Значимые фигуры - Significant figures

В значимые фигуры (также известный как значащие цифры или же точность) числа, записанного в позиционная запись находятся цифры которые вносят значительный вклад в ее разрешение измерения. Сюда входят все цифры Кроме:^[1]

Все ведущие нули. Например, «013» состоит из двух значащих цифр: 1 и 3.
Завершающие нули когда они просто заполнители, чтобы указать масштаб числа (точные правила объясняются в идентификация значимых фигур )
Ложный цифры, введенные, например, в результате вычислений, выполняемых с большей точностью, чем точность исходных данных, или измерений, сообщаемых с большей точностью, чем поддерживает оборудование.

Из значащих цифр в числе наиболее значимый - позиция с наивысшим значением показателя степени (крайнее левое положение в обычном десятичном представлении), а наименее значимый - это позиция с наименьшим значением показателя степени (крайняя правая в обычном десятичном представлении). Например, в числе «123» цифра «1» является наиболее значимой, поскольку она насчитывает сотни (10²), а «3» - наименее значимая цифра при подсчете единиц (10⁰).

Значимость арифметики представляет собой набор приблизительных правил для приблизительного поддержания значимости во время вычислений. Более сложные научные правила известны как распространение неопределенности.

Числа часто округлый чтобы не сообщать незначительные цифры. Например, это создаст ложная точность чтобы выразить измерение как 12,34525 кг (с семью значащими цифрами), если весы измерены только с точностью до грамма и дали значение 12,345 кг (с пятью значащими цифрами). Числа также могут быть округлены просто для простоты, а не для обозначения заданной точности измерения, например, чтобы они быстрее произносились в выпусках новостей.

Radix 10 предполагается ниже.

Определение значащих цифр

Объяснение правил значащих цифр

Цифры красного цвета - значащие цифры; те в черном не

Правила определения значащих цифр при написании или интерпретации чисел следующие:^[2]

Все ненулевые цифры считаются значимыми. Например, у 91 две значащие цифры (9 и 1), а у 123,45 пять значащих цифр (1, 2, 3, 4 и 5).
Нули, встречающиеся где-нибудь между двумя значащими цифрами, имеют значение: 101.1203 имеет семь значащих цифр: 1, 0, 1, 1, 2, 0 и 3.
Нули слева от значащих цифр (ведущие нули ) не имеют значения. Например, 0,00052 состоит из двух значащих цифр: 5 и 2.
Нули справа от ненулевых цифр (конечные нули ) имеют значение, если они находятся справа от десятичной точки, поскольку они необходимы только для указания точности. Однако конечные нули в разряде единиц или выше могут иметь значение, а могут и не иметь значения, в зависимости от точности измерения. Таким образом, 1,20 и 0,0980 имеют три значащих цифры, тогда как 45 600 могут иметь 3, 4 или 5 значащих цифр. Обратите внимание, что 120,00 будет иметь пять значащих цифр - ноль слева от десятичной дроби имеет значение, потому что он находится между двумя значащими цифрами (2 и нули справа от десятичной точки).

Значение конечных нулей в числе, не содержащем десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, не всегда может быть ясно, является ли число 1300 точным с точностью до ближайшей единицы (и просто случайно оказывается точным кратным сотне) или если оно отображается только с точностью до ближайших сотен из-за округления или неточности. Для решения этой проблемы существует множество соглашений. Однако они не используются повсеместно и будут эффективны только в том случае, если читатель знаком с соглашением:

An над чертой, иногда также называемый лишней чертой или, что менее точно, винкулум, можно ставить над последней значащей цифрой; любые завершающие нули, следующие за ним, не имеют значения. Например, 1300 состоит из трех значащих цифр (и, следовательно, указывает, что число является точным с точностью до десяти).

Реже, используя близкое соглашение, последняя значащая цифра числа может быть подчеркнутый; например, «1300 »имеет две значащие цифры.

После числа можно поставить десятичную точку; например «1300». указывает, в частности, что конечные нули должны иметь значение.^[3]

Поскольку приведенные выше условные обозначения не используются повсеместно, для обозначения значимости числа с конечными нулями доступны следующие более широко признанные варианты:

Устраните неоднозначные или незначительные нули, изменив префикс единицы измерения в номере с единица измерения. Например, точность измерения, указанная как 1300 г, является неоднозначной, а если указано как 1,30 кг, это не так. Аналогично 0,0123 л можно переписать как 12,3 мл.

Устранение неоднозначных или несущественных нулей с помощью научной записи: например, 1300 с тремя значащими цифрами становится 1.30×10³. Аналогично 0,0123 можно переписать как 1.23×10⁻². Часть изображения, содержащая значащие цифры (1,30 или 1,23), известна как значимое или мантисса. Цифры в основании и экспоненте (10³ или же 10⁻²) считаются точными числами, поэтому для этих цифр значащие цифры не имеют значения.

Четко укажите количество значащих цифр (иногда используется сокращение s.f.): например, «от 20 000 до 2 s.f.» или «20 000 (2 SF)».

Укажите ожидаемую изменчивость (точность) явно с помощью знак плюс-минус, как в 20 000 ± 1%. Это также позволяет указать диапазон точности между степенями десяти.

Округление и десятичные знаки

Основное понятие значащих цифр часто используется в связи с округление. Округление до значащих цифр - это более универсальный метод, чем округление до значащих цифр. п десятичные разряды, так как он обрабатывает числа разных масштабов одинаковым образом. Например, население города может быть известно только с точностью до ближайшей тысячи и может быть указано как 52 000, в то время как население страны может быть известно только с точностью до миллиона и может быть указано как 52 000 000. Первые могут ошибаться на сотни, а вторые - на сотни тысяч, но оба имеют две значащие цифры (5 и 2). Это отражает тот факт, что значимость ошибки одинакова в обоих случаях относительно размера измеряемой величины.

Округлить до п значимые фигуры:^[4]^[5]

Перед округлением определите значащие числа. Эти п последовательные цифры, начинающиеся с первой ненулевой цифры.
Если цифра справа от последней значащей цифры больше 5 или представляет собой 5, за которой следуют другие ненулевые цифры, добавьте 1 к последней значащей цифре. Например, 1,2459 в результате вычисления или измерения, которое допускает только 3 значащие цифры, следует записать как 1,25.
Если цифра справа от последней значащей цифры - это 5 без каких-либо других цифр или только с нулями, для округления требуется решающий вопрос правило. Например, чтобы округлить 1,25 до 2 значащих цифр:
- Округлить половину от нуля (также известный как "5/4")^{[нужна цитата ]} округляет до 1,3. Это метод округления по умолчанию, применяемый во многих дисциплинах.^{[нужна цитата ]} если не указано.
- Округлить половину до четного, который округляется до ближайшего четного числа, в этом случае округляется до 1,2. Та же стратегия, примененная к 1,35, вместо этого округляет до 1,4. Этот метод предпочитают многие научные дисциплины, потому что, например, он позволяет избежать искажения среднего значения длинного списка значений вверх.
Замените незначащие цифры перед десятичной запятой нулями.
Отбросьте все цифры после десятичной запятой справа от значащих цифр (не заменяйте их нулями).

В финансовых расчетах число часто округляется до заданного количества знаков (например, до двух знаков после десятичный разделитель для многих мировых валют). Это делается потому, что большая точность несущественна, и обычно невозможно погасить задолженность меньше наименьшей денежной единицы.

В британской налоговой декларации доход округляется до ближайшего фунта, а уплаченный налог рассчитывается до ближайшего пенни.

В качестве иллюстрации десятичный количество 12.345 может быть выражено различным количеством значащих цифр или десятичных знаков. Если доступна недостаточная точность, то число округлый каким-то образом, чтобы соответствовать имеющейся точности. В следующей таблице показаны результаты для различной общей точности и десятичных разрядов.

Точность	Округлено до значимые фигуры	Округлено до десятичные знаки
6	12.3450	12.345000
5	12.345	12.34500
4	12,34 или 12,35	12.3450
3	12.3	12.345
2	12	12,34 или 12,35
1	10	12.3
0	Нет данных	12

Другой пример для 0.012345:

Точность	Округлено до значимые фигуры	Округлено до десятичные знаки
7	0.01234500	0.0123450
6	0.0123450	0.012345
5	0.012345	0,01234 или 0,01235
4	0,01234 или 0,01235	0.0123
3	0.0123	0.012
2	0.012	0.01
1	0.01	0.0
0	Нет данных	0

Представление ненулевого числа Икс с точностью до п значащие цифры имеют числовое значение, которое задается формулой:^{[нужна цитата ]}

{ displaystyle 10 ^ {n} cdot operatorname {round} left ({ frac {x} {10 ^ {n}}} right)}

куда

{ Displaystyle п = lfloor log _ {10} (| x |) rfloor + 1-p}

который может потребоваться написать с особой маркировкой, как подробно над для указания количества значащих нулей в конце.

Арифметика

Поскольку существуют правила определения количества значащих цифр непосредственно в измеренный количества, существуют правила определения количества значащих цифр в количествах рассчитанный от них измеренный количества.

Только измеренный фигура в определении количества значащих цифр в расчетные количества. Точные математические величины, такие как $π$ в формуле для площадь круга с радиусом $р$ , $π р 2$ не влияет на количество значащих цифр в окончательной расчетной области. Аналогичным образом $½$ в формуле для кинетическая энергия массы $м$ со скоростью $v$ , $½ мв 2$ , не влияет на количество значащих цифр в окончательной расчетной кинетической энергии. Константы $π$ и $½$ считаются для этой цели имеющими бесконечный количество значащих цифр.

Для величин, созданных из измеренных величин умножение и разделение, в вычисленном результате должно быть столько значащих цифр, сколько в измеренный номер с наименее количество значащих цифр.^[6] Например,

1.234 × 2.0 = 2.468... ≈ 2.5,

только с два значимые фигуры. Первый фактор состоит из четырех значащих цифр, а второй - двух значащих цифр. Фактор с наименьшим количеством значащих цифр - это второй фактор с двумя значащими цифрами, поэтому окончательный расчетный результат также должен иметь всего две значащие цифры. Однако о промежуточных результатах см. Ниже.

Для величин, созданных из измеренных величин добавление и вычитание, последний значительный десятичный разряд (сотни, десятки, единицы, десятые и т. д.) в вычисленном результате должны быть такими же, как крайний левый или самый большой десятичный разряд последней значимой фигуры из всех измеренный количества в пересчете на сумму. Например,

100.0 + 1.234 = 101.234... ≈ 101.2

с последней значащей цифрой в десятые место. У первого члена последняя значащая цифра находится на десятом месте, а у второго члена - последняя значащая цифра на тысячном месте. Крайний левый из десятичных знаков последней значащей цифры из всех членов суммы - это десятая позиция от первого члена, поэтому вычисленный результат также должен иметь свою последнюю значащую цифру на десятом месте.

Правила вычисления значащих цифр для умножения и деления противоположны правилам сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее количество значащих цифр в каждом из факторов; десятичный разряд последней значащей цифры в каждом множителе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только десятичный разряд последней значащей цифры в каждом из терминов; общее количество значащих цифр в каждом термине не имеет значения.^{[нужна цитата ]} Однако часто достигается большая точность, если в промежуточных результатах, которые используются в последующих вычислениях, сохраняются некоторые незначительные цифры.^{[нужна цитата ]}

В основание 10 логарифм из нормализованное число, результат следует округлить до количества значащих цифр в нормализованном числе. Например, журнал₁₀(3.000×10⁴) = журнал₁₀(10⁴) + журнал₁₀(3.000) ≈ 4 + 0,47712125472, следует округлить до 4,4771.

При взятии антилогарифмов полученное число должно иметь столько значащих цифр, сколько мантисса в логарифме.

Выполняя расчет, не следуйте этим рекомендациям для получения промежуточных результатов; сохраняйте столько цифр, сколько возможно (по крайней мере, на 1 больше, чем предполагает точность окончательного результата) до конца расчета, чтобы избежать кумулятивных ошибок округления.^[7]

Оценка десятых

При использовании линейки сначала используйте самую маленькую отметку в качестве первой оценочной цифры. Например, если наименьшая отметка линейки составляет 0,1 см, а считывается 4,5 см, это 4,5 (± 0,1 см) или 4,4–4,6 см. Однако на практике размер обычно можно оценить на глаз, ближе чем интервал между наименьшими отметками линейки, например в приведенном выше случае его можно оценить от 4,51 см до 4,53 см (см. ниже).

Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной до степени наименьшей отметки, и отметки могут быть несовершенно разнесены в пределах каждой единицы. Однако, если предположить, что линейка нормального хорошего качества, должна быть возможность оценить десятые доли между ближайшими двумя отметками, чтобы получить дополнительный десятичный разряд точности.^[8] В противном случае ошибка чтения линейки добавляется к любой ошибке калибровки линейки.^[9]

Оценка

При оценке доли лиц, несущих определенную характеристику в популяции, из случайной выборки этой совокупности, количество значащих цифр не должно превышать максимальную точность, допускаемую этим размером выборки.

Отношение к точности и точности измерения

Традиционно в различных областях техники «точность» означает близость данного измерения к его истинному значению; «точность» относится к стабильности этого измерения при многократном повторении. В надежде отразить то, как термин «точность» на самом деле используется в научном сообществе, существует более свежий стандарт ISO 5725, который сохраняет то же определение точности, но определяет термин «правильность» как близость данного измерения к его истинное значение и использует термин «точность» как сочетание истинности и точности. (См. Тщательность и точность статью для более полного обсуждения.) В любом случае количество значащих цифр примерно соответствует точность, а не к использованию слова «точность» или к более новой концепции истинности.

В вычислениях

Компьютерные представления чисел с плавающей запятой используют форму округления до значащих цифр, как правило, с двоичные числа. Количество правильных значащих цифр тесно связано с понятием относительная ошибка (который имеет то преимущество, что является более точным показателем точности и не зависит от основание, также известная как основание используемой системы счисления).

Смотрите также

Тщательность и точность
Закон Бенфорда (Закон о первых цифрах)
Инженерная нотация
Панель ошибок
Ложная точность
IEEE754 (Стандарт IEEE с плавающей запятой)
Интервальная арифметика
Алгоритм суммирования Кахана
Точность (информатика)
Ошибка округления

внешняя ссылка

[1] Химия в сообществе; Кендалл-Хант: Дубьюк, ИА 1988

[2] Дать точное определение количества правильных значащих цифр на удивление сложно, см. Хайэм, Николас (2002). Точность и стабильность численных алгоритмов. (PDF) (2-е изд.). СИАМ. С. 3–5.

[Chemistry_Significant_Figures-3] Майерс, Р. Томас; Олдхэм, Кейт Б.; Токчи, Сальваторе (2000). Химия. Остин, Техас: Холт Райнхарт Уинстон. п.59. ISBN 0-03-052002-9.

[4] Энгельбрехт, Нэнси; и другие. (1990). «Округление десятичных чисел до заданной точности» (PDF). Вашингтон, округ Колумбия: Министерство образования США.

[Numerical_Mathematics_and_Computing,_by_Cheney_and_Kincaid-5] Численная математика и вычисления, Чейни и Кинкейд.

[6] «Правила значимых фигур». Государственный университет Пенсильвании.

[7] де Оливейра Саннибале, Вирджиниу (2001). «Измерения и значащие цифры (черновик)» (PDF). Физическая лаборатория первокурсников. Калифорнийский технологический институт, отделение физики, математики и астрономии. Архивировано из оригинал (PDF) на 18.06.2013.

[Weston-8] Экспериментальные электрические испытания. Ньюарк, Нью-Джерси: Weston Electrical Instruments Co., 1914. стр.9. Получено 2019-01-14. Экспериментальные электрические испытания.

[UMmeasurements-9] «Измерения». slc.umd.umich.edu. университет Мичигана. Получено 2017-07-03.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]