Повторяющаяся десятичная дробь - Repeating decimal

«Повторяющаяся дробь» перенаправляется сюда. Не следует путать с непрерывная дробь.

А повторяющаяся десятичная дробь или же повторяющаяся десятичная дробь является десятичное представление ряда, чьи цифры находятся периодический (повторяя свои значения через равные промежутки времени) и бесконечно повторная порция не нуль. Можно показать, что число рациональный тогда и только тогда, когда его десятичное представление повторяется или завершается (т.е. все, кроме конечного числа цифр, равны нулю). Например, десятичное представление 1/3 становится периодическим сразу после десятичная точка, повторяя одну цифру "3" бесконечно, т.е. 0,333 .... Более сложный пример: 3227/555, десятичная дробь которой становится периодической на второй цифра после десятичной точки, а затем повторяет последовательность "144" навсегда, т.е. 5,8144144144 .... В настоящее время не существует единого общепринятого обозначения или фразы для повторения десятичных знаков.

Бесконечно повторяющаяся последовательность цифр называется повторять или же повторять. Если повторение равно нулю, это десятичное представление называется завершающая десятичная дробь вместо повторяющейся десятичной дроби, так как нули можно опустить, а десятичная дробь оканчивается перед этими нулями.^[1] Каждое завершающее десятичное представление может быть записано как десятичная дробь, дробь, знаменатель которой мощность из 10 (например, 1.585 = 1585/1000); это также может быть записано как соотношение формы k/2^п5^м (например. 1.585 = 317/2³5²). Тем не мение, каждый число с завершающим десятичным представлением также тривиально имеет второе, альтернативное представление как повторяющееся десятичное число, повторяющееся число которого является цифрой 9. Это достигается уменьшением последней (самой правой) ненулевой цифры на единицу и добавлением повторяющейся цифры 9. 1.000... = 0.999... и 1.585000... = 1.584999... два примера этого. (Этот тип повторяющейся десятичной дроби может быть получен путем длинного деления, если используется модифицированная форма обычного алгоритм деления.^[2])

Любое число, которое не может быть выражено как соотношение из двух целые числа как говорят иррациональный. Их десятичное представление не заканчивается и не повторяется бесконечно, но продолжается бесконечно без регулярного повторения. Примеры таких иррациональных чисел: квадратный корень из 2 и π.

Фон

Обозначение

Существует несколько условных обозначений для представления повторяющихся десятичных знаков. Ни один из них не принят повсеместно.

• в Соединенные Штаты, Канада, Индия, Франция, Германия, Швейцария, Чехия, и Словакия принято рисовать горизонтальную линию ( винкулум ) над Repetend. (См. Примеры в таблице ниже, столбец Vinculum.)
• в объединенное Королевство, Новая Зеландия, Австралия, Южная Корея, и материковый Китай, соглашение заключается в размещении точек над крайними цифрами повтора. (См. Примеры в таблице ниже, столбец Точки.)
• В части Европа и Вьетнам, по соглашению повторение должно быть заключено в скобки. (См. Примеры в таблице ниже, в круглых скобках столбца.) Это может вызвать путаницу с обозначениями для стандартная неопределенность.
• В Испания и немного Латиноамериканская стран, обозначение дуги над повторяющимся узлом также используется как альтернатива обозначению винкулума и точек. (См. Примеры в таблице ниже, столбец Arc.)
• Неформально повторяющиеся десятичные дроби часто представлены многоточие (три периода, 0,333 ...), особенно когда предыдущие условные обозначения впервые преподаются в школе. Это обозначение вводит неопределенность относительно того, какие цифры следует повторять и даже есть ли повторение вообще, поскольку такие эллипсы также используются для иррациональные числа Такие как 3.14159.... (См. Примеры в таблице ниже, столбец Многоточие.)

Примеры

Дробная часть	Винкулум	Точки	Скобки	Дуга	Многоточие
1/9	0.1	${displaystyle 0.{dot {1}}}$	0.(1)	${displaystyle 0.{overset {frown }{1}}}$	0.111...
1/3 = 3/9	0.3	${displaystyle 0.{dot {3}}}$	0.(3)	${displaystyle 0.{overset {frown }{3}}}$	0.333...
2/3 = 6/9	0.6	${displaystyle 0.{dot {6}}}$	0.(6)	${displaystyle 0.{overset {frown }{6}}}$	0.666...
9/11 = 81/99	0.81	${displaystyle 0.{dot {8}}{dot {1}}}$	0.(81)	${displaystyle 0.{overset {frown }{81}}}$	0.8181...
7/12 = 525/900	0.583	${displaystyle 0.58{dot {3}}}$	0.58(3)	${displaystyle 0.58{overset {frown }{3}}}$	0.58333...
1/7 = 142857/999999	0.142857	${displaystyle 0.{dot {1}}4285{dot {7}}}$	0.(142857)	[3]	0.142857142857...
1/81 = 12345679/999999999	0.012345679	${displaystyle 0.{dot {0}}1234567{dot {9}}}$	0.(012345679)	[3]	0.012345679012345679...
22/7 = 3142854/999999	3.142857	${displaystyle 3.{dot {1}}4285{dot {7}}}$	3.(142857)	[3]	3.142857142857...

В английском языке есть несколько способов прочитать вслух повторяющиеся десятичные дроби. Например, 1.234 может быть прочитано «одна точка два, повторяющиеся три четыре», «одна точка два, повторяющиеся три четыре», «одна точка два, повторяющиеся три четыре», «одна точка два, повторение трех четырех» или «одна точка два в бесконечность, три, четыре».

Десятичная дробь и повторяющаяся последовательность

Чтобы преобразовать Рациональное число представлен в виде дроби в десятичной форме, можно использовать длинное деление. Например, рассмотрим рациональное число 5/74:

        0.0675   74 ) 5.00000        4.44          560          518           420           370            500

и т.д. Заметьте, что на каждом шаге у нас есть остаток; последовательные остатки, показанные выше, равны 56, 42, 50. Когда мы получаем 50 в качестве остатка и опускаем «0», мы обнаруживаем, что делим 500 на 74, что является той же проблемой, с которой мы начали. Следовательно, десятичная дробь повторяется: 0.0675675675....

Каждое рациональное число является либо завершающим, либо повторяющимся десятичным числом.

Для любого данного дивизора может встречаться только конечное число различных остатков. В приведенном выше примере 74 возможных остатка равны 0, 1, 2, ..., 73. Если в любой точке деления остаток равен 0, раскрытие завершается в этой точке. Тогда длина повтора, также называемая «периодом», определяется равной 0.

Если 0 никогда не встречается как остаток, то процесс деления продолжается вечно, и в конечном итоге должен возникнуть остаток, который имел место раньше. Следующий шаг в делении даст ту же новую цифру в частном и такой же новый остаток, как и в предыдущий раз, остаток был таким же. Следовательно, следующее деление повторит те же результаты. Повторяющаяся последовательность цифр называется «повторять», она имеет определенную длину больше 0, также называемую «периодом».^[4]

Каждое повторяющееся или завершающееся десятичное число является рациональным числом

Каждое повторяющееся десятичное число удовлетворяет линейное уравнение с целыми коэффициентами, а его единственным решением является рациональное число. Чтобы проиллюстрировать последнее, число α = 5.8144144144... выше удовлетворяет уравнению 10000α − 10α = 58144.144144... − 58.144144... = 58086, решение которой α = 58086/9990 = 3227/555. Описан процесс нахождения этих целочисленных коэффициентов. ниже.

Таблица значений

Дробная часть	Расширение	L		Дробная часть	Расширение	L		Дробная часть	Расширение	L
1/2	0.5	0		1/17	0.0588235294117647	16		1/32	0.03125	0
1/3	0.3	1		1/18	0.05	1		1/33	0.03	2
1/4	0.25	0		1/19	0.052631578947368421	18		1/34	0.02941176470588235	16
1/5	0.2	0		1/20	0.05	0		1/35	0.0285714	6
1/6	0.16	1		1/21	0.047619	6		1/36	0.027	1
1/7	0.142857	6		1/22	0.045	2		1/37	0.027	3
1/8	0.125	0		1/23	0.0434782608695652173913	22		1/38	0.0263157894736842105	18
1/9	0.1	1		1/24	0.0416	1		1/39	0.025641	6
1/10	0.1	0		1/25	0.04	0		1/40	0.025	0
1/11	0.09	2		1/26	0.0384615	6		1/41	0.02439	5
1/12	0.083	1		1/27	0.037	3		1/42	0.0238095	6
1/13	0.076923	6		1/28	0.03571428	6		1/43	0.023255813953488372093	21
1/14	0.0714285	6		1/29	0.0344827586206896551724137931	28		1/44	0.0227	2
1/15	0.06	1		1/30	0.03	1		1/45	0.02	1
1/16	0.0625	0		1/31	0.032258064516129	15		1/46	0.02173913043478260869565	22

Тем самым L длина повтора.

Повторяющиеся длины 1/п, п = 1, 2, 3, ..., являются:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (последовательность A051626 в OEIS ).

Повторение 1/п, п = 1, 2, 3, ..., являются:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (последовательность A036275 в OEIS ).

Повторяющиеся длины 1/п, п = 2, 3, 5, ... (пth простое число), являются:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (последовательность A002371 в OEIS ).

Наименьшие простые числа п для которого 1/п имеет повторяющуюся длину п, п = 1, 2, 3, ..., являются:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (последовательность A007138 в OEIS ).

Наименьшие простые числа п для которого k/п имеет п разные циклы (1 ≤ k ≤ п−1), п = 1, 2, 3, ..., являются:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (последовательность A054471 в OEIS ).

Дроби с простыми знаменателями

Фракция в самые низкие сроки с основной знаменатель, отличный от 2 или 5 (т. е. совмещать до 10) всегда дает повторяющееся десятичное число. Длина повторения (период повторяющегося десятичного сегмента) 1/п равно порядок из 10 по модулю п. Если 10 - это первобытный корень по модулю п, длина повтора равна п - 1; в противном случае длина повтора является фактором п - 1. Этот результат можно вывести из Маленькая теорема Ферма, в котором говорится, что 10^п−1 ≡ 1 (мод п).

Повторение по основанию 10 обратной величины любого простого числа больше 5 делится на 9.^[5]

Если повторяющаяся длина 1/п для премьер п равно п - 1, то повторяющееся выражение, выраженное целым числом, называется циклическое число.

Циклические числа

Основная статья: Циклическое число

Примеры фракций, принадлежащих к этой группе:

• 1/7 = 0.142857, 6 повторяющихся цифр
• 1/17 = 0.0588235294117647, 16 повторяющихся цифр
• 1/19 = 0.052631578947368421, 18 повторяющихся цифр
• 1/23 = 0.0434782608695652173913, 22 повторяющиеся цифры
• 1/29 = 0.0344827586206896551724137931, 28 повторяющихся цифр
• 1/47 = 0.0212765957446808510638297872340425531914893617, 46 повторяющихся цифр
• 1/59 = 0.0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661, 58 повторяющихся цифр
• 1/61 = 0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459, 60 повторяющихся цифр
• 1/97 = 0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567, 96 повторяющихся цифр

Список может включать дроби 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193и т. д. (последовательность A001913 в OEIS ).

Каждый правильный кратное циклическому числу (то есть кратное с одинаковым количеством цифр) - это поворот:

• 1/7 = 1 × 0.142857... = 0.142857...
• 2/7 = 2 × 0.142857... = 0.285714...
• 3/7 = 3 × 0.142857... = 0.428571...
• 4/7 = 4 × 0.142857... = 0.571428...
• 5/7 = 5 × 0.142857... = 0.714285...
• 6/7 = 6 × 0.142857... = 0.857142...

Причина циклического поведения очевидна из арифметического упражнения на деление чисел в столбик. 1/7: последовательные остатки представляют собой циклическую последовательность {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Также статью 142,857 для получения дополнительных свойств этого циклического числа.

Таким образом, циклическая дробь имеет повторяющуюся десятичную дробь четной длины, которая делится на две последовательности в дополнение девятки форма. Например 1/7 начинается "142", за ним следует "857", а 6/7 (по очереди) начинается "857", за которым следует это Дополнение к девяткам "142".

А правильный прайм это прайм п который заканчивается цифрой 1 в базе 10 и чей обратный в базе 10 имеет повторение с длиной п - 1. В таких простых числах каждая цифра 0, 1, ..., 9 появляется в повторяющейся последовательности такое же количество раз, как и каждая другая цифра (а именно, п − 1/10 раз). Они есть:^[6]:166

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861, ... (последовательность A073761 в OEIS ).

Простое число является правильным тогда и только тогда, когда оно полный репенд прайм и конгруэнтный до 1 мод 10.

Если прайм п оба полный репенд прайм и безопасный прайм, тогда 1/п создаст поток п − 1 псевдослучайные цифры. Эти простые числа

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, ... (последовательность A000353 в OEIS ).

Другие значения, обратные простым числам

Вот некоторые значения, обратные простым числам, которые не порождают циклические числа:

• 1/3 = 0.3, который имеет период (длину повтора), равный 1.
• 1/11 = 0.09, который имеет период 2.
• 1/13 = 0.076923, имеющий период 6.
• 1/31 = 0.032258064516129, имеющий период 15.
• 1/37 = 0.027, имеющий период 3.
• 1/41 = 0.02439, имеющий период 5.
• 1/43 = 0.023255813953488372093с периодом 21.
• 1/53 = 0.0188679245283, имеющий период 13.
• 1/67 = 0.014925373134328358208955223880597, который имеет период 33.

(последовательность A006559 в OEIS )

Причина в том, что 3 - делитель 9, 11 - делитель 99, 41 - делитель 99999 и т. Д., Чтобы найти период 1/п, мы можем проверить, п делит некоторое число 999 ... 999, на которое делится количество цифр п - 1. Поскольку период никогда не превышает п - 1, мы можем получить это, вычислив 10^п−1 − 1/п. Например, для 11 получаем

${displaystyle {frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

а затем путем осмотра найдите Repetend 09 и период 2.

Эти значения, обратные простым числам, могут быть связаны с несколькими последовательностями повторяющихся десятичных знаков. Например, кратные 1/13 можно разделить на два набора с разными повторами. Первый набор:

• 1/13 = 0.076923...
• 10/13 = 0.769230...
• 9/13 = 0.692307...
• 12/13 = 0.923076...
• 3/13 = 0.230769...
• 4/13 = 0.307692...,

где повторение каждой дроби представляет собой циклическую перегруппировку 076923. Второй набор:

• 2/13 = 0.153846...
• 7/13 = 0.538461...
• 5/13 = 0.384615...
• 11/13 = 0.846153...
• 6/13 = 0.461538...
• 8/13 = 0.615384...,

где повторение каждой дроби представляет собой циклическую перегруппировку 153846.

В общем, набор собственных кратных обратных простых чисел п состоит из п подмножества, каждое с повторяющейся длинойk, куда нк = п − 1.

Правило Totient

Для произвольного целого числа п, длина λ(п) повторения 1/п разделяет φ(п), куда φ это общая функция. Длина равна φ(п) тогда и только тогда, когда 10 является примитивный корень по модулю п.^[7]

В частности, отсюда следует, что λ(п) = п − 1 если и только если п - простое число, а 10 - первообразный корень по модулю п. Тогда десятичные разложения п/п за п = 1, 2, ..., п - 1, у всех есть точка п - 1 и отличаются только циклической перестановкой. Такие числа п называются полные повторяющиеся простые числа.

Обратные составные целые числа, взаимно простые с 10

Если п является простым числом, отличным от 2 или 5, десятичное представление дроби 1/п² повторяет:

1/49 = 0.020408163265306122448979591836734693877551.

Период (длина повтора) должен быть множителем λ(49) = 42, где λ(п) известен как Функция Кармайкла. Это следует из Теорема Кармайкла в котором говорится, что если п является положительным целым числом, то λ(п) - наименьшее целое число м такой, что

${displaystyle a^{m}equiv 1{pmod {n}}}$

для каждого целого числа а то есть совмещать к п.

Период 1/п² обычно pT_п, куда Т_п это период 1/п. Есть три известных простых числа, для которых это неверно, а для тех, что период 1/п² совпадает с периодом 1/п потому что п² делит 10^п−1−1. Эти три простых числа - 3, 487 и 56598313 (последовательность A045616 в OEIS ).^[8]

Аналогичным образом период 1/п^k обычно п^k–1Т_п

Если п и q - простые числа, отличные от 2 или 5, десятичное представление дроби 1/pq повторяется. Примером является 1/119:

119 = 7 × 17

λ(7 × 17) = LCM (λ(7), λ(17)) = НОК (6, 16) = 48,

где LCM обозначает наименьший общий множитель.

Период Т из 1/pq фактор λ(pq), а в данном случае 48:

1/119 = 0.008403361344537815126050420168067226890756302521.

Период Т из 1/pq это LCM (Т_п, Т_q), куда Т_п это период 1/п и Т_q это период 1/q.

Если п, q, ри т. д. являются простыми числами, отличными от 2 или 5, и k, л, ми т. д. - натуральные числа, то

${displaystyle {frac {1}{p^{k}q^{l}r^{m}cdots }}}$

это повторяющееся десятичное число с периодом

${displaystyle operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{l}},T_{r^{m}},ldots )}$

куда Т_п^k, Т_q^л, Т_р^м, ... - соответственно период повторяющихся десятичных знаков 1/п^k, 1/q^л, 1/р^м, ... как определено выше.

Обратные значения целых чисел не взаимно просты с 10

Целое число, которое не является взаимно простым с 10, но имеет простой множитель, отличный от 2 или 5, имеет обратную величину, которая в конечном итоге является периодической, но с неповторяющейся последовательностью цифр, предшествующей повторяющейся части. Обратное можно выразить как:

${displaystyle {frac {1}{2^{a}5^{b}p^{k}q^{l}cdots }},,}$

куда а и б оба не равны нулю.

Эта доля также может быть выражена как:

${displaystyle {frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{l}cdots }},,}$

если а > б, или как

${displaystyle {frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{l}cdots }},,}$

если б > а, или как

${displaystyle {frac {1}{10^{a}p^{k}q^{l}cdots }},,}$

если а = б.

Десятичная дробь имеет:

• Начальный переходный процесс макс (а, б) цифры после десятичной точки. Некоторые или все цифры в переходном процессе могут быть нулями.
• Последующее повторение, такое же, как и для дроби 1/п^k q^л ⋯.

Например 1/28 = 0.03571428:

• а = 2, б = 0, а остальные множители п^k q^л ⋯ = 7
• есть 2 начальные неповторяющиеся цифры, 03; и
• 6 повторяющихся цифр, 571428, столько же, сколько 1/7 имеет.

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Учитывая повторяющуюся десятичную дробь, можно вычислить дробь, которая его произвела. Например:

${displaystyle {egin{alignedat}{1}x&=0.333333ldots 10x&=3.333333ldots quad &{ ext{(multiplying each side of the above line by 10)}}9x&=3&{ ext{(subtracting the 1st line from the 2nd)}}x&={frac {3}{9}}={frac {1}{3}}&{ ext{(reducing to lowest terms)}}end{alignedat}}}$

Другой пример:

${displaystyle {egin{alignedat}{1}x&= 0.836363636ldots 10x&= 8.36363636ldots quad &{ ext{(multiplying by a power of 10 to move decimal to start of repetition)}}1000x&=836.36363636ldots &{ ext{(multiplying by a power of 100 to move decimal to end of first repeating decimal)}}990x&=828&{ ext{(subtracting to clear decimals)}}x&={frac {828}{990}}={frac {18 imes 46}{18 imes 55}}={frac {46}{55}}.end{alignedat}}}$

Ярлык

Описанная ниже процедура может применяться, в частности, если репенд имеет п цифры, все из которых равны 0, кроме последней, равной 1. Например, для п = 7:

${displaystyle {egin{aligned}x&=0.000000100000010000001ldots 10^{7}x&=1.000000100000010000001ldots left(10^{7}-1ight)x=9999999x&=1x&={frac {1}{10^{7}-1}}={frac {1}{9999999}}end{aligned}}}$

Таким образом, эта повторяющаяся десятичная дробь соответствует дроби 1/10^п − 1, где знаменатель - это число, записанное как п цифры 9. Зная это, обычную повторяющуюся десятичную дробь можно выразить в виде дроби, не решая уравнения. Например, можно рассуждать:

${displaystyle {egin{aligned}7.48181818ldots &=7.3+0.18181818ldots [8pt]&={frac {73}{10}}+{frac {18}{99}}={frac {73}{10}}+{frac {9 imes 2}{9 imes 11}}={frac {73}{10}}+{frac {2}{11}}[12pt]&={frac {11 imes 73+10 imes 2}{10 imes 11}}={frac {823}{110}}end{aligned}}}$

Можно получить общую формулу, выражающую повторяющуюся десятичную дробь с п-цифровой период (длина повтора), начинающийся сразу после десятичной точки, как дробь:

${displaystyle {egin{aligned}x&=0.{overline {a_{1}a_{2}cdots a_{n}}}10^{n}x&=a_{1}a_{2}cdots a_{n}.{overline {a_{1}a_{2}cdots a_{n}}}left(10^{n}-1ight)x=99cdots 99x&=a_{1}a_{2}cdots a_{n}x&={frac {a_{1}a_{2}cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={frac {a_{1}a_{2}cdots a_{n}}{99cdots 99}}end{aligned}}}$

Более точно, можно получить следующие случаи:

Если повторяющееся десятичное число находится между 0 и 1, а повторяющийся блок равен п цифры, сначала встречающиеся сразу после десятичной точки, затем дробная часть (не обязательно уменьшенная) будет целым числом, представленным п-цифровой блок, разделенный на блок, представленный п цифры 9. Например,

• 0.444444... = 4/9 поскольку повторяющийся блок равен 4 (однозначный блок),
• 0.565656... = 56/99 так как повторяющийся блок равен 56 (двухзначный блок),
• 0.012012... = 12/999 поскольку повторяющийся блок равен 012 (трехзначный блок); это далее сводится к 4/333.
• 0.999999... = 9/9 = 1, так как повторяющийся блок равен 9 (также однозначный блок)

Если повторяющаяся десятичная дробь такая же, как указано выше, за исключением того, что есть k (дополнительные) цифры 0 между десятичной запятой и повторяющимся п-цифровой блок, тогда можно просто добавить k цифры 0 после п цифры 9 знаменателя (и, как и раньше, дробь может быть впоследствии упрощена). Например,

• 0.000444... = 4/9000 поскольку повторяющийся блок равен 4, а этому блоку предшествуют 3 нуля,
• 0.005656... = 56/9900 поскольку повторяющийся блок равен 56 и ему предшествуют 2 нуля,
• 0.00012012... = 12/99900 = 1/8325 поскольку повторяющийся блок равен 012, и ему предшествуют 2 нуля.

Любое повторяющееся десятичное число, отличное от формы, описанной выше, может быть записано как сумма завершающего десятичного разделителя и повторяющегося десятичного разделителя одного из двух вышеуказанных типов (на самом деле достаточно первого типа, но для этого может потребоваться, чтобы завершающее десятичное число было отрицательным). Например,

• 1.23444... = 1.23 + 0.00444... = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
  • или альтернативно 1,23444 ... = 0,79 + 0,44444 ... = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
• 0.3789789... = 0.3 + 0.0789789... = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
  • или альтернативно 0,3789789 ... = -0,6 + 0,9789789 ... = -6/10 + 978/999 = −5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

Еще более быстрый способ - полностью игнорировать десятичную точку и делать это так

• 1.23444... = 1234 − 123/900 = 1111/900 (в знаменателе одна девятка и два нуля, потому что одна цифра повторяется, а после десятичной точки есть две неповторяющиеся цифры)
• 0.3789789... = 3789 − 3/9990 = 3786/9990 (знаменатель состоит из трех девяток и одного 0, потому что три цифры повторяются, а после десятичной точки стоит одна неповторяющаяся цифра)

Отсюда следует, что любая повторяющаяся десятичная дробь с период п, и k цифры после десятичной точки, не принадлежащие повторяющейся части, могут быть записаны в виде (не обязательно сокращенной) дроби, знаменатель которой равен (10^п − 1)10^k.

И наоборот, период повторяющейся десятичной дроби c/d будет (самое большее) наименьшее число п так что 10^п - 1 делится на d.

Например, дробь 2/7 имеет d = 7, а наименьшее k что составляет 10^k - 1 делится на 7 k = 6, потому что 999999 = 7 × 142857. Период дроби 2/7 поэтому 6.

Повторение десятичных знаков как бесконечный ряд

Повторяющаяся десятичная дробь также может быть выражена как бесконечная серия. То есть повторяющуюся десятичную дробь можно рассматривать как сумму бесконечного числа рациональных чисел. Возьмем простейший пример:

${displaystyle 0.{overline {1}}={frac {1}{10}}+{frac {1}{100}}+{frac {1}{1000}}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{10^{n}}}}$

Вышеупомянутая серия является геометрическая серия с первым членом как 1/10 и общий фактор 1/10. Поскольку абсолютное значение общего множителя меньше 1, мы можем сказать, что геометрический ряд сходится и найдите точное значение в виде дроби по следующей формуле, где а является первым членом ряда и р это общий фактор.

${displaystyle {frac {a}{1-r}}={frac {frac {1}{10}}{1-{frac {1}{10}}}}={frac {1}{10-1}}={frac {1}{9}}}$

По аналогии,

${displaystyle {egin{aligned}0.{overline {142857}}&={frac {142857}{10^{6}}}+{frac {142857}{10^{12}}}+{frac {142857}{10^{18}}}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {142857}{10^{6n}}}[6px]implies &quad {frac {a}{1-r}}={frac {frac {142857}{10^{6}}}{1-{frac {1}{10^{6}}}}}={frac {142857}{10^{6}-1}}={frac {142857}{999999}}={frac {1}{7}}end{aligned}}}$

Умножение и циклическая перестановка

Основная статья: Транспонируемое целое число

Циклическое поведение повторения десятичных знаков при умножении также приводит к построению целых чисел, которые циклически переставляемый при умножении на определенные числа. Например, 102564 × 4 = 410256. 102564 - это повторение 4/39 и 410256 повторитель 16/39.

Другие свойства длин повтора

Различные свойства длин повторений (периодов) даны Митчеллом.^[9] и Диксон.^[10]

• Период 1/k для целого числа k всегда ≤k − 1.

• Если п простое, период 1/п делится равномерно на п − 1.

• Если k составной, период 1/k строго меньше, чем k − 1.

• Период c/k, за c совмещать к k, равняется периоду 1/k.

• Если k = 2^а5^бп куда п > 1 и п не делится на 2 или 5, то длина переходного процесса 1/k макс (а, б), а период равен р, куда р это наименьшее целое число такое, что 10^р ≡ 1 (мод п).

• Если п, п', п", ... - различные простые числа, то период 1/п п' п" ⋯ равно наименьшему общему кратному периодов 1/п, 1/п', 1/п",....

• Если k и k ′ не имеют общих простых делителей, кроме 2 или 5, то период 1/k k ′ равно наименьшему общему кратному периодов 1/k и 1/k ′.

• Для премьер п, если

${displaystyle { ext{period}}left({frac {1}{p}}ight)={ ext{period}}left({frac {1}{p^{2}}}ight)=cdots ={ ext{period}}left({frac {1}{p^{m}}}ight)}$

для некоторых м, но

${displaystyle { ext{period}}left({frac {1}{p^{m}}}ight)eq { ext{period}}left({frac {1}{p^{m+1}}}ight),}$

тогда для c ≥ 0 имеем

${displaystyle { ext{period}}left({frac {1}{p^{m+c}}}ight)=p^{c}cdot { ext{period}}left({frac {1}{p}}ight).}$

• Если п это правильный прайм заканчиваясь на 1, то есть, если повторение 1/п циклическое число длины п - 1 и п = 10час +1 для некоторых час, то каждая цифра 0, 1, ..., 9 появляется в повторении точно час = п − 1/10 раз.

О некоторых других свойствах повторяющихся элементов см. Также.^[11]

Расширение на другие базы

Различные функции повторяющихся десятичных знаков распространяются на представление чисел во всех других целочисленных основаниях, а не только в основе 10:

• Любое действительное число можно представить в виде целой части, за которой следует основание точка (обобщение десятичная точка в недесятичные системы), за которым следует конечное или бесконечное число цифры.
• Если основание - целое число, прекращение Очевидно, что последовательность представляет собой рациональное число.
• У рационального числа есть завершающая последовательность, если все простые множители знаменателя полностью приведенной дробной формы также являются множителями основания. Эти числа составляют плотный набор в Q и р.
• Если позиционная система счисления стандартный, то есть базовый

${displaystyle bin mathbb {Z} setminus {-1,0,1}}$

в сочетании с последовательным набором цифр

${displaystyle D:={d_{1},d_{1}+1,dots ,d_{r}}}$

с р := |б|, d_р : = d₁ + р − 1 и 0 ∈ D, то завершающая последовательность, очевидно, эквивалентна той же последовательности с не прекращающийся повторяющаяся часть, состоящая из цифры 0. Если основание положительное, то существует гомоморфизм порядка от лексикографический порядок из правые бесконечные строки над алфавит D в некоторый замкнутый интервал вещественных чисел, который отображает строки 0.А₁А₂...А_пd_б и 0.А₁А₂...(А_п+1)d₁ с А_я ∈ D и А_п ≠ d_б к тому же действительному числу - и других дубликатов изображений нет. В десятичной системе, например, 0.9 = 1.0 = 1; в сбалансированный тройной система есть 0.1 = 1.Т = 1/2.

• Рациональное число имеет бесконечно повторяющуюся последовательность конечной длины л, если знаменатель сокращенной дроби содержит простой множитель, не являющийся множителем основания. Если q - максимальный множитель приведенного знаменателя, взаимно простой с основанием, л наименьший показатель такой, что q разделяет б^л − 1. Это мультипликативный порядок ord_q(б) класса остатка б мод q который является делителем Функция Кармайкла λ(q) который, в свою очередь, меньше, чем q. Повторяющейся последовательности предшествует переходный процесс конечной длины, если сокращенная дробь также делит простой множитель с основанием. Повторяющаяся последовательность

${displaystyle (0.{overline {A_{1}A_{2}ldots A_{l}}})_{b}}$

представляет собой дробь

${displaystyle {frac {left({A_{1}A_{2}ldots A_{l}}ight)_{b}}{b^{l}-1}}}$.

• У иррационального числа есть представление бесконечной длины, которое ни в какой точке не является бесконечно повторяющейся последовательностью конечной длины.

Например, в двенадцатеричный, 1/2 = 0.6, 1/3 = 0.4, 1/4 = 0,3 и 1/6 = 0,2 все завершаются; 1/5 = 0.2497 повторяется с длиной периода 4, в отличие от эквивалентного десятичного разложения 0,2; 1/7 = 0.186 ᘔ 35 имеет период 6 в двенадцатеричной системе счисления, как и в десятичной системе счисления.

Если б является целочисленной базой и k целое число,

${displaystyle {frac {1}{k}}={frac {1}{b}}+{frac {(b-k)^{1}}{b^{2}}}+{frac {(b-k)^{2}}{b^{3}}}+{frac {(b-k)^{3}}{b^{4}}}+{frac {(b-k)^{4}}{b^{5}}}+cdots +{frac {(b-k)^{N-1}}{b^{N}}}+cdots }$

Например 1/7 в двенадцатеричном формате:

1/7 = (1/10 + 5/10² + 21/10³ + ᘔ 5/10⁴ + 441/10⁵ + 1985/10⁶ + ...)_{база 12}

что равно 0.186 ᘔ 35 (база 12). 10 (основание 12) равно 12 (основание 10), 10² (основание 12) равно 144 (основание 10), 21 (основание 12) равно 25 (основание 10), ᘔ 5 (основание 12) равно 125 (основание 10), ...

Алгоритм для положительных оснований

Для рационального 0 < п/q < 1 (и база б ∈ N_>1) существует следующий алгоритм, создающий повторяющийся фрагмент вместе с его длиной:

функция b_adic(б,п,q) // b ≥ 2; 0 
  статический цифры = "0123..."; // до цифры со значением b – 1начинать  s = "";   // строка цифр  позиция = 0; // все места правильны до точки счисления  пока нет определенный(происходит[п]) делать    происходит[п] = позиция;  // позиция места с остатком p    бп = б*п;    z = этаж(бп/q); // индекс z цифры в пределах: 0 ≤ z ≤ b-1    п = б*п − z*q;    // 0 ≤ p     если п = 0 тогда L = 0; возвращаться (s); конец если    s = s.подстрока(цифры, z, 1); // добавляем символ цифры    позиция += 1;  конец пока  L = позиция - происходит[п]; // длина повтора (  // отмечаем цифры повтора винкулумом:  за я из происходит[п] к позиция-1 делать    подстрока(s, я, 1) = над чертой(подстрока(s, я, 1));  конец за  возвращаться (s);конец функция

Первая строка, выделенная желтым цветом, вычисляет цифру z.

Следующая строка вычисляет новый остаток п' подразделения по модулю знаменатель q. Как следствие функция пола этаж у нас есть

${displaystyle {frac {bp}{q}}-1;;<;;z=leftlfloor {frac {bp}{q}}ightfloor ;;leq ;;{frac {bp}{q}},}$

таким образом

${displaystyle bp-q<zqquad implies quad p':=bp-zq<q}$

и

${displaystyle zqleq bpquad implies quad 0leq bp-zq=:p',.}$

Потому что все эти остатки п неотрицательные целые числа меньше, чем q, их может быть только конечное число, а значит, они должны повторяться в пока петля. Такое повторение обнаруживается ассоциативный массив происходит. Новая цифра z образуется в желтой линии, где п единственное непостоянное. Длина L повторения равно количеству остатков (см. также раздел Каждое рациональное число является либо завершающим, либо повторяющимся десятичным числом. ).

Приложения к криптографии

Повторяющиеся десятичные дроби (также называемые десятичными последовательностями) нашли применение в криптографии и кодировании с исправлением ошибок.^[12] В этих приложениях обычно используются повторяющиеся десятичные дроби с основанием 2, что приводит к двоичным последовательностям. Двоичная последовательность максимальной длины для 1/п (когда 2 - примитивный корень из п) дан кем-то:^[13]

${displaystyle a(i)=2^{i}~{mod {p}}~{mod {2}}}$

Эти последовательности периода п - 1 имеют автокорреляционную функцию, которая имеет отрицательный пик -1 для сдвига п − 1/2. Случайность этих последовательностей была исследована стойкие испытания.^[14]

Смотрите также

• Десятичное представление
• Полный репенд прайм
• Теорема Миди
• Паразитарное число
• Конечный ноль
• Уникальный прайм

Ссылки и замечания

1. Курант Р. и Роббинс Х. Что такое математика ?: Элементарный подход к идеям и методам, 2-е изд. Оксфорд, Англия: Издательство Оксфордского университета, 1996: с. 67.
2. Бесвик, Ким (2004), "Почему 0,999 ... = 1?: Извечный вопрос и чувство числа", Учитель математики Австралии, 60 (4): 7–9
3. По состоянию на 1 февраля 2018 г. ограничено до 1 или 2 цифр в Википедии.
4. Для базы б и делитель п, с точки зрения теории групп эта длина разделяет

   ${displaystyle operatorname {ord} _{n}(b):=min{Lin mathbb {N} ,mid ,b^{L}equiv 1{ ext{ mod }}n}}$

   (с модульная арифметика ≡ 1 мод п), которая делит функцию Кармайкла

   ${displaystyle lambda (n):=max{operatorname {ord} _{n}(b),mid ,gcd(b,n)=1}}$

   что снова делит Функция Эйлера φ(п).
5. Грей, Александр Дж., "Цифровые корни и числа, обратные простым числам", Математический вестник 84.09, март 2000, стр. 86.
6. Диксон, Л. Э., История теории чисел, Том 1, Chelsea Publishing Co., 1952.
7. Уильям Э. Хил. Некоторые свойства повторов. Анналы математики, Vol. 3, No. 4 (август 1887 г.), стр. 97–103
8. Альберт Х. Байлер, Развлечение в теории чисел, стр 79
9. Митчелл, Дуглас У., "Нелинейный генератор случайных чисел с известной большой длиной цикла", Криптология 17 января 1993 г., стр. 55–62.
10. Диксон, Леонард Э., История теории чисел, Vol. я, Chelsea Publ. Co., 1952 (ориг. 1918), 164–173.
11. Армстронг, Н. Дж., И Армстронг, Р. Дж., "Некоторые свойства повторов", Математический вестник 87, ноябрь 2003 г., стр. 437–443.
12. Как, Субхаш, Чаттерджи, А. «О десятичных последовательностях». IEEE Transactions по теории информации, т. ИТ-27, с. 647–652, сентябрь 1981 г.
13. Как, Субхаш, «Шифрование и исправление ошибок с помощью d-последовательностей». IEEE Trans. На компьютерах, т. С-34, стр. 803–809, 1985.
14. Беллами, Дж. "Случайность D-последовательностей посредством жесткого тестирования". 2013. arXiv: 1312.3618

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Повторяющаяся десятичная дробь". MathWorld.
• Онлайн калькулятор дробей с подробным решением