Теорема Мидиса - Midys theorem

В математика, Теорема Миди, названный в честь Французский математик Э. Миди,^[1][2] это заявление о десятичное разложение из фракции а/п куда п это основной и а/п имеет повторяющаяся десятичная дробь расширение с четное период (последовательность A028416 в OEIS ). Если период десятичного представления числа а/п 2п, так что

${\displaystyle {\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}}$

тогда цифры во второй половине повторяющегося десятичного периода являются 9s дополнение соответствующих цифр в его первой половине. Другими словами,

${\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=9}$

${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.}$

Например,

${\displaystyle {\frac {1}{13}}=0.{\overline {076923}}{\text{ and }}076+923=999.}$

${\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}{\text{ and }}05882352+94117647=99999999.}$

Расширенная теорема Миди

Если k - любой делитель периода десятичного разложения числа а/п (куда п снова простое число), то теорему Миди можно обобщить следующим образом. В расширенная теорема Миди^[3] утверждает, что если повторяющаяся часть десятичного разложения а/п поделен на k-значные числа, тогда их сумма кратна 10^k − 1.

Например,

${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}}$

имеет период 18. Разделение повторяющейся части на 6-значные числа и их суммирование дает

${\displaystyle 052631+578947+368421=999999.}$

Точно так же разделение повторяющейся части на 3-значные числа и их суммирование дает

${\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.}$

Теорема Миди в других базисах

Теорема Миди и ее расширение не зависят от специальных свойств десятичного разложения, но одинаково хорошо работают в любых основание бпри условии замены 10^k - 1 с б^k - 1 и провести добавление в базу б.

Например, в восьмеричный

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}\\[8pt]&032_{8}+745_{8}=777_{8}\\[8pt]&03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.\end{aligned}}}$

В двенадцатеричный (используя перевернутые два и три для десяти и одиннадцати, соответственно)

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {076{\mathcal {E}}45}}_{12}\\[8pt]&076_{12}+{\mathcal {E}}45_{12}={\mathcal {EEE}}_{12}\\[8pt]&07_{12}+6{\mathcal {E}}_{12}+45_{12}={\mathcal {EE}}_{12}\end{aligned}}}$

Доказательство теоремы Миди

Краткие доказательства теоремы Миди могут быть даны с использованием результатов теория групп. Однако можно также доказать теорему Миди, используя элементарная алгебра и модульная арифметика:

Позволять п быть первым и а/п - дробь от 0 до 1. Предположим, что разложение а/п в базе б имеет период ℓ, так

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=[a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}}$

куда N - целое число, разложение которого по основанию б это строка а₁а₂...а_ℓ.

Обратите внимание, что б ^ℓ - 1 кратно п потому что (б ^ℓ − 1)а/п целое число. Также б^п−1 - это нет кратный п для любого значения п меньше, чем ℓ, потому что в противном случае повторяющийся период а/п в базе б будет меньше чем ℓ.

Теперь предположим, что ℓ = гонконгский. потом б ^ℓ - 1 кратно б^k - 1. (Чтобы увидеть это, подставьте Икс за б^k; тогда б^ℓ = Икс^час и Икс - 1 - коэффициент Икс^час - 1.) Скажи б ^ℓ − 1 = м(б^k - 1), поэтому

${\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.}$

Но б ^ℓ - 1 кратно п; б^k - 1 это нет кратный п (потому что k меньше чем ℓ ); и п простое число; так м должно быть кратно п и

${\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}}$

целое число. Другими словами,

${\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.}$

Теперь разделите строку а₁а₂...а_ℓ в час равные части длины k, и пусть они представляют собой целые числа N₀...N_{час − 1} в базе б, так что

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}}$

Чтобы доказать расширенную теорему Миди в базе б мы должны показать, что сумма час целые числа N_я кратно б^k − 1.

С б^k сравнимо с 1 по модулю б^k - 1, любая степень б^k также будет сравнимо с 1 по модулю б^k - 1. Итак

${\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}}$

${\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}}$

что доказывает расширенную теорему Миди в базе б.

Чтобы доказать исходную теорему Миди, рассмотрим частный случай, когда час = 2. Обратите внимание, что N₀ и N₁ оба представлены строками k цифры в базе б так что оба удовлетворяют

${\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.}$

N₀ и N₁ не могут одновременно равняться 0 (иначе а/п = 0) и не могут одновременно равняться б^k - 1 (иначе а/п = 1), поэтому

${\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)}$

и с тех пор N₀ + N₁ кратно б^k - 1 следует, что

${\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.}$

Следствие

Из вышеизложенного

${\displaystyle {\frac {am}{p}}}$ это целое число

Таким образом ${\displaystyle m\equiv 0{\pmod {p}}}$

И таким образом для ${\displaystyle k={\frac {\ell }{2}}}$

${\displaystyle b^{\ell /2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$

За ${\displaystyle k={\frac {\ell }{3}}}$ и является целым числом

${\displaystyle b^{2\ell /3}+b^{\ell /3}+1\equiv 0{\pmod {p}}}$

и так далее.

Примечания

1. Ливитт, Уильям Г. (июнь 1967). "Теорема о повторяющихся десятичных числах". Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 74 (6): 669–673. Дои:10.2307/2314251.
2. Кемени, Джон. "Секретная теорема М. Э. Миди = Девятки". Получено 27 ноября 2011.
3. Бассам Абдул-Баки, Расширенная теорема Миди, 2005.

Рекомендации

• Радемахер, Х., Теплиц, О. Удовольствие от математики: отрывки из математики для любителей. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, стр. 158–160, 1957.
• Э. Миди, "De Quelques Propriétés des Nombres et des Fractions Décimales Périodiques". Колледж Нанта, Франция: 1836 г.
• Росс, Кеннет А. «Повторяющиеся десятичные дроби: период». Математика. Mag. 83 (2010), нет. 1, 33–45.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Миди". MathWorld.