Элементарная арифметика - Elementary arithmetic

Основные элементарные арифметические символы.

Элементарная арифметика это упрощенная часть арифметика что включает в себя операции добавление, вычитание, умножение, и разделение. Не следует путать с арифметика элементарных функций.

Элементарная арифметика начинается с натуральные числа и письменные символы (цифры ), которые их представляют. Процесс объединения пары этих чисел с четырьмя основными операциями традиционно основан на запомненных результатах для небольших значений чисел, включая содержимое Таблица умножения чтобы помочь с умножением и делением.

Элементарная арифметика также включает фракции и отрицательные числа, который можно представить на числовая строка.

Цифры

Основная статья: Цифровая цифра

Цифры - это полный набор символов, используемых для представления чисел. В частности система счисления, одна цифра представляет собой сумму, отличную от любой другой цифры, хотя символы в одной и той же системе счисления могут различаться в зависимости от культуры.

В современном использовании арабские цифры являются наиболее распространенным набором символов, и наиболее часто используемой формой этих цифр является западный стиль. Каждая отдельная цифра, если используется как отдельный номер, соответствует следующим числам:
0, нуль. Используется при отсутствии объектов для подсчета. Например, можно по-другому сказать «здесь нет палочек», это сказать «здесь палочек 0».
1, один. Применяется к отдельному предмету. Например, вот одна палка: я
2, два. Применяется к паре предметов. Вот две палочки: Я я
3, три. Применяется к трем предметам. Вот три палочки: Я я я
4, четыре. Применяется к четырем предметам. Вот четыре палочки: Я я я я
5, пять. Применяется к пяти предметам. Вот пять палочек: Я я я я я
6, шесть. Применяется к шести предметам. Вот шесть палочек: Я я я я я я
7, Семь. Применено к семи предметам. Вот семь палочек: Я я я я я я я
8, 8. Применено к восьми предметам. Вот восемь палочек: Я Я Я Я Я Я Я Я
9, 9. Применяется к девяти предметам. Вот девять палочек: Я Я Я Я Я Я Я Я Я

Любая система счисления определяет значение всех чисел, которые содержат более одной цифры, чаще всего путем добавления значения для соседних цифр. В Индусско-арабская система счисления включает позиционная запись чтобы определить значение любой цифры. В системе этого типа увеличение значения дополнительной цифры включает одно или несколько умножений на основание значение, и результат добавляется к значению соседней цифры. При использовании арабских цифр по основанию системы счисления десять получается значение двадцать один (равное 2×10 + 1) для цифры "21". Дополнительное умножение на значение системы счисления происходит для каждой дополнительной цифры, поэтому число «201» представляет собой значение двести и один (равное 2×10×10 + 0×10 + 1).

Начальный уровень обучения обычно включает понимание ценности индивидуального целые числа с использованием арабских цифр максимум из семи цифр и выполнение четырех основных операций с использованием арабских цифр максимум из четырех цифр каждая.

Добавление

Основная статья: Добавление

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Когда два числа складываются вместе, результат называется сумма. Два сложенных числа называются добавляет.

Что значит сложить два натуральных числа?

Предположим, у вас есть две сумки: одна сумка с пятью яблоками, а вторая - с тремя яблоками. Взяв третий пустой мешок, переместите все яблоки из первого и второго пакетов в третий. В третьем мешочке теперь восемь яблок. Это иллюстрирует сочетание трех яблок и пяти яблок - восемь яблок; или в более общем смысле: «три плюс пять равно восьми» или «три плюс пять равно восьми» или «восемь - это сумма трех и пяти». Числа абстрактны, и добавление группы из трех вещей к группе из пяти даст группу из восьми вещей. Добавление - это перегруппировка: два набора объектов, которые были подсчитаны отдельно, помещаются в одну группу и считаются вместе: счет новой группы является «суммой» отдельных подсчетов двух исходных групп.

Эта операция объединение это только одно из нескольких возможных значений, которые может иметь математическая операция сложения. Другие значения для добавления включают:

• сравнение («У Тома 5 яблок. У Джейн на 3 яблока больше, чем у Тома. Сколько яблок у Джейн?»),
• присоединение («У Тома 5 яблок. Джейн дает ему еще 3 яблока. Сколько яблок сейчас у Тома?»),
• измерение («Стол Тома 3 фута в ширину. У Джейн также 3 фута в ширину. Насколько широкими будут их столы, когда они будут собраны вместе?»),
• и даже иногда разделение («У Тома было несколько яблок. Он дал 3 Джейн. Теперь у него их 5. Со сколькими он начал?»).

Символически сложение представлено знаком "знак плюс ": +. Таким образом, выражение" три плюс пять равно восемь "можно символически записать как 3 + 5 = 8. Порядок, в котором добавляются два числа, не имеет значения, поэтому 3 + 5 = 5 + 3 = 8. Это коммутативный свойство сложения.

Чтобы добавить пару цифр с помощью таблицы, найдите пересечение строки первой цифры со столбцом второй цифры: строка и столбец пересекаются в квадрате, содержащем сумму двух цифр. Некоторые пары цифр в сумме дают двузначные числа, при этом цифра десятков всегда равна 1. В алгоритме сложения цифра десятков суммы пары цифр называется "нести цифра ".

Алгоритм сложения

Для простоты рассматривайте только числа, состоящие из трех или менее цифр. Чтобы сложить пару чисел (написанных арабскими цифрами), напишите второе число под первым так, чтобы цифры выстроились в столбцы: крайний правый столбец будет содержать однозначную цифру второго числа под единичной цифрой числа. первый номер. Этот крайний правый столбец является столбцом с единицами. Столбец слева от него - столбец с десятками. В столбце с десятками будет цифра десятков второго числа (если она есть) под цифрой десятков первого числа (если она есть). Столбец сразу слева от столбца десятков - это столбец сотен. Столбец с сотнями выровнял бы разряды сотен второго числа (если они есть) под разрядами сотен первого числа (если оно есть).

После того, как второе число будет записано под первым так, чтобы цифры выстроились в свои правильные столбцы, проведите линию под вторым (нижним) числом. Начните с столбца единиц: столбец единиц должен содержать пару цифр: единичную цифру первого числа и под ним единичную цифру второго числа. Найдите сумму этих двух цифр: запишите эту сумму под чертой и в столбце единиц. Если в сумме две цифры, запишите только однозначную цифру суммы. Напишите «цифру переноса» над верхней цифрой следующего столбца: в этом случае следующий столбец - это столбец с десятками, поэтому напишите 1 над цифрой десятков первого числа.

Если и первое, и второе число имеют только одну цифру, их сумма указывается в таблице сложения, и алгоритм сложения не требуется.

Затем идет столбец десятков. Столбец десятков может содержать две цифры: разряд десятков первого числа и разряд десятков второго числа. Если в одном из чисел отсутствует цифра десятков, то цифра десятков для этого числа может считаться равной нулю. Сложите цифры десятков двух чисел. Затем, если есть цифра переноса, добавьте ее к этой сумме. Если сумма была 18, то добавление к ней цифры переноса даст 19. Если сумма разрядов десятков (плюс цифра переноса, если она есть) меньше десяти, запишите ее в столбец десятков под линией. Если сумма состоит из двух цифр, запишите ее последнюю цифру в столбце десятков под строкой и перенесите первую цифру (которая должна быть 1) в следующий столбец: в данном случае столбец с сотнями.

Если ни одно из двух чисел не содержит сотен цифр, то если нет цифры переноса, то алгоритм сложения завершен. Если есть цифра переноса (перенесенная из столбца десятков), запишите ее в столбце сотен под строкой, и алгоритм будет завершен. Когда алгоритм завершится, число под линией будет суммой двух чисел.

Если хотя бы одно из чисел состоит из сотен цифр, тогда, если в одном из чисел отсутствует сотня цифр, запишите вместо него цифру 0. Сложите две сотни цифр и к их сумме добавьте цифру переноса, если она есть. Затем запишите сумму в столбце сотен под линией, также в столбце сотен. Если сумма состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру суммы в столбце сотен и запишите цифру переноса слева: в столбце тысяч.

Пример

Чтобы найти сумму чисел 653 и 274, запишите второе число под первым, выровняв цифры по столбцам, как показано ниже:

6	5	3
2	7	4

Затем проведите черту под вторым числом и поставьте знак плюса. Сложение начинается с единицы-столбца. Однозначная цифра первого числа - 3, второго - 4. Сумма трех и четырех равна семи, поэтому напишите 7 в столбце единиц под строкой:

	6	5	3
+	2	7	4
			7

Далее столбик с десятками. Разряд десятков первого числа равен 5, а цифра десятков второго числа - 7. 5 плюс 7 равно 12, которое состоит из двух цифр, поэтому запишите его последнюю цифру, 2, в столбце десятков под строкой. , и напишите цифру переноса в столбце сотен над первым числом:

	1
	6	5	3
+	2	7	4
		2	7

Далее столбец сотен. Цифра сотен первого числа - 6, а разряда сотен второго числа - 2. Сумма шести и двух равна восьми, но есть цифра переноса, которая в сумме с восемью равна девяти. Напишите 9 под строкой в ​​столбце с сотнями:

	1
	6	5	3
+	2	7	4
	9	2	7

Никакие цифры (и никакие столбцы) не были оставлены без добавления, поэтому алгоритм завершается, давая в результате следующее уравнение:

653 + 274 = 927

Наследование и размер

Результатом добавления единицы к числу является преемник из этого числа. Примеры:
наследник нуля равен единице,
наследник одного - два,
наследник двух - три,
наследник десяти - одиннадцать.
У каждого натурального числа есть преемник.

Предшественником преемника числа является само число. Например, пять является преемником четырех, поэтому четыре предшествует пяти. Каждое натуральное число, кроме нуля, имеет предшественника.

Если число является преемником другого числа, то говорят, что первое число лучше чем другой номер. Если число больше другого числа, и если другое число больше третьего числа, то первое число также больше третьего числа. Пример: пять больше четырех, а четыре больше трех, поэтому пять больше трех. Но шесть больше пяти, поэтому шесть также больше трех. Но семь больше шести, следовательно, семь больше трех ... следовательно, восемь больше трех ... следовательно девять больше трех и т. Д.

Если сложить два ненулевых натуральных числа, то их сумма больше любого из них. Пример: три плюс пять равно восемь, следовательно, восемь больше трех (8 > 3) и восемь больше пяти (8 > 5). Символ «больше» ->.

Если одно число больше другого, то другое меньше, чем первый. Примеры: три меньше восьми (3 < 8) и пять меньше восьми (5 < 8). Символ «меньше» - <. Число не может быть одновременно больше и меньше другого числа. Также число не может быть одновременно большим и равным другому числу. Для пары натуральных чисел должен выполняться только один из следующих случаев:

• первое число больше второго,
• первое число равно второму,
• первое число меньше второго.

Подсчет

Подсчет группы объектов означает присвоение натурального числа каждому из объектов, как если бы это была метка для этого объекта, так что натуральное число никогда не присваивается объекту, если его предшественник уже не был назначен другому объекту, за исключением того, что ноль не присваивается ни одному объекту: наименьшее натуральное число, которое должно быть присвоено, равно единице, а наибольшее присваиваемое натуральное число зависит от размера группы. Это называется счет и он равен количеству объектов в этой группе.

Процесс подсчет группа следующая:

1. Пусть «счетчик» будет равен нулю. «Счетчик» - это переменная величина, значение которой, хотя и начинается с нуля, вскоре изменится несколько раз.
2. Найдите хотя бы один объект в группе, который не имеет натурального числа. Если такой объект не может быть найден (если все они были помечены), то подсчет завершен. В противном случае выберите один из непомеченных объектов.
3. Увеличьте счет на единицу. То есть заменить значение счетчика его преемником.
4. Назначьте новое значение счетчика в качестве метки для немаркированного объекта, выбранного на шаге 2.
5. Вернитесь к шагу 2.

Когда подсчет закончен, последнее значение будет окончательным. Это количество равно количеству объектов в группе.

Часто при подсчете объектов не отслеживается, какая числовая метка соответствует какому объекту: отслеживается только подгруппа объектов, которые уже были помечены, чтобы иметь возможность идентифицировать немаркированные объекты, необходимые для шага 2. Однако , если кто-то считает людей, то можно попросить людей, которые подсчитываются для каждого, отслеживать номер, который был присвоен этому человеку. После завершения подсчета можно попросить группу людей выстроиться в линию в порядке увеличения числовой метки. То, что люди будут делать в процессе выстраивания, будет примерно таким: каждая пара людей, не уверенных в своем положении в очереди, спрашивает друг друга, каковы их числа: человек, чье число меньше, должен стоять с левой стороны. и тот, у которого номер больше, справа от другого человека. Таким образом, пары людей сравнивают свои числа и свои позиции и меняют свои позиции по мере необходимости, и посредством повторения таких условных коммутаций они становятся упорядоченными.

В высшей математике процесс счета можно также сравнить с построением индивидуальная переписка (иначе говоря, биекция) между элементами набора и набором {1, ..., n} (где n - натуральное число). Как только такое соответствие установлено, первый набор называется размером n.

Вычитание

Основная статья: Вычитание

Вычитание - это математическая операция, описывающая уменьшенное количество. Результатом этой операции является разница между двумя числами уменьшаемое и вычитаемое. Как и сложение, вычитание может иметь несколько интерпретаций, например:

• разделение («У Тома 8 яблок. Он раздает 3 яблока. Сколько у него осталось?»)
• сравнение («У Тома 8 яблок. У Джейн на 3 яблока меньше, чем у Тома. Сколько у Джейн?»)
• объединение («У Тома 8 яблок. Три яблока зеленые, а остальные красные. Сколько красных?»)
• и иногда присоединение («У Тома было несколько яблок. Джейн дала ему еще 3 яблока, так что теперь у него 8 яблок. Со скольких он начал?»).

Как и в случае с дополнением, есть и другие возможные интерпретации, например движение.

Символично, что знак минус («-») представляет операцию вычитания. Таким образом, выражение «пять минус три равняется двум» также записывается как 5 − 3 = 2. В элементарной арифметике вычитание использует меньшие положительные числа для всех значений, чтобы получить более простые решения.

В отличие от сложения, вычитание не коммутативно, поэтому порядок чисел в операции может изменить результат. Поэтому каждому номеру присваивается свое отличительное имя. Первое число (5 в предыдущем примере) формально определяется как уменьшаемое и второе число (3 в предыдущем примере) как вычитаемое. Значение minuend больше, чем значение вычитаемого, так что результат является положительным числом, но меньшее значение minuend приведет к отрицательные числа.

Есть несколько методов вычитания. Метод, который в Соединенные Штаты упоминается как традиционная математика учит учеников начальной школы вычитанию, используя методы, подходящие для ручного расчета.^[1] Конкретный используемый метод варьируется от страны к стране, и внутри страны в разное время в моде разные методы. Реформировать математику обычно отличается отсутствием предпочтения какой-либо конкретной техники, заменяется наставлением учеников 2-го класса изобретать свои собственные методы вычислений, такие как использование свойств отрицательных чисел в случае TERC.

В настоящее время в американских школах преподают метод вычитания с использованием заимствований и систему маркировки, называемую костылями. Хотя метод заимствования был известен и опубликован в учебниках ранее, очевидно, костыли - изобретение Уильяма А. Броуэлла, который использовал их в исследовании в ноябре 1937 года. [1]. Эта система быстро прижилась, вытеснив другие методы вычитания, использовавшиеся в то время в Америке.

Студенты в некоторых европейских странах обучаются, а некоторые пожилые американцы используют метод вычитания, называемый австрийским методом, также известный как метод сложения. В этом методе нет заимствования. Есть также костыли (маркировка, помогающая запоминать), которые [вероятно] различаются в зависимости от страны.

В методе заимствования вычитание, например 86 − 39 выполнит однозначное вычитание 9 из 6, заимствуя 10 из 80 и прибавив его к 6. Таким образом, задача преобразуется в (70 + 16) − 39, эффективно. На это указывает зачеркнув 8, напишите маленькую 7 над ней и маленькую 1 над 6. Эти отметки называются костыли. Затем 9 вычитается из 16, оставляя 7, а 30 из 70, в результате остается 40 или 47.

В методе сложения 10 заимствуется, чтобы превратить 6 в 16, при подготовке к вычитанию 9, как и в методе заимствования. Однако 10 не берется путем уменьшения уменьшаемого, а увеличивается вычитаемое. Фактически проблема трансформируется в (80 + 16) − (39 + 10). Обычно костыль маленького размера отмечается чуть ниже вычитаемой цифры в качестве напоминания. Затем операции продолжаются: 9 из 16 - 7; и 40 (то есть 30 + 10) из 80 получается 40 или 47 в результате.

Кажется, что метод сложений преподается в двух вариантах, которые различаются только психологией. Продолжая пример 86 − 39, первая вариация пытается вычесть 9 из 6, а затем 9 из 16, заимствуя 10, отмечая рядом с цифрой вычитаемого значения в следующем столбце. Второй вариант пытается найти цифру, которая при добавлении к 9 дает 6, и, признавая, что это невозможно, дает 16 и переносит 10 из 16 как единицу, отмечая ту же цифру, что и в первом методе. Маркировка такая же; это просто вопрос предпочтения того, как объяснить его появление.

В качестве последнего предостережения, метод заимствования становится немного сложнее в таких случаях, как 100 − 87, где заимствование не может быть получено немедленно и должно быть получено через несколько столбцов. В этом случае minuend эффективно переписывается как 90 + 10, взяв 100 из сотен, сделав из него десять десятков, сразу же заимствуя это до девяти десятков в столбце десятков и, наконец, поместив 10 в столбец единиц.

Умножение

Основная статья: Умножение

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81

Когда два числа умножаются вместе, результат называется товар. Два умножаемых числа называются факторы, с умножаемое и множитель также использовал.

Что значит умножить два натуральных числа?

Предположим, есть пять красных мешков, в каждом по три яблока. Теперь, взяв пустой зеленый пакет, переместите все яблоки из всех пяти красных пакетов в зеленый. Теперь в зеленом мешочке будет пятнадцать яблок.
Таким образом, произведение пяти на три равно пятнадцати.
Это также можно сформулировать как «пять умножить на три равно пятнадцать», или «пять умножить на три равно пятнадцать», или «пятнадцать - это произведение пяти и трех». Умножение можно рассматривать как форму повторное добавление: первый фактор указывает, сколько раз второй фактор встречается при повторном сложении; конечная сумма - продукт.

Символически умножение представлено знак умножения: ×. Таким образом, выражение «пять умножить на три равно пятнадцать» можно символически записать как

${\displaystyle 5\times 3=15.}$

В некоторых странах и в более продвинутой арифметике используются другие знаки умножения, например 5 ⋅ 3. В некоторых ситуациях, особенно в алгебра, где числа могут быть обозначены буквами, символ умножения может быть опущен; например ху средства Икс × у. Порядок, в котором умножаются два числа, не имеет значения, так что, например, три раза по четыре равно четыре раза по три. Это коммутативная собственность умножения.

Чтобы умножить пару цифр с помощью таблицы, найдите пересечение строки первой цифры со столбцом второй цифры: строка и столбец пересекаются в квадрате, содержащем произведение двух цифр. Большинство пар цифр дают двузначные числа. В алгоритме умножения десятичный разряд произведения пары цифр называется "нести цифра ".

Алгоритм умножения на однозначный множитель

Рассмотрим умножение, в котором один из множителей состоит из нескольких цифр, а другой множитель - только из одной цифры. Запишите множитель из нескольких цифр, а затем укажите множитель из одной цифры под самой правой цифрой множителя из нескольких цифр. Проведите горизонтальную линию под однозначным множителем. Впредь множитель многозначный будет называться умножаемое, а однозначный множитель назовем множитель.

Предположим для простоты, что множимое состоит из трех цифр. Самая левая цифра - это сотня, средняя цифра - десятки, а самая правая цифра - единицы. Множитель состоит только из одной цифры. Единичные цифры множимого и множителя образуют столбец: единицы-столбец.

Начните со столбца с единицами: столбец с единицами должен содержать пару цифр: единичную цифру множимого и под ней единичную цифру множителя. Найдите произведение этих двух цифр: напишите это произведение под чертой и в столбце единиц. Если в продукте две цифры, запишите только одну цифру продукта. Запишите «цифру переноса» как верхний индекс еще не записанной цифры в следующем столбце и под строкой: в этом случае следующий столбец - это столбец десятков, поэтому запишите цифру переноса как верхний индекс еще не записанных десятков. -цифра изделия (под линией).

Если и первое, и второе число имеют только одну цифру, то их произведение указывается в таблице умножения, что делает алгоритм умножения ненужным.

Затем идет столбец десятков. Столбец десятков пока содержит только одну цифру: цифру десятков множимого (хотя он может содержать цифру переноса под линией). Найдите произведение множителя и разряда десятков множимого. Затем, если есть цифра переноса (надстрочная, под линией и в столбце десятков), добавьте ее к этому продукту. Если полученная сумма меньше десяти, запишите ее в столбец десятков под строкой. Если сумма состоит из двух цифр, запишите ее последнюю цифру в столбце десятков под строкой и перенесите первую цифру в следующий столбец: в данном случае столбец сотен.

Если множимое не имеет сотен разряда, то если нет цифры переноса, то алгоритм умножения завершен. Если есть цифра переноса (перенесенная из столбца десятков), запишите ее в столбце сотен под строкой, и алгоритм будет завершен. Когда алгоритм завершится, число под линией будет произведением двух чисел.

Если множимое состоит из сотен цифр, найдите произведение множителя и сотен цифр множимого и добавьте к этому произведению цифру переноса, если она есть. Затем запишите итоговую сумму в столбце сотен под линией, также в столбце сотен. Если сумма состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру суммы в столбце сотен и запишите цифру переноса слева от нее: в столбце тысяч.

Пример

Чтобы найти произведение чисел 3 и 729, запишите однозначный множитель под многозначным множимым, а множитель - под однозначным множителем, как показано ниже:

7	2	9
		3

Затем нарисуйте линию под множителем и поставьте символ умножения. Умножение начинается со столбца единиц. Единичная цифра множимого - 9, а множитель - 3. Произведение 3 и 9 равно 27, поэтому напишите 7 в столбце единиц под строкой, а цифру переноса 2 - в качестве верхнего индекса еще - неписаные десятки продукта под строкой:

	7	2	9
×			3
		^2	7

Далее столбик с десятками. Разрядные десятки множимого равны 2, множитель 3, а трижды два - шесть. Добавьте цифру переноса 2 к произведению 6, чтобы получить 8. У восьмерки только одна цифра: цифра переноса отсутствует, поэтому напишите в столбце десятков под линией. Теперь вы можете стереть два.

	7	2	9
×			3
		8	7

Далее столбец сотен. Сотни цифр множимого - 7, а множитель - 3. Произведение 3 и 7 равно 21, и предыдущей цифры переноса (перенесенной из столбца десятков) нет. У произведения 21 две цифры: запишите последнюю цифру в столбце сотен под строкой, затем перенесите первую цифру в столбец тысяч. Поскольку множимое не имеет разряда тысяч, запишите эту цифру переноса в столбец тысяч под строкой (без надстрочного индекса):

	7	2	9
×			3
2	1	8	7

Ни одна цифра множимого не осталась не умноженной, поэтому алгоритм завершается, давая в результате следующее уравнение:

${\displaystyle 3\times 729=2187}$

Алгоритм умножения многозначных множителей

Для пары факторов, каждый из которых имеет две или более цифр, запишите оба фактора, один под другим, чтобы цифры выстроились в столбцы.

Для простоты рассмотрим пару трехзначных чисел. Запишите последнюю цифру второго числа под последней цифрой первого числа, образуя столбец единиц. Сразу слева от столбца единиц будет столбец десятков: вверху этого столбца будет вторая цифра первого числа, а под ним будет вторая цифра второго числа. Сразу слева от столбца десятков будет столбец сотен: в верхней части этого столбца будет первая цифра первого числа, а под ним будет первая цифра второго числа. Записав оба фактора, проведите линию под вторым фактором.

Умножение будет состоять из двух частей. Первая часть будет состоять из нескольких умножений с использованием однозначных множителей. Работа каждого из таких умножений уже была описана в предыдущем алгоритме умножения, поэтому этот алгоритм не будет описывать каждое из них по отдельности, а будет описывать только то, как должны быть скоординированы несколько умножений с однозначными множителями. Вторая часть суммирует все промежуточные продукты первой части, и полученная сумма будет произведением.

Первая часть. Назовем первый множитель множимым. Назовем каждую цифру второго множителя множителем. Назовем единичную цифру второго множителя «множителем единиц». Назовем цифру десятков второго множителя «множителем десятков». Назовем сотню разряда второго множителя «множителем сотен».

Начнем с одинарного столбца. Найдите произведение множителя единиц и множимого и запишите его в строке под линией, выровняв цифры произведения в ранее определенных столбцах. Если продукт состоит из четырех цифр, то первая цифра будет началом столбца тысяч. Назовем этот продукт «однорядным».

Потом десятки-столбец. Найдите произведение множителя десятков и множимого и запишите его в строку - назовите это «строкой десятков» - под строкой единиц, но сдвинул один столбец влево. То есть, единица разряда десятков будет в столбце десятков строки единиц; цифра десятков в строке десятков будет меньше цифры сотен в строке единиц; цифра сотен разряда десятков будет ниже разряда тысяч в ряду единиц. Если в строке с десятками четыре цифры, то первая цифра будет началом столбца с десятками тысяч.

Далее столбец сотен. Найдите произведение множителя сотен и множимого и запишите его в ряд - назовите его «строкой сотен» - под строкой десятков, но со смещением еще одного столбца влево. То есть единичная цифра в строке сотен будет в столбце сотен; цифра десятков в строке сотен будет в столбце тысяч; цифра сотен в строке сотен будет в столбце десятков тысяч. Если в строке с сотнями четыре цифры, то первая цифра будет началом столбца с сотнями тысяч.

После того, как вы опустили ряды единиц, ряд десятков и ряд сотен, проведите горизонтальную линию под рядом сотен. Умножения окончены.

Вторая часть. Теперь у умножения есть пара прямых. Первый - по паре факторов, а второй - по трем рядам субпродуктов. Под второй строкой будет шесть столбцов, которые будут следующими справа налево: столбец с единицами, столбец с десятками, столбец с сотнями, столбец с тысячами, столбец с десятками тысяч и столбец с сотнями тысяч.

Между первой и второй строками столбец из единиц будет содержать только одну цифру, расположенную в строке из единиц: это цифра из единиц строки из единиц. Скопируйте эту цифру, переписав ее в столбце единиц под второй строкой.

Между первой и второй строками столбец десятков будет содержать пару цифр, расположенных в строке единиц и строке десятков: цифра десятков в строке единиц и цифра единиц в строке десятков. Сложите эти цифры и, если в сумме всего одна цифра, запишите эту цифру в столбце десятков под второй строкой. Если сумма состоит из двух цифр, то первая цифра является переносимой: запишите последнюю цифру в столбце десятков под второй строкой и перенесите первую цифру в столбец сотен, записав ее как надстрочный индекс до - неписаные сотни цифр под второй строкой.

Между первой и второй строками столбец сотен будет содержать три цифры: цифру сотен в строке единиц, цифру десятков в строке десятков и цифру единиц в строке сотен. Найдите сумму этих трех цифр, затем, если есть цифра переноса из столбца десятков (написанная надстрочным индексом под второй строкой в ​​столбце сотен), тогда добавьте эту цифру переноса. Если полученная сумма состоит из одной цифры, запишите ее под второй строкой в ​​столбце сотен; если он состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру под строкой в ​​столбце с сотнями и перенесите первую цифру в столбец с тысячами, записав ее как надстрочный индекс к еще не записанной цифре тысяч под строкой.

Между первой и второй строками столбец тысяч будет содержать либо две, либо три цифры: цифру сотен в строке десятков, цифру десятков в строке сотен и (возможно) цифру тысяч единиц. -ряд. Найдите сумму этих цифр, затем, если есть цифра переноса из столбца сотен (написана надстрочным индексом под второй строкой в ​​столбце тысяч), затем добавьте эту цифру переноса. Если полученная сумма состоит из одной цифры, запишите ее под второй строкой в ​​столбце тысяч; если в нем две цифры, то запишите последнюю цифру под строкой в ​​столбце тысяч и перенесите первую цифру в столбец с десятью тысячами, записав ее в виде надстрочного индекса к еще не записанным десяти тысячным цифрам под линия.

Между первой и второй строками столбец с десятками тысяч будет содержать одну или две цифры: цифру сотен столбца сотен и (возможно) цифру тысяч столбца десятков. Найдите сумму этих цифр (если отсутствует цифра в строке десятков, представьте ее как 0), и если есть цифра переноса из столбца тысяч (написанная надстрочным индексом под второй строкой в ​​десятичной строке). столбец тысяч), затем добавьте эту цифру переноса. Если полученная сумма состоит из одной цифры, запишите ее под второй строкой в ​​столбце десяти тысяч; если он состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру под строкой в ​​столбце с десятью тысячами и перенесите первую цифру в столбец с сотнями тысяч, записав ее как надстрочный индекс к еще не записанной цифре в сто тысяч под линией. Однако, если в сотне-строке нет тысячи цифр, тогда не записывайте эту переносимую цифру в качестве надстрочного индекса, а записывайте ее с нормальным размером, в позиции сотен тысяч цифр под второй строкой, и алгоритм умножения завершится. .

Если в строке сотен есть тысяча цифр, добавьте к ней цифру переноса из предыдущей строки (если цифры переноса нет, подумайте о ней как о 0) и запишите однозначную сумму в сотню. -тысячный столбец под второй строкой.

Число под второй строкой - это искомое произведение пары факторов над первой строкой.

Пример

Наша цель - найти произведение 789 и 345. Напишите 345 под 789 в трех столбцах и проведите под ними горизонтальную линию:

7	8	9
3	4	5

Первая часть. Начнем с одинарного столбца. Множаемое равно 789, а множитель единиц - 5. Произведите умножение подряд под линией:

	7	8	9
×	3	4	5
3	9^4	4^4	5

Потом десятки-столбец. Множаемое равно 789, а множитель десятков - 4. Произведите умножение в строке с десятками под предыдущим промежуточным произведением в строке с единицами, но со смещением на один столбец влево:

		7	8	9
	×	3	4	5
	3	9^4	4^4	5
3	1^3	5^3	6

Далее столбец сотен. Множаемое снова равно 789, а множитель сотен равно 3. Произведите умножение в строке сотен под предыдущим промежуточным произведением в строке десятков, но со смещением на один (более) столбец влево. Затем проведите горизонтальную линию под сотнями строк:

				7	8	9
			×	3	4	5
			3	9^4	4^4	5
		3	1^3	5^3	6
+	2	3^2	6^2	7

Вторая часть. Теперь добавьте промежуточные продукты между первой и второй строками, игнорируя любые цифры переноса с надстрочным индексом, расположенные между первой и второй строками.

				7	8	9
			×	3	4	5
			3	9^4	4^4	5
		3	1^3	5^3	6
+	2	3^2	6^2	7
	2	7^1	2^2	2^1	0	5

Ответ

${\displaystyle 789\times 345=272205}$.

Разделение

Основные статьи: Дивизион (математика) и Длинное деление

В математика, особенно в элементарных арифметика, разделение это арифметическая операция, обратная умножение.

В частности, учитывая число а и ненулевое число б, если другой номер c раз б равно а, то есть:

${\displaystyle c\times b=a}$

тогда а деленное на б равно c. То есть:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=c}$

Например,

${\displaystyle {\frac {6}{3}}=2}$

поскольку

${\displaystyle 2\times 3=6}$.

В приведенном выше выражении а называется дивиденд, б то делитель и c то частное. Деление на ноль - где делитель равен нулю - в элементарной арифметике обычно не определяется.

Обозначение деления

Чаще всего деление показывают, помещая дивиденд над делитель с горизонтальной линией, также называемой винкулум, между ними. Например, а деленное на б записывается как:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Это можно прочитать вслух как "а деленное на б" или же "а над б". Чтобы выразить деление в одной строке, нужно написать дивиденд, затем слэш, то делитель, следующее:

${\displaystyle a/b}$

Это обычный способ указать деление в большинстве компьютерных языки программирования так как его можно легко набрать как простую последовательность символов.

Рукописный или типографский вариант, который находится на полпути между этими двумя формами, использует солидус (дробная косая черта), но увеличивает дивиденд и уменьшает делитель следующим образом:

​^а⁄_б

Любую из этих форм можно использовать для отображения дробная часть. А обыкновенная дробь является выражением деления, в котором делимое и делитель равны целые числа (хотя обычно называют числитель и знаменатель), и это не означает, что разделение нуждается в дальнейшей оценке.

Более простой способ показать деление - использовать обел (или знак разделения) таким образом:

${\displaystyle a\div b.}$

Эта форма встречается нечасто, за исключением основной арифметики. Обелус также используется отдельно для представления самой операции деления, например, как метка на ключе калькулятор.

В некоторых не-английский - говорящие культуры, "а деленное на б" написано а : б. Однако в английском использовании двоеточие ограничивается выражением связанной концепции соотношения (тогда "а должен б").

Со знанием таблицы умножения, два целых числа можно разделить на бумаге методом длинное деление. Сокращенная версия длинного деления, короткое деление, можно использовать и для меньших делителей.

Менее систематический метод - но который ведет к более целостному пониманию деления в целом - включает концепцию дробление. Позволяя вычитать большее количество кратных из частичного остатка на каждом этапе, можно разработать и другие методы произвольной формы.^[2]

В качестве альтернативы, если дивиденд имеет дробный часть (выраженная как десятичная дробь ), можно продолжать алгоритм за место единиц сколько угодно. Если у делителя есть десятичная дробная часть, можно повторить проблему, переместив десятичную дробь вправо в обоих числах, пока в делителе не будет дроби.

Чтобы разделить на дробь, можно просто умножить на обратную (меняя положение верхней и нижней частей) этой дроби, например:

${\displaystyle \textstyle {5\div {1 \over 2}=5\times {2 \over 1}=5\times 2=10}}$

${\displaystyle \textstyle {{2 \over 3}\div {2 \over 5}={2 \over 3}\times {5 \over 2}={10 \over 6}={5 \over 3}}}$

Образовательные стандарты

Местные стандарты обычно определяют методы обучения и содержание начального уровня обучения. В Соединенных Штатах и ​​Канаде к спорным темам относятся количество использования калькулятора по сравнению с ручным вычислением и более широкие дебаты между традиционная математика и реформировать математику.^[3]

В США 1989 г. NCTM стандарты привели к учебным планам, в которых не акцентировалось внимание на том, что считалось элементарной арифметикой в ​​начальной школе, или упускалось из виду, и вместо этого акцент делался на темы, традиционно изучаемые в колледже, такие как алгебра, статистика и решение задач, а также на незнакомые нестандартные методы вычислений большинству взрослых.

Инструменты

В счеты это ранний механический прибор для выполнения элементарной арифметики, который до сих пор используется во многих частях Азии. Современные вычислительные инструменты, выполняющие элементарные арифметические операции, включают: кассовые аппараты, электронный калькуляторы, и компьютеры.

Смотрите также

• 0
• Двоичная арифметика
• Знак равенства
• Числовая строка
• Длинное деление
• Короткое деление
• Чанкинг (деление)
• Знаки плюс и минус
• Вычитание
• Вычитание без заимствования
• Унарная система счисления
• Раннее умение считать

Рекомендации

1. «Традиционное вычитание в США (стандартное)» (PDF). Математика на каждый день онлайн. Получено 25 июня, 2019.
2. "Полное руководство по высшей математике по делению в столбик и его вариантам - для целых чисел". Математическое хранилище. 2019-02-24. Получено 2019-06-25.
3. Звезда, Джон Р .; Смит, Джон П .; Янсен, Аманда (2008). «Что студенты отмечают в различии между реформистскими и традиционными программами математики». Журнал исследований в области математического образования. 39 (1): 9–32. Дои:10.2307/30034886. ISSN  0021-8251. JSTOR  30034886.

внешняя ссылка

• «Дружелюбный подарок арифметике» это арабский документ 15 века, в котором говорится об основах арифметики.