неотрицательное число, десятичное число состоит из

• либо (конечная) последовательность м цифры (например, «2017»), где вся последовательность представляет собой целое число,

  ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}}$

• или десятичный знак с отдельными последовательностями цифр слева и справа (например, "20.70828"), м цифры слева и п цифры справа

${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$.

Если м > 1, обычно считается, что первая цифра а_м не равно нулю.^{[примечание 1]} Это не меняет значение, представленное десятичной дробью: например, 3.14 = 03.14 = 003.14. Аналогично с последней цифрой справа - если б_п = 0, его можно удалить, и (независимо от б_п) завершающие нули могут быть добавлены без изменения представленного числа:^{[заметка 2]} Например, 15 = 15.0 = 15.00 и 5.2 = 5.20 = 5.200.

Для представления отрицательное число, перед а_м.

Цифра ${\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}$ представляет собой число

${\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}$.

В целая часть или же неотъемлемая часть десятичного числа - это целое число, записанное слева от десятичного разделителя (см. также усечение ). Для неотрицательного десятичного числа это наибольшее целое число, которое не больше десятичного. Часть от десятичного разделителя справа - это дробная часть, который равен разности числа и его целой части.

Когда целая часть числа равна нулю, это может происходить, как правило, в вычисление, что целая часть не записывается (например .1234, вместо 0.1234). В обычном письме этого обычно избегают из-за риска путаницы между десятичным знаком и другими знаками препинания.

Короче говоря, вклад каждой цифры в значение числа зависит от его положения в цифре. То есть десятичная система - это позиционная система счисления.

Десятичные дроби

Числа, представленные десятичными числами, являются десятичные дроби (иногда называют десятичные числа), это рациональное число это можно выразить как дробная часть чей знаменатель это мощность довольно часто.^[9] Например, цифры ${\displaystyle 0.8,14.89,0.00024,1.618,3.14159}$ представляют дроби 8/10, 1489/100, 24/100000, +1618/1000 и +314159/100000. В более общем смысле, десятичная дробь с п цифры после разделителя представляют собой дробь со знаминателем 10^п, числителем которого является целое число, полученное удалением разделителя.

Выражается как полностью восстановленная фракция, десятичные числа - это числа, знаменатель которых является произведением степени 2 и степени 5. Таким образом, наименьшие знаменатели десятичных чисел равны

${\displaystyle 1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots }$

Приближение действительных чисел

Десятичные числа не позволяют точно представить все действительные числа, например для реального числа π. Тем не менее, они позволяют аппроксимировать любое действительное число с любой желаемой точностью, например, десятичная дробь 3,14159 приближает реальное число. π, менее 10⁻⁵ выключенный; поэтому десятичные дроби широко используются в наука, инженерное дело и повседневная жизнь.

Точнее, для каждого действительного числа Икс и каждое положительное целое число п, есть два десятичных знака L и ты максимум с п цифры после десятичного знака, такие что L ≤ Икс ≤ ты и (ты − L) = 10^−п.

Числа очень часто получаются в результате измерение. Поскольку измерения подлежат погрешность измерения с известным верхняя граница, результат измерения хорошо представлен десятичной дробью с п цифры после десятичного знака, как только абсолютная погрешность измерения ограничена сверху 10^−п. На практике результаты измерений часто приводятся с определенным количеством цифр после десятичной точки, которые указывают границы погрешности. Например, хотя 0,080 и 0,08 обозначают одно и то же число, десятичная цифра 0,080 предполагает измерение с ошибкой менее 0,001, а цифра 0,08 указывает на абсолютную ошибку, ограниченную 0,01. В обоих случаях истинное значение измеряемой величины может быть, например, 0,0803 или 0,0796 (см. Также значимые фигуры ).

Бесконечное десятичное разложение

Основная статья: Десятичное представление

Для настоящий номер Икс и целое число п ≥ 0, позволять [Икс]_п обозначают (конечное) десятичное разложение наибольшего числа, не превышающего Икс это точно п цифры после десятичного знака. Позволять d_я обозначают последнюю цифру [Икс]_я. Несложно увидеть, что [Икс]_п можно получить, добавив d_п справа от [Икс]_п−1. Таким образом, есть

[Икс]_п = [Икс]₀.d₁d₂...d_п−1d_п,

и разница [Икс]_п−1 и [Икс]_п составляет

${\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}}$,

который либо равен 0, если d_п = 0, или становится сколь угодно малым при п стремится к бесконечности. Согласно определению предел, Икс это предел [Икс]_п когда п как правило бесконечность. Это записывается как${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$или же

Икс = [Икс]₀.d₁d₂...d_п...,

который называется бесконечное десятичное разложение из Икс.

И наоборот, для любого целого числа [Икс]₀ и любая последовательность цифр${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$ (бесконечное) выражение [Икс]₀.d₁d₂...d_п... является бесконечное десятичное разложение реального числа Икс. Это расширение уникально, если не все d_п равны 9 и всем d_п равны 0 для п достаточно большой (для всех п больше натурального числа N).

Я упал d_п за п > N равно 9 и [Икс]_п = [Икс]₀.d₁d₂...d_п, предел последовательности${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$ это десятичная дробь, полученная заменой последней цифры, отличной от 9, то есть: d_N, к d_N + 1и заменяя все последующие девятки на нули (см. 0.999... ).

Любая такая десятичная дробь, например: d_п = 0 за п > N, может быть преобразовано в эквивалентное ему бесконечное десятичное разложение путем замены d_N к d_N − 1 и заменяя все последующие 0 на 9 (см. 0.999... ).

Таким образом, каждое действительное число, не являющееся десятичной дробью, имеет уникальное бесконечное десятичное расширение. Каждая десятичная дробь имеет ровно два бесконечных десятичных разложения, одно из которых содержит только нули после некоторого места, что получается с помощью приведенного выше определения [Икс]_п, а другой, содержащий только 9s после некоторого места, который получается путем определения [Икс]_п как наибольшее число меньше чем Икс, имея ровно п цифры после десятичного знака.

Рациональное число

Основная статья: Повторяющаяся десятичная дробь

Длинное деление позволяет вычислить бесконечное десятичное разложение Рациональное число. Если рациональное число десятичная дробь, деление в конце концов прекращается, давая десятичное число, которое можно продолжить до бесконечности, добавив бесконечное количество нулей. Если рациональное число не является десятичной дробью, деление может продолжаться бесконечно. Однако, поскольку все последующие остатки меньше делителя, существует только конечное число возможных остатков, и после некоторого места одна и та же последовательность цифр должна бесконечно повторяться в частном. То есть есть повторяющаяся десятичная дробь. Например,

1/81 = 0. 012345679 012 ... (с неограниченно повторяющейся группой 012345679).

И наоборот, каждая в конечном итоге повторяющаяся последовательность цифр является бесконечным десятичным разложением рационального числа. Это следствие того факта, что повторяющаяся часть десятичного представления, по сути, является бесконечной геометрическая серия что в сумме будет рациональным числом. Например,

${\displaystyle 0.0123123123\ldots ={\frac {123}{10000}}\sum _{k=0}^{\infty }0.001^{k}={\frac {123}{10000}}\ {\frac {1}{1-0.001}}={\frac {123}{9990}}={\frac {41}{3330}}}$

Десятичное вычисление

Схема самой ранней таблицы умножения в мире (c. 305 г. до н. Э.) из периода Воюющих царств

Самый современный компьютер аппаратные и программные системы обычно используют двоичное представление внутренне (хотя многие ранние компьютеры, такие как ENIAC или IBM 650, внутренне используется десятичное представление).^[10]Для внешнего использования специалистами по компьютерам это двоичное представление иногда представляется в соответствующих восьмеричный или же шестнадцатеричный системы.

Однако для большинства целей двоичные значения преобразуются в эквивалентные десятичные значения или из них для представления или ввода от человека; компьютерные программы по умолчанию выражают литералы в десятичном виде. (123.1, например, записывается как таковая в компьютерной программе, хотя многие компьютерные языки не могут точно закодировать это число.)

И компьютерное оборудование, и программное обеспечение также используют внутренние представления, которые фактически являются десятичными для хранения десятичных значений и выполнения арифметических операций. Часто эта арифметика выполняется с данными, которые закодированы с использованием некоторого варианта двоично-десятичный,^[11][12] особенно в реализациях баз данных, но используются и другие десятичные представления (включая десятичная с плавающей запятой например, в новых версиях Стандарт IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой ).^[13]

Десятичная арифметика используется в компьютерах, поэтому десятичные дробные результаты сложения (или вычитания) значений с фиксированной длиной их дробной части всегда вычисляются с той же точностью. Это особенно важно для финансовых расчетов, например, когда для целей бухгалтерского учета требуются целые числа, кратные наименьшей денежной единице. Это невозможно в двоичной системе, потому что отрицательные степени ${\displaystyle 10}$ не имеют конечного двоичного дробного представления; и вообще невозможно для умножения (или деления).^[14][15] Видеть Арифметика произвольной точности для точных расчетов.

История

Самая ранняя десятичная таблица умножения в мире была сделана из бамбуковых прутьев и датируется 305 г. до н.э. Воюющие государства период в Китае.

Многие древние культуры рассчитывали числами, основанными на десяти, что иногда приводило к спорам из-за того, что человеческие руки обычно имели десять пальцев / цифр.^[16] Стандартные веса, используемые в Цивилизация долины Инда (c. 3300–1300 гг. До н. Э.) были основаны на соотношениях: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500, а их стандартизированная линейка - Правитель Мохенджо-Даро - был разделен на десять равных частей.^[17][18][19] Египетские иероглифы, начиная примерно с 3000 г. до н. э., использовалась чисто десятичная система счисления,^[20] как и Критские иероглифы (c. 1625−1500 гг. До н. Э.) из Минойцы чьи цифры близки к египетской модели.^[21][22] Десятичная система была передана последовательным Культуры бронзового века Греции, включая Линейное письмо А (ок. 18 век до н. э. - 1450 г. до н. э.) и Линейное письмо B (ок. 1375-1200 до н.э.) - система счисления классическая греция также использовали степени десяти, в том числе, римские цифры, промежуточная база 5.^[23] Примечательно, что эрудит Архимед (ок. 287–212 г. до н. э.) изобрел десятичную позиционную систему в своем Счетчик песка который был основан на 10^8[23] а позже возглавил немецкого математика Карл Фридрих Гаусс сетовать на то, каких высот наука достигла бы уже в его дни, если бы Архимед полностью осознал потенциал своего гениального открытия.^[24] Хеттов иероглифы (с 15 в. до н.э.) также были строго десятичными.^[25]

Некоторые нематематические древние тексты, такие как Веды, датируемые 1900–1700 гг. до н.э., используют десятичные дроби и математические десятичные дроби.^[26]

Египетские иератические цифры, цифры греческого алфавита, цифры еврейского алфавита, римские цифры, китайские цифры и ранние индийские цифры брахми - все это непозиционные десятичные системы и требовали большого количества символов. Например, египетские цифры использовали разные символы от 10, 20 до 90, 100, от 200 до 900, 1000, 2000, 3000, 4000, до 10 000.^[27]Самой ранней позиционной десятичной системой в мире была китайская стержневой камень.^[28]

Самая ранняя позиционная десятичная система в мире
Вертикальная форма верхнего ряда
Горизонтальная форма нижнего ряда

История десятичных дробей

счетный стержень десятичная дробь 1/7

Десятичные дроби были впервые разработаны и использовались китайцами в конце 4 века до нашей эры,^[29] а затем распространилась на Ближний Восток, а оттуда в Европу.^[28][30] Письменные китайские десятичные дроби были непозиционными.^[30] Тем не мение, счетчик фракций были позиционными.^[28]

Цинь Цзюшао в его книге Математический трактат в девяти разделах (1247^[31]), обозначенную 0.96644 как

寸

, смысл

寸

096644

Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что позиционные десятичные дроби впервые появляются в книге арабского математика. Абу'л-Хасан аль-Уклидиси написано в 10 веке.^[32] Еврейский математик Иммануэль Бонфилс использовали десятичные дроби около 1350, ожидая Саймон Стевин, но не разработали никаких обозначений для их представления.^[33] Персидский математик Джамшид аль-Каши утверждал, что сам открыл десятичные дроби в 15 веке.^[32] Аль-Хорезми ввел дробь в исламские страны в начале 9 века; китайский автор утверждал, что его представление дробей было точной копией традиционной китайской математической дроби из Сунзи Суаньцзин.^[28] Эта форма дроби с числителем вверху и знаменателем внизу без горизонтальной черты также использовалась аль-Уклидиси и аль-Каши в его работе «Арифметический ключ».^[28][34]

Предшественник современной европейской десятичной системы счисления был введен Симоном Стевином в 16 веке.^[35]

Естественные языки

Метод выражения всех возможных натуральное число с использованием набора из десяти символов появился в Индии. В нескольких индийских языках используется простая десятичная система. Много Индоарийский и Дравидийские языки иметь числа от 10 до 20, выраженные в обычном порядке прибавления к 10.^[36]

В Венгерский язык также использует простую десятичную систему. Все числа от 10 до 20 образуются регулярно (например, 11 выражается как «tizenegy» буквально «один на десять»), как и числа между 20 и 100 (23 как «huszonhárom» = «три на двадцать»).

Простая десятичная система ранжирования со словом для каждого порядка (10 十, 100 百, 1000 千, 10,000 万), в котором 11 выражается как десять-один и 23 как два-десять-три, а 89 345 выражается как 8 (десять тысяч) 万 9 (тыс.) 千 3 (сто) 百 4 (десятки) 十 5 находится в Китайский, И в вьетнамский с небольшими неровностями. Японский, Корейский, и Тайский импортировали китайскую десятичную систему. Во многих других языках с десятичной системой чисел есть специальные слова для чисел от 10 до 20 и декад. Например, в английском языке 11 - это «одиннадцать», а не «десять-один» или «один-подросток».

Языки инков, такие как кечуа и аймара имеют почти прямую десятичную систему, в которой 11 выражается как десять с одним и 23 как два-десять с тремя.

Некоторые психологи предполагают, что неправильные английские названия цифр могут затруднять счет детей.^[37]

Другие базы

Основная статья: позиционная запись

Некоторые культуры используют или использовали другие системы исчисления.

• Доколумбовой Мезоамериканец культуры, такие как майя использовал база-20 система (возможно, основанная на использовании всех двадцати пальцев и пальцы ног ).
• В Юки язык в Калифорния и памейские языки^[38] в Мексика имеют восьмеричный (основание-8) системы, потому что говорящие считают, используя промежутки между пальцами, а не сами пальцы.^[39]
• Существование недесятичной основы в самых ранних следах германских языков подтверждается наличием слов и глосс, означающих, что счет ведется в десятичной системе счисления (родственные «десятичному счету» или «двадцатому разряду»); этого можно было бы ожидать, если бы нормальный счет не был десятичным, и необычным, если бы он был.^[40][41] Там, где эта система подсчета известна, она основана на «длинной сотне» = 120 и «длинной тысяче», равной 1200. Такие описания, как «долгая», появляются только после того, как «маленькая сотня» из 100 появилась у христиан. Гордона Введение в древнескандинавский язык п. 293, дает числовые имена, принадлежащие этой системе. Выражение, родственное слову «сто восемьдесят», переводится как 200, а родственное слово «двести» - как 240. Goodare подробно описывает использование длинной сотни в Шотландии в средние века, приводя такие примеры, как вычисления, где перенос подразумевает, что i C (то есть сто) равняется 120 и т. д. То, что население в целом не испугалось, встретив такие числа, предполагает достаточно распространенное использование . Также можно избежать сотен подобных чисел, используя промежуточные единицы, такие как камни и фунты, а не длинный счет фунтов. Гудэр приводит примеры чисел, таких как оценка vii, где можно избежать сотни, используя расширенные оценки. Есть также статья W.H. Стивенсон на тему «Длинная сотня и ее использование в Англии».^[42][43]
• Многие или все Чумашанские языки первоначально использовал база-4 система счета, в которой названия чисел были структурированы в соответствии с числами, кратными 4 и 16.^[44]
• Много языков^[45] использовать пятый (основание-5) системы счисления, включая Гумать, Нунггубую,^[46] Куурн Копан Нут^[47] и Саравека. Из них Gumatj - единственный истинный известный язык 5–25, в котором 25 - высшая группа из 5.
• Немного Нигерийцы использовать двенадцатеричный системы.^[48] То же самое и с некоторыми небольшими общинами в Индии и Непале, о чем свидетельствуют их языки.^[49]
• В Язык хули из Папуа - Новая Гвинея сообщается, что база-15 числа.^[50] Нгуи означает 15, нгуи ки означает 15 × 2 = 30, а нгуи нгуи означает 15 × 15 = 225.
• Умбу-Унгу, также известный как Каколи, как сообщается, имеет база-24 числа.^[51] Токапу означает 24, Токапу Талу означает 24 × 2 = 48, а токапу токапу означает 24 × 24 = 576.
• Нгити сообщается, что база-32 система счисления с основанием 4 цикла.^[45]
• В Язык ндома из Папуа - Новая Гвинея сообщается, что база-6 цифры.^[52] Мер означает 6, mer an thef означает 6 × 2 = 12, ниф означает 36, а нет означает 36 × 2 = 72.

Смотрите также

• Алгоризм
• Десятичное число с двоичным кодом (BCD)
• Десятичный компьютер
• Десятичное время
• Десятичное представление
• Десятичный разделитель
• Плотно упакованная десятичная дробь (DPD)
• Десятичная классификация Дьюи (DDC)
• Двенадцатеричный
• Восьмеричный
• Научная нотация
• Последовательный десятичный
• Префикс SI

Примечания

1. Но в некоторых случаях может быть полезно иметь один или несколько нулей слева.
2. Иногда дополнительные нули используются для обозначения точность измерения. Например, «15,00 м» может означать, что ошибка измерения составляет менее одного сантиметра (0,01 м), а «15 м» может означать, что длина составляет примерно пятнадцать метров, а ошибка может превышать 10 сантиметров.

Рекомендации

1. "динарий". Оксфордский словарь английского языка (Интернет-изд.). Издательство Оксфордского университета. (Подписка или членство участвующего учреждения требуется.)
2. История арифметики, Луи Чарльз Карпински, 200 стр., Rand McNally & Company, 1925.
3. Лам Лэй Ён и Анг Тиан Се (2004) Мимолетные шаги. Прослеживание концепции арифметики и алгебры в Древнем Китае, Пересмотренное издание, World Scientific, Сингапур.
4. «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-22.
5. Вайсштейн, Эрик В. "Десятичная точка". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-22.
6. В vinculum (над чертой) в 5.123144 указывает, что последовательность '144' повторяется бесконечно, т. е. 5.123144144144144....
7. В некоторых странах, например Говорящий по-арабски те, другие глифы используются для цифр
8. Вайсштейн, Эрик В. "Десятичный". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-22.
9. "Десятичная дробь". Энциклопедия математики. Получено 2013-06-18.
10. «Пальцы или кулаки? (Выбор десятичного или двоичного представления)», Вернер Бухгольц, Коммуникации ACM, Vol. 2 # 12, стр. 3–11, ACM Press, декабрь 1959 г.
11. Шмид, Герман (1983) [1974]. Десятичное вычисление (1 (переиздание) изд.). Малабар, Флорида: Издательство Роберта Э. Кригера. ISBN  0-89874-318-4.
12. Шмид, Германн (1974). Десятичное вычисление (1-е изд.). Бингемтон, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-76180-X.
13. Десятичные числа с плавающей запятой: алгоритм для компьютеров, Cowlishaw, Майк Ф., Труды 16-й симпозиум IEEE по компьютерной арифметике, ISBN  0-7695-1894-X, стр. 104–11, IEEE Comp. Soc., 2003 г.
14. Десятичная арифметика - FAQ
15. Десятичные числа с плавающей точкой: алгоритм для компьютеров, Cowlishaw, М. Ф., Труды 16-й симпозиум IEEE по компьютерной арифметике (АРИТА 16 ), ISBN  0-7695-1894-X, стр. 104–11, IEEE Comp. Soc., Июнь 2003 г.
16. Данциг, Тобиас (1954), Число / Язык науки (4-е изд.), The Free Press (Macmillan Publishing Co.), стр. 12, ISBN  0-02-906990-4
17. Сержент, Бернар (1997), Genèse de l'Inde (на французском языке), Париж: Payot, p. 113, ISBN  2-228-89116-9
18. Coppa, A .; и другие. (2006). «Ранняя неолитическая традиция стоматологии: кремневые наконечники были удивительно эффективны для сверления зубной эмали у доисторических людей». Природа. 440 (7085): 755–56. Bibcode:2006 Натур.440..755C. Дои:10.1038 / 440755a. PMID  16598247.
19. Бишт, Р. С. (1982), «Раскопки в Банавали: 1974–77», в Поссел, Грегори Л. (ред.), Хараппан. Цивилизация: современная перспектива, Нью-Дели: Oxford and IBH Publishing Co., стр. 113–24.
20. Жорж Ифра: От единицы до нуля. Всеобщая история чисел, Penguin Books, 1988, ISBN  0-14-009919-0, стр. 200–13 (египетские цифры)
21. Грэм Флегг: Числа: их история и значение, Courier Dover Publications, 2002, ISBN  978-0-486-42165-0, п. 50
22. Жорж Ифра: От единицы до нуля. Всеобщая история чисел, Penguin Books, 1988, ISBN  0-14-009919-0, стр. 213–18 (критские цифры)
23. «Греческие числа». Получено 2019-07-21.
24. Меннингер, Карл: Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl, Vandenhoeck und Ruprecht, 3rd. изд., 1979, ISBN  3-525-40725-4, стр. 150–53
25. Жорж Ифра: От единицы до нуля. Всеобщая история чисел, Penguin Books, 1988, ISBN  0-14-009919-0, стр. 218f. (Хеттская иероглифическая система)
26. (Атхарва Веда 5.15, 1–11)
27. Лам Лэй Йонг и другие. Мимолетные шаги с. 137–39.
28. Лам Лэй Йонг, "Развитие индуистско-арабской и традиционной китайской арифметики", Китайская наука, 1996 с. 38, обозначения Курта Фогеля
29. «Древние бамбуковые планки для расчета занесены в книгу мировых рекордов». Институт археологии Китайской академии социальных наук. Получено 10 мая 2017.
30. Джозеф Нидхэм (1959). «Десятичная система». Наука и цивилизация в Китае, Том III, Математика и науки о небесах и Земле. Издательство Кембриджского университета.
31. Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, Springer, 1997 г. ISBN  3-540-33782-2
32. Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». В Каце, Виктор Дж. (Ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник. Издательство Принстонского университета. п. 530. ISBN  978-0-691-11485-9.
33. Гандз, С.: Изобретение десятичных дробей и применение экспоненциального исчисления Иммануилом Бонфилсом из Тараскона (ок. 1350 г.), Исида 25 (1936), 16–45.
34. Lay Yong, Lam. «Китайский генезис, переписывающий историю нашей системы счисления». Архив истории точных наук. 38: 101–08.
35. Б. Л. ван дер Варден (1985). История алгебры. От Хорезми до Эмми Нётер. Берлин: Springer-Verlag.
36. «Индийские цифры». Древняя индийская математика. Получено 2015-05-22.
37. Азар, Бет (1999). «Английские слова могут помешать развитию математических навыков». Монитор Американской психологической ассоциации. 30 (4). Архивировано из оригинал на 2007-10-21.
38. Авелино, Эриберто (2006). «Типология систем счисления Пейма и пределы Мезоамерики как лингвистической области» (PDF). Лингвистическая типология. 10 (1): 41–60. Дои:10.1515 / LINGTY.2006.002.
39. Марсия Ашер. «Этноматематика: мультикультурный взгляд на математические идеи». Журнал математики колледжа. JSTOR  2686959.
40. МакКлин, Р. Дж. (Июль 1958 г.), "Наблюдения за германскими числительными", Немецкая жизнь и письма, 11 (4): 293–99, Дои:10.1111 / j.1468-0483.1958.tb00018.x, В некоторых германских языках видны следы древнего смешения десятичной дроби с десятичной системой..
41. Войлс, Джозеф (октябрь 1987 г.), «Кардинальные числа в до- и протогерманском», Журнал английской и германской филологии, 86 (4): 487–95, JSTOR  27709904.
42. Стивенсон, W.H. (1890). «Длинная сотня и ее использование в Англии». Археологический обзор. Декабрь 1889: 313–22.
43. Пул, Реджинальд Лейн (2006). Казначейство в двенадцатом веке: лекции Форда, прочитанные в Оксфордском университете в семестр Майкла, 1911 г.. Кларк, Нью-Джерси: Обмен юридической книги. ISBN  1-58477-658-7. OCLC  76960942.
44. Есть сохранившийся список Венчурный язык число слов до 32, записанное испанским священником ок. 1819. «Чумашанские цифры» Мэдисон С. Билер, в Математика коренных американцевпод редакцией Майкла П. Клосса (1986), ISBN  0-292-75531-7.
45. Хаммарстрём, Харальд (17 мая 2007 г.). «Редкости в системах счисления». Вольгемут, Ян; Cysouw, Майкл (ред.). Переосмысление универсалий: как раритеты влияют на лингвистическую теорию (PDF). Эмпирические подходы к языковой типологии. 45. Берлин: Mouton de Gruyter (опубликовано в 2010 г.). Архивировано из оригинал (PDF) 19 августа 2007 г.
46. Харрис, Джон (1982). Харгрейв, Сюзанна (ред.). «Факты и заблуждения о системах счисления аборигенов» (PDF). Рабочие бумаги SIL-AAB серии B. 8: 153–81. Архивировано из оригинал (PDF) 31 августа 2007 г.
47. Доусон, Дж. "Австралийские аборигены: языки и обычаи некоторых племен аборигенов Западного округа Виктории (1881), стр. xcviii.
48. Мацусита, Сюдзи (1998). Десятичное и двенадцатеричное числа: взаимодействие двух систем счисления. 2-е заседание AFLANG, октябрь 1998 г., Токио. Архивировано из оригинал на 2008-10-05. Получено 2011-05-29.
49. Мазодон, Мартин (2002). "Принципы строительства на языке тибето-бирманских языков". Во Франсуа, Жак (ред.). La Pluralité (PDF). Лёвен: Петерс. С. 91–119. ISBN  90-429-1295-2.
50. Читам, Брайан (1978). «Счет и число в хули». Журнал образования Папуа-Новой Гвинеи. 14: 16–35. Архивировано из оригинал на 2007-09-28.
51. Бауэрс, Нэнси; Лепи, Пундиа (1975). «Системы исчисления долины Каугель» (PDF). Журнал полинезийского общества. 84 (3): 309–24. Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-06-04.
52. Оуэнс, Кей (2001), «Работа Glendon Lean по системам подсчета в Папуа-Новой Гвинее и Океании», Журнал исследований математического образования, 13 (1): 47–71, Bibcode:2001MEdRJ..13 ... 47O, Дои:10.1007 / BF03217098, заархивировано из оригинал на 2015-09-26