Длинное деление - Long division

Эта статья про элементарное рукописное деление. Для математического определения и свойств см. Дивизион (математика) и Евклидово деление. Для программных алгоритмов см. Алгоритм деления. Для использования в других целях см. Длинное деление (значения).

В арифметика, длинное деление это стандарт алгоритм деления подходит для деления многозначных чисел, которое достаточно просто выполнить вручную. Это ломает разделение проблема в ряд более простых шагов.

Как и во всех задачах деления, одно число, называемое дивиденд, делится на другой, называемый делитель, давая результат, называемый частное. Он позволяет выполнять вычисления с произвольно большими числами, выполнив ряд простых шагов.^[1] Сокращенная форма длинного деления называется короткое деление, который почти всегда используется вместо длинного деления, когда делитель состоит только из одной цифры. Разбивка (также известный как метод частичного деления или метод палача) - это менее механическая форма длинного деления, известная в Великобритании, которая способствует более целостному пониманию процесса деления.^[2]

Хотя связанные алгоритмы существуют с 12 века нашей эры,^[3] конкретный алгоритм в современном использовании был введен Генри Бриггс c. 1600 г. н.э.^[4]

Место в образовании

Недорогие калькуляторы и компьютеры стали наиболее распространенным способом решения задач деления, устранив традиционное математическое упражнение, и сокращение возможностей обучения, чтобы показать, как это сделать с помощью бумаги и карандаша. (Внутри эти устройства используют один из множества алгоритмы деления, более быстрые из которых полагаются на приближения и умножения для решения задач). В Соединенных Штатах длинное деление было особенно нацелено на снижение акцента или даже исключение из школьной программы. реформировать математику, хотя традиционно вводится в 4-5 классах.^[5]

Метод

В англоязычных странах при длинном делении не используется разделительная косая черта ⟨∕ ⟩ или же знак деления ⟨÷⟩ символов, но вместо этого создает таблица.^[6] В делитель отделяется от дивиденда правая скобка ⟨) ⟩ или же вертикальная полоса ⟨| ⟩; дивиденд отделен от частное по винкулум (т.е. надбавка ). Комбинацию этих двух символов иногда называют символ длинного деления или же скобка деления.^[7] Он развился в 18 веке из более ранней однострочной записи, отделяющей дивиденд от частного с помощью левая скобка.^[8][9]

Процесс начинается с деления крайней левой цифры делимого на делитель. Частное (округленное до целого числа) становится первой цифрой результата, а остаток вычисляется (этот шаг обозначается как вычитание). Этот остаток переносится вперед, когда процесс повторяется для следующей цифры делимого (обозначается как «уменьшение» следующей цифры до остатка). Когда все цифры обработаны и не осталось остатка, процесс завершен.

Ниже показан пример, представляющий деление 500 на 4 (с результатом 125).

     125      (Пояснения) 4) 500 4        ( 4 ×  1 =  4)     10       ( 5 -  4 =  1)      8       ( 4 ×  2 =  8)      20      (10 -  8 =  2)      20      ( 4 ×  5 = 20)       0      (20 - 20 =  0)

Пример деления в столбик без калькулятора.

Более подробная разбивка шагов выглядит следующим образом:

1. Найдите кратчайшую последовательность цифр, начиная с левого конца делимого, 500, в которую входит делитель 4 хотя бы один раз. В данном случае это просто первая цифра, 5. Наибольшее число, на которое можно умножить делитель 4, не превышая 5, равно 1, поэтому цифра 1 ставится над 5, чтобы начать построение частного.
2. Затем 1 умножается на делитель 4, чтобы получить наибольшее целое число, кратное делителю 4, не превышая 5 (в данном случае 4). Затем это 4 помещается под и вычитается из 5, чтобы получить остаток 1, который помещается под 4 под 5.
3. После этого первая, еще не использованная цифра в делимом, в данном случае первая цифра 0 после 5, копируется непосредственно под собой и рядом с остатком 1, чтобы сформировать число 10.
4. На этом этапе процесс повторяется достаточно раз, чтобы достичь точки остановки: наибольшее число, на которое можно умножить делитель 4, не превышая 10, равно 2, поэтому 2 написано выше как вторая крайняя левая цифра частного. Затем это 2 умножается на делитель 4, чтобы получить 8, которое является наибольшим кратным 4, не превышающим 10; поэтому 8 записывается под 10, и выполняется вычитание 10 минус 8, чтобы получить остаток 2, который помещается под 8.
5. Следующая цифра делимого (последний 0 из 500) копируется непосредственно под собой и рядом с остатком 2, чтобы получить 20. Затем помещается наибольшее число, на которое можно умножить делитель 4, не превышая 20, то есть 5. выше как третья крайняя левая цифра частного. Это 5 умножается на делитель 4, чтобы получить 20, которое записано ниже, и вычитается из существующих 20, чтобы получить остаток 0, который затем записывается под вторыми 20.
6. На этом этапе, поскольку больше нет цифр, которые можно было бы вывести из делимого, а последний результат вычитания был 0, мы можем быть уверены, что процесс завершен.

Если бы последний остаток, когда у нас закончились цифры дивидендов, был чем-то другим, чем 0, было бы два возможных варианта действий:

1. Мы могли бы просто остановиться на этом и сказать, что делимое на делитель - это частное, записанное вверху, а остаток - внизу, и записать ответ как частное, за которым следует дробь, которая представляет собой остаток, разделенный на делитель.
2. Мы могли бы увеличить дивиденд, записав его, скажем, как 500000 ... и продолжить процесс (используя десятичную точку в частном непосредственно над десятичной точкой в ​​делимом), чтобы получить десятичный ответ, как показано ниже. пример.

      31.75        4)127.00     12         (12 ÷ 4 = 3)      07        (0 остаток, сбиваем следующую цифру) 4        (7 ÷ 4 = 1 r 3) 3,0 (убавьте 0 и десятичную точку) 2.8      (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2) 20 (сброшен дополнительный ноль) 20     (5 × 4 = 20)          0

В этом примере десятичная часть результата вычисляется путем продолжения процесса за пределами цифры единиц измерения, «опуская» нули как десятичную часть делимого.

Этот пример также показывает, что в начале процесса можно пропустить шаг, который дает ноль. Поскольку первая цифра 1 меньше делителя 4, первый шаг вместо этого выполняется для первых двух цифр 12. Аналогично, если бы делитель был равен 13, можно было бы выполнить первый шаг на 127, а не на 12 или 1.

Основная процедура деления на длинные позиции п ÷ м

1. Найдите расположение всех десятичных знаков в дивиденде п и делитель м.
2. При необходимости упростите задачу о длинном делении, переместив десятичные дроби делителя и делимого на одинаковое количество десятичных знаков вправо (или влево), чтобы десятичная дробь делителя находилась справа от последней цифры. .
3. Делая деление в столбик, держите числа выровненными сверху вниз под таблицей.
4. После каждого шага убедитесь, что остаток от этого шага меньше делителя. Если это не так, есть три возможных проблемы: неправильное умножение, неправильное вычитание или требуется большее частное.
5. В конце концов, остаток, р, добавляется к растущему частному как дробная часть, р/м.

Инвариантность и корректность

Основное представление этапов процесса (выше) сосредоточено на Какие должны быть выполнены шаги, а не свойства этих шагов которые гарантируют, что результат будет правильным (в частности, д × м + г = п, куда q окончательное частное и р Незначительный вариант представления требует большего количества записей и требует, чтобы мы изменили, а не просто обновили цифры частного, но могут пролить больше света на Почему эти шаги фактически дают правильный ответ, позволяя оценить д × м + г в промежуточных точках процесса. Это иллюстрирует ключевое свойство, используемое при выводе алгоритма. (ниже).

В частности, мы изменим описанную выше базовую процедуру, чтобы заполнить пробелы после цифр частное в процессе строительства с нулями, по крайней мере, до места с единицей, и включить эти 0 в числа, которые мы пишем под скобкой деления.

Это позволяет нам поддерживать инвариантное свойство на каждом шагу:д × м + г = п, куда q - частично построенное частное (над делительной скобкой) и р частично построенный остаток (нижнее число под скобкой деления). Обратите внимание, что изначально q = 0 и г = п, поэтому изначально это свойство выполняется; процесс уменьшает r и увеличивает q с каждым шагом, в конечном итоге останавливаясь, когда г <м если мы ищем ответ в форме частного + целочисленный остаток.

Возвращаясь к 500 ÷ 4 пример выше, мы находим

     125      (q, меняется с 000 на 100 к 120 к 125 согласно примечаниям ниже) 4) 500 400      (  4 × 100 = 400)     100      (500 - 400 = 100; сейчас же q =100, r =100; Примечание д × 4 + г = 500.)      80      (  4 ×  20 =  80)      20      (100 -  80 =  20; сейчас же q =120, r = 20; Примечание д × 4 + г = 500.)      20      (  4 ×   5 = 20) 0 (20-20 = 0; сейчас q =125, г = 0; Примечание д × 4 + г = 500.)

Пример с многозначным делителем

Анимированный пример многозначного деления в столбик

Можно использовать делитель любого количества цифр. В этом примере 1260257 нужно разделить на 37. Сначала проблема ставится следующим образом:

           37)1260257

Цифры числа 1260257 используются до тех пор, пока не появится число больше или равное 37. Итак, 1 и 12 меньше 37, но 126 больше. Затем вычисляется наибольшее кратное 37, меньшее или равное 126. Итак, 3 × 37 = 111 <126, но 4 × 37> 126. Кратное 111 написано под 126, а 3 написано вверху, где появится решение:

         3        37)1260257       111

Внимательно отметьте, в какой столбец разрядов записаны эти цифры. 3 в частном находится в том же столбце (разряды десятков тысяч), что и 6 в дивиденде 1260257, который является тем же столбцом, что и последняя цифра 111.

Затем 111 вычитается из строки выше, игнорируя все цифры справа:

         3        37)1260257       111        15

Теперь цифра из следующего меньшего значения делимого копируется и добавляется к результату 15:

         3        37)1260257       111        150

Процесс повторяется: вычитается наибольшее кратное 37, меньшее или равное 150. Это 148 = 4 × 37, поэтому 4 добавляется сверху как следующая цифра частного. Затем результат вычитания расширяется на другую цифру, взятую из делимого:

         34       37)1260257       111        150        148          22

Наибольшее кратное 37 меньше или равно 22 равно 0 × 37 = 0. Вычитание 0 из 22 дает 22, мы часто не записываем шаг вычитания. Вместо этого мы просто берем еще одну цифру из делимого:

         340      37)1260257       111        150        148          225

Процесс повторяется до тех пор, пока 37 точно не разделит последнюю строку:

         34061    37)1260257       111        150        148          225          222            37

Смешанный режим с длинным делением

Для недесятичных валют (например, британской £ sd системы до 1971 года) и меры (такие как Avoirdupois ) смешанный режим необходимо использовать деление. Рассмотрим разделение 50 миль 600 ярдов на 37 частей:

          ми - ярд - фут - дюйм      1 - 634 1 9 р. 15 "    37)   50 -    600 -    0 -    0          37    22880     66    348          13    23480     66    348        1760    222       37    333       22880     128      29     15       =====     111     348     ==                  170    ===                  148                   22                   66                   ==

Каждый из четырех столбцов обрабатывается по очереди. Начиная с миль: 50/37 = 1 остаток 13. Дальнейшее деление невозможно, поэтому выполните длинное умножение на 1760, чтобы преобразовать мили в ярды, в результате получится 22 880 ярдов. Перенесите это в верхнюю часть столбца ярдов и добавьте его к 600 ярдам в дивиденде, получив 23 480. Деление в длину 23 480/37 теперь происходит как обычно, давая 634 с остатком 22. Остаток умножается на 3, чтобы получить футы и переноситься к столбцу футов. Деление стопы в длину дает 1 остаток 29, который затем умножается на двенадцать, чтобы получить 348 дюймов. Деление в длину продолжается, и в строке результата отображается последний остаток в 15 дюймов.

Интерпретация десятичных результатов

Когда частное не является целым числом, а процесс деления выходит за пределы десятичной точки, может произойти одно из двух:

1. Процесс может завершиться, что означает достижение остатка 0; или же
2. Может быть достигнут остаток, идентичный предыдущему остатку, который произошел после записи десятичных знаков. В последнем случае продолжение процесса было бы бессмысленным, потому что с этого момента одна и та же последовательность цифр будет появляться в частном снова и снова. Таким образом, поверх повторяющейся последовательности рисуется полоса, чтобы указать, что она повторяется вечно (т. Е. каждое рациональное число является либо завершающим, либо повторяющимся десятичным числом ).

Обозначение в неанглоязычных странах

Китай, Япония, Корея используют ту же нотацию, что и англоязычные страны, включая Индию. В других местах используются те же общие принципы, но часто фигуры расположены иначе.

Латинская Америка

В Латинская Америка (Кроме Аргентина, Боливия, Мексика, Колумбия, Парагвай, Венесуэла, Уругвай и Бразилия ) расчет почти такой же, но записывается иначе, как показано ниже, с теми же двумя примерами, использованными выше. Обычно частное пишется под чертой, проведенной под делителем. Справа от расчетов иногда проводят длинную вертикальную линию.

     500 ÷ 4 =  125   (Пояснения) 4                ( 4 ×  1 =  4)     10               ( 5 -  4 =  1)      8               ( 4 ×  2 =  8)      20              (10 -  8 =  2)      20              ( 4 ×  5 = 20)       0              (20 - 20 =  0)

и

     127 ÷ 4 = 31.75     124                                    30 (уменьшить 0; десятичное в частное) 28      (7 × 4 = 28) 20 (добавляется дополнительный ноль) 20     (5 × 4 = 20)          0

В Мексика, используется англоязычная нотация мира, за исключением того, что аннотируется только результат вычитания, а вычисление выполняется мысленно, как показано ниже:

     125     (Пояснения) 4) 500 10      ( 5 -  4 = 1)      20     (10 -  8 = 2)       0     (20 - 20 = 0)

В Боливия, Бразилия, Парагвай, Венесуэла, Квебек, Колумбия, и Перу используется европейская нотация (см. ниже), за исключением того, что частное не разделяется вертикальной линией, как показано ниже:

    127|4       −124 31,75      30     −28       20      −20        0

Такая же процедура применяется в Мексика, Уругвай и Аргентина, аннотируется только результат вычитания, а расчет выполняется мысленно.

Евразия

В Испании, Италии, Франции, Португалии, Литве, Румынии, Турции, Греции, Бельгии, Беларуси, Украине и России делитель находится справа от дивиденда и разделен вертикальной чертой. Деление также происходит в столбце, но частное (результат) записывается под разделителем и разделяется горизонтальной линией. Такой же метод используется в Иране и Монголии.

    127|4       −124|31,75      30     −28       20      −20        0

На Кипре, как и во Франции, длинная вертикальная черта отделяет дивиденд и последующие вычитания от частного и делителя, как в пример ниже 6359, разделенного на 17, что составляет 374 с остатком 1.

6	3	5	9	17
− 5	1			374
1	2	5
− 1	1	9
		6	9
	−	6	8
			1

Десятичные числа не делятся напрямую, делимое и делитель умножаются на степень десяти, так что деление включает два целых числа. Следовательно, если разделить 12,7 на 0,4 (вместо десятичных знаков используются запятые), делимое и делитель сначала будут изменены на 127 и 4, а затем деление будет продолжаться, как указано выше.

В Австрия, Германия и Швейцария, используется обозначенная форма нормального уравнения. : = , с двоеточием ":", обозначающим двоичный инфиксный символ для оператора деления (аналог "/" или "÷"). В этих областях десятичный разделитель записывается в виде запятой. (см. первый раздел о странах Латинской Америки выше, где это делается практически так же):

    127 : 4 = 31,75   −12     07     −4      30     −28       20      −20        0

Такие же обозначения приняты в Дания, Норвегия, Болгария, Северная Македония, Польша, Хорватия, Словения, Венгрия, Чехия, Словакия, Вьетнам И в Сербия.

в Нидерланды, используются следующие обозначения:

   12 / 135 \ 11,25        12         15         12          30          24           60           60            0

Алгоритм для произвольной базы

Смотрите также: Алгоритм деления § Длинное деление

Каждый натуральное число ${\displaystyle n}$ можно однозначно представить в произвольной база чисел ${\displaystyle b>1}$ как последовательность из цифры ${\displaystyle n=\alpha _{0}\alpha _{1}\alpha _{2}...\alpha _{k-1}}$ куда ${\displaystyle 0\leq \alpha _{i}<b}$ для всех ${\displaystyle 0\leq i<k}$, куда ${\displaystyle k}$ это количество цифр в ${\displaystyle n}$. Значение ${\displaystyle n}$ с точки зрения его цифр и основания

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}\alpha _{i}b^{k-i-1}}$

Позволять ${\displaystyle n}$ быть дивидендом и ${\displaystyle m}$ - делитель, где ${\displaystyle l}$ это количество цифр в ${\displaystyle m}$. Если ${\displaystyle k<l}$, тогда ${\displaystyle q=0}$ и ${\displaystyle r=n}$. В противном случае мы выполняем итерацию от ${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$, перед остановкой.

Для каждого итерация ${\displaystyle i}$, позволять ${\displaystyle q_{i}}$ быть частным, извлеченным на данный момент, ${\displaystyle d_{i}}$ быть промежуточным дивидендом, ${\displaystyle r_{i}}$ - промежуточный остаток, ${\displaystyle \alpha _{i}}$ быть следующей цифрой исходного дивиденда, и ${\displaystyle \beta _{i}}$ - следующая цифра частного. По определению цифр в базе ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle 0\leq \beta _{i}<b}$. По определению остатка ${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$. Все значения - натуральные числа. Мы инициируем

${\displaystyle q_{-1}=0}$

${\displaystyle r_{-1}=\sum _{i=0}^{l-2}\alpha _{i}b^{k-i-1}}$

первый ${\displaystyle l-1}$ цифры ${\displaystyle n}$.

На каждой итерации выполняются три уравнения:

${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}}$

${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$

Есть только один такой ${\displaystyle \beta _{i}}$ такой, что ${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$.

Доказательство существования и уникальности ${\displaystyle \beta _{i}}$ —

Согласно определению остатка ${\displaystyle r_{i}}$,

${\displaystyle 0\leq r_{i}<m}$

${\displaystyle 0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}-m\beta _{i}<m}$

${\displaystyle m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}+1)}$

Для левой части неравенства выбираем наибольшую ${\displaystyle \beta _{i}}$ такой, что

${\displaystyle m\beta _{i}\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

Всегда есть самый крупный такой ${\displaystyle \beta _{i}}$, потому что ${\displaystyle 0\leq \beta _{i}<b}$ и если ${\displaystyle \beta _{i}=0}$, тогда

${\displaystyle 0\leq br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$

но потому что ${\displaystyle b>1}$, ${\displaystyle r_{i-1}\geq 0}$, ${\displaystyle \alpha _{i+l-1}\geq 0}$, это всегда правда. Для правой части неравенства мы предполагаем, что существует наименьшее ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$ такой, что

${\displaystyle br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}<m(\beta _{i}^{\prime }+1)}$

Так как это самый маленький ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$ что неравенство выполняется, это должно означать, что для ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }-1}$

${\displaystyle br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}\geq m\beta _{i}^{\prime }}$

что в точности совпадает с левой частью неравенства. Таким образом, ${\displaystyle \beta _{i}=\beta _{i}^{\prime }}$. В качестве ${\displaystyle \beta _{i}}$ всегда будет существовать, так будет ${\displaystyle \beta _{i}^{\prime }}$ равно ${\displaystyle \beta _{i}}$, и есть только один уникальный ${\displaystyle \beta _{i}}$ что справедливо для неравенства. Таким образом, мы доказали существование и уникальность ${\displaystyle \beta _{i}}$.

Окончательное частное ${\displaystyle q=q_{k-l}}$ а последний остаток ${\displaystyle r=r_{k-l}}$

Примеры

В база 10, используя приведенный выше пример с ${\displaystyle n=1260257}$ и ${\displaystyle m=37}$, начальные значения ${\displaystyle q_{-1}=0}$ и ${\displaystyle r_{-1}=1}$.

${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$	${\displaystyle \alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle \beta _{i}}$	${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}}$	${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$
0	2	${\displaystyle 10\cdot 1+2=12}$	0	${\displaystyle 12-37\cdot 0=12}$	${\displaystyle 10\cdot 0+0=0}$
1	6	${\displaystyle 10\cdot 12+6=126}$	3	${\displaystyle 126-37\cdot 3=15}$	${\displaystyle 10\cdot 0+3=3}$
2	0	${\displaystyle 10\cdot 15+0=150}$	4	${\displaystyle 150-37\cdot 4=2}$	${\displaystyle 10\cdot 3+4=34}$
3	2	${\displaystyle 10\cdot 2+2=22}$	0	${\displaystyle 22-37\cdot 0=22}$	${\displaystyle 10\cdot 34+0=340}$
4	5	${\displaystyle 10\cdot 22+5=225}$	6	${\displaystyle 225-37\cdot 6=3}$	${\displaystyle 10\cdot 340+6=3406}$
5	7	${\displaystyle 10\cdot 3+7=37}$	1	${\displaystyle 37-37\cdot 1=0}$	${\displaystyle 10\cdot 3406+1=34061}$

Таким образом, ${\displaystyle q=34061}$ и ${\displaystyle r=0}$.

В база 16, с ${\displaystyle n={\text{f412df}}}$ и ${\displaystyle m=12}$, начальные значения равны ${\displaystyle q_{-1}=0}$ и ${\displaystyle r_{-1}={\text{f}}}$.

${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$	${\displaystyle \alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle \beta _{i}}$	${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}}$	${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$
0	4	${\displaystyle 10\cdot {\text{f}}+4={\text{f4}}}$	${\displaystyle {\text{d}}}$	${\displaystyle {\text{f4}}-12\cdot {\text{d}}={\text{a}}}$	${\displaystyle 10\cdot 0+{\text{d}}={\text{d}}}$
1	1	${\displaystyle 10\cdot {\text{a}}+1={\text{a1}}}$	8	${\displaystyle {\text{a1}}-12\cdot 8=11}$	${\displaystyle 10\cdot {\text{d}}+8={\text{d8}}}$
2	2	${\displaystyle 10\cdot 11+2=112}$	${\displaystyle {\text{f}}}$	${\displaystyle 112-12\cdot {\text{f}}=4}$	${\displaystyle 10\cdot {\text{d8}}+{\text{f}}={\text{d8f}}}$
3	${\displaystyle {\text{d}}=13}$	${\displaystyle 10\cdot 4+{\text{d}}={\text{4d}}}$	4	${\displaystyle {\text{4d}}-12\cdot 4=5}$	${\displaystyle 10\cdot {\text{d8f}}+4={\text{d8f4}}}$
4	${\displaystyle {\text{f}}=15}$	${\displaystyle 10\cdot 5+{\text{f}}={\text{5f}}}$	5	${\displaystyle {\text{5f}}-12\cdot 5=5}$	${\displaystyle 10\cdot {\text{d8f4}}+5={\text{d8f45}}}$

Таким образом, ${\displaystyle q={\text{d8f45}}}$ и ${\displaystyle r={\text{5}}}$.

Если у кого-то нет добавление, вычитание или таблицы умножения для базы б запомнен, то этот алгоритм все еще работает, если числа преобразованы в десятичный и в конце конвертируются обратно в базу б. Например, в приведенном выше примере

${\displaystyle n={\text{f412df}}_{16}=15\cdot 16^{5}+4\cdot 16^{4}+1\cdot 16^{3}+2\cdot 16^{2}+13\cdot 16^{1}+15\cdot 16^{0}}$

и

${\displaystyle m={\text{12}}_{16}=1\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}=18}$

с ${\displaystyle b=16}$. Начальные значения: ${\displaystyle q_{-1}=0}$ и ${\displaystyle r_{-1}=15}$.

${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$	${\displaystyle \alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle d_{i}=br_{i-1}+\alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle \beta _{i}}$	${\displaystyle r_{i}=d_{i}-m\beta _{i}}$	${\displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+\beta _{i}}$
0	4	${\displaystyle 16\cdot 15+4=244}$	${\displaystyle 13={\text{d}}}$	${\displaystyle 244-18\cdot 13=10}$	${\displaystyle 16\cdot 0+13=13}$
1	1	${\displaystyle 16\cdot 10+1=161}$	8	${\displaystyle 161-18\cdot 8=17}$	${\displaystyle 16\cdot 13+8}$
2	2	${\displaystyle 16\cdot 17+2=274}$	${\displaystyle 15={\text{f}}}$	${\displaystyle 274-18\cdot 15=4}$	${\displaystyle 16\cdot (16\cdot 13+8)+15=16^{2}\cdot 13+16\cdot 8+15}$
3	${\displaystyle {\text{d}}=13}$	${\displaystyle 16\cdot 4+13=77}$	4	${\displaystyle 77-18\cdot 4=5}$	${\displaystyle 16\cdot (16^{2}\cdot 13+16\cdot 8+15)+4=16^{3}\cdot 13+16^{2}\cdot 8+16\cdot 15+4}$
4	${\displaystyle {\text{f}}=15}$	${\displaystyle 16\cdot 5+15=95}$	5	${\displaystyle 95-18\cdot 5=5}$	${\displaystyle 16\cdot (16^{3}\cdot 13+16^{2}\cdot 8+16\cdot 15+4=16^{4}\cdot 13+16^{3}\cdot 8+16^{2}\cdot 15+16^{1}\cdot 4+5}$

Таким образом, ${\displaystyle q=16^{4}\cdot 13+16^{3}\cdot 8+16^{2}\cdot 15+16^{1}\cdot 4+5={\text{d8f45}}_{16}}$ и ${\displaystyle r=5={\text{5}}_{16}}$.

Этот алгоритм может быть выполнен с использованием тех же обозначений карандашом и бумагой, которые показаны в разделах выше.

          d8f45 р. 5 12) f412df еа          а1 90          112          10e            4d 48             5f 5а              5

Рациональные коэффициенты

Если частное не ограничивается целым числом, то алгоритм не завершается в течение ${\displaystyle i>k-l}$. Вместо этого, если ${\displaystyle i>k-l}$ тогда ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$ по определению. Если остаток ${\displaystyle r_{i}}$ равно нулю на любой итерации, то частное равно ${\displaystyle b}$-адическая дробь, и представлен как конечная десятичная дробь расширение базы ${\displaystyle b}$ позиционная запись. В противном случае это все равно Рациональное число но не ${\displaystyle b}$-адический рациональный, и вместо этого представлен как бесконечное повторяющаяся десятичная дробь расширение базы ${\displaystyle b}$ позиционная запись.

Бинарное деление

Смотрите также: Алгоритм деления § Целочисленное деление (без знака) с остатком, и Двоичное число § Деление

Расчет в рамках двоичная система счисления проще, потому что каждая цифра в курсе может быть только 1 или 0 - умножение не требуется, так как умножение на любую из них приводит к такое же количество или же нуль.

Если бы это было на компьютере, умножение на 10 можно было бы представить в виде битовый сдвиг 1 слева, и найдя ${\displaystyle \beta _{i}}$ сводится к логическая операция ${\displaystyle d_{i}\geq m}$, где true = 1 и false = 0. На каждой итерации ${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$, выполняются следующие операции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{i+l-1}\ &{\mathtt {=}}\ n\ {\mathtt {\&}}\ (1\ {\mathtt {<<}}\ (k+1-i-l))\\d_{i}\ &{\mathtt {=}}\ r_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\alpha _{i+l-1}\\\beta _{i}\ &{\mathtt {=}}\ {\mathtt {!}}(d_{i}<m)\\r_{i}\ &{\mathtt {=}}\ d_{i}-m\ {\mathtt {\&}}\ \beta _{I}\\q_{i}\ &{\mathtt {=}}\ q_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\beta _{I}\end{aligned}}}$

Например, с ${\displaystyle n=10111001}$ и ${\displaystyle m=1101}$, начальные значения равны ${\displaystyle q_{-1}=0}$ и ${\displaystyle r_{-1}=101}$.

${\displaystyle 0\leq i\leq k-l}$	${\displaystyle \alpha _{i+l-1}\ {\mathtt {=}}\ n\ {\mathtt {\&}}\ (1\ {\mathtt {<<}}\ (k+1-i-l))}$	${\displaystyle d_{i}\ {\mathtt {=}}\ r_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\alpha _{i+l-1}}$	${\displaystyle \beta _{i}\ {\mathtt {=}}\ !(d_{i}<m)}$	${\displaystyle r_{i}\ {\mathtt {=}}\ d_{i}-m\ {\mathtt {\&}}\ \beta _{i}}$	${\displaystyle q_{i}\ {\mathtt {=}}\ q_{i-1}\ {\mathtt {<<}}\ 1+\beta _{i}}$
0	1	1011	0	1011 − 0 = 1011	0
1	1	10111	1	10111 − 1101 = 1010	1
10	0	10100	1	10100 − 1101 = 111	11
11	0	1110	1	1110 − 1101 = 1	111
100	1	11	0	11 − 0 = 11	1110

Таким образом, ${\displaystyle q=1110}$ и ${\displaystyle r=11}$.

Спектакль

На каждой итерации наиболее трудоемкой задачей является выбор ${\displaystyle \beta _{i}}$. Мы знаем что есть ${\displaystyle b}$ возможные значения, поэтому мы можем найти ${\displaystyle \beta _{i}}$ с помощью ${\displaystyle O(\log(b))}$ сравнения. Каждое сравнение потребует оценки ${\displaystyle d_{i}-m\beta _{i}}$. Позволять ${\displaystyle k}$ быть количеством цифр в дивиденде ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle l}$ быть количеством цифр в делителе ${\displaystyle m}$. Количество цифр в ${\displaystyle d_{i}\leq l+1}$. Умножение ${\displaystyle m\beta _{i}}$ следовательно является ${\displaystyle O(l)}$, а также вычитание ${\displaystyle d_{i}-m\beta _{i}}$. Таким образом, требуется ${\displaystyle O(l\log(b))}$ выбирать ${\displaystyle \beta _{i}}$. Оставшаяся часть алгоритма - это сложение и сдвиг цифр ${\displaystyle q_{i}}$ и ${\displaystyle r_{i}}$ слева одна цифра, и это требует времени ${\displaystyle O(k)}$ и ${\displaystyle O(l)}$ в базе ${\displaystyle b}$, поэтому каждая итерация занимает ${\displaystyle O(l\log(b)+k+l)}$, или просто ${\displaystyle O(l\log(b)+k)}$. Для всех ${\displaystyle k-l+1}$ цифры, алгоритм требует времени ${\displaystyle O((k-1)(l\log(b)+k))}$, или же ${\displaystyle O(kl\log(b)+k^{2})}$ в базе ${\displaystyle b}$.

Обобщения

Рациональное число

Длинное деление целых чисел можно легко расширить, включив в него нецелые дивиденды, если они рациональный. Это потому, что каждое рациональное число имеет повторяющаяся десятичная дробь расширение. Процедуру также можно расширить, включив в нее делители, которые имеют конечный или завершающий десятичный расширение (т.е. десятичные дроби ). В этом случае процедура включает в себя умножение делителя и делимого на соответствующую степень десяти так, чтобы новый делитель был целым числом, используя тот факт, что а ÷ б = (ок) ÷ (cb) - а затем действуйте, как указано выше.

Полиномы

Обобщенная версия этого метода называется полиномиальное деление в столбик также используется для разделения многочлены (иногда используется сокращенная версия, называемая синтетическое подразделение ).

Смотрите также

• Алгоризм
• Арифметика произвольной точности
• Египетское умножение и деление
• Элементарная арифметика
• Деление Фурье
• Полиномиальное деление в столбик
• Алгоритм смещения корня n-й степени - для поиска квадратный корень или любой n-й корень из числа
• Короткое деление

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. "Длинный дивизион". MathWorld.
2. "Полное руководство по высшей математике по делению в столбик и его вариантам - для целых чисел". Математическое хранилище. 2019-02-24. Получено 2019-06-21.
3. «Исламская математика». new.math.uiuc.edu. Получено 2016-03-31.
4. «Генри Бриггс - Оксфордский справочник».
5. Кляйн, Милгрэм. «Роль длинного деления в учебной программе K-12» (PDF). CiteSeer. Получено 21 июня, 2019.
6. Николсон, В. Кейт (2012), Введение в абстрактную алгебру, 4-е изд., John Wiley & Sons, стр.206.
7. «Символ длинного деления», Вольфрам MathWorld, получено 11 февраля 2016.
8. Миллер, Джефф (2010), «Символы операции», Самые ранние случаи использования различных математических символов.
9. Хилл, Джон (1772 г.) [Впервые опубликовано в 1712 г.], Арифметика как в теории, так и на практике (11-е изд.), Лондон: Straben et al., P. 200, получено 12 февраля 2016

внешняя ссылка

• Алгоритм длинного деления
• [1] Длинное деление и лемма Евклида