Палиндромное число - Palindromic number

А палиндромное число (также известный как числовой палиндром или числовой палиндром) - это число (например, 16461), которое остается неизменным, когда его цифры меняются местами. Другими словами, это отражательная симметрия по вертикальной оси. Период, термин палиндромный происходит от палиндром, который относится к слову (например, ротор или же гоночный автомобиль), написание которого не меняется при перестановке букв. Первые 30 палиндромных чисел (в десятичный ) находятся:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202,… (последовательность A002113 в OEIS ).

Палиндромным числам уделяется наибольшее внимание в сфере развлекательная математика. Типичная проблема требует чисел, обладающих определенным свойством и палиндромные. Например:

В палиндромные простые числа равны 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151,… (последовательность A002385 в OEIS ).
Палиндромный квадратные числа равны 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,… (последовательность A002779 в OEIS ).

Очевидно, что в любом основание Существуют бесконечно много палиндромные числа, так как в любой базе бесконечное последовательность чисел, записанных (в этой базе) как 101, 1001, 10001, 100001 и т.д., состоит исключительно из палиндромных чисел.

Формальное определение

Хотя палиндромные числа чаще всего рассматриваются в десятичный система, концепция палиндромичность может применяться к натуральные числа в любом система счисления. Рассмотрим число п > 0 дюймов основание б ≥ 2, где в стандартных обозначениях записано k+1 цифры а_я в качестве:

{ Displaystyle п = сумма _ {я = 0} ^ {k} a_ {я} b ^ {я}}

с, как обычно, 0 ≤а_я < б для всех я и а_k ≠ 0. Тогда п палиндромно тогда и только тогда, когда а_я = а_k−я для всех я. Нуль записывается 0 в любой базе и также является палиндромным по определению.

Десятичные палиндромные числа

Все числа в база 10 (да и вообще в любой базе) с одним цифра являются палиндромными, поэтому существует десять десятичных палиндромных чисел с одной цифрой:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Всего существует 9 палиндромных чисел с двумя цифрами:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Всего существует 90 палиндромных чисел из трех цифр (используя Правило продукта: 9 вариантов для первой цифры, которая также определяет третью цифру, умноженных на 10 вариантов для второй цифры):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, …, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Есть также 90 палиндромных чисел с четырьмя цифрами (опять же, 9 вариантов выбора для первой цифры, умноженные на десять вариантов для второй цифры. Две другие цифры определяются выбором первых двух):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, …, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

Итак, есть 199 палиндромных чисел ниже 10⁴.

Ниже 10⁵ имеется 1099 палиндромных чисел, а для других показателей 10^п мы имеем: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,… (последовательность A070199 в OEIS ). Количество палиндромных чисел, обладающих некоторыми другими свойствами, перечислено ниже:

	10¹	10²	10³	10⁴	10⁵	10⁶	10⁷	10⁸	10⁹	10¹⁰
п естественный	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999
п четное	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889
п странный	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110
п квадрат	4		7		14	15	20		31
п куб	3		4	5			7			8
п основной	4	5	20		113		781		5953
п свободный от квадратов	6	12	67	120	675	1200	6821	12160	+	+
п неквадратный (μ (п) =0)	4	7	42	79	424	799	4178	7839	+	+
п квадрат с простым корнем^[1]	2	3		5
п с четным числом различных главные факторы (μ (п)=1)	2	6	35	56	324	583	3383	6093	+	+
п с нечетным числом различных простых множителей (μ (п)=-1)	4	6	32	64	351	617	3438	6067	+	+
п даже с нечетным числом простых множителей	1	2	9	21	100	180	1010	6067	+	+
п даже с нечетным числом различных простых множителей	3	4	21	49	268	482	2486	4452	+	+
п нечетное с нечетным числом простых множителей	3	4	23	43	251	437	2428	4315	+	+
п нечетное с нечетным числом различных простых множителей	4	5	28	56	317	566	3070	5607	+	+
п даже без квадратов с четным числом (различных) простых множителей	1	2	11	15	98	171	991	1782	+	+
п нечетное без квадратов с четным числом (различных) простых множителей	1	4	24	41	226	412	2392	4221	+	+
п нечетное ровно с двумя простыми множителями	1	4	25	39	205	303	1768	2403	+	+
п даже с двумя простыми множителями	2	3	11		64		413		+	+
п даже с ровно 3 основными множителями	1	3	14	24	122	179	1056	1400	+	+
п даже с ровно 3 различными простыми множителями	0	1	18	44	250	390	2001	2814	+	+
п нечетное ровно с 3 основными множителями	0	1	12	34	173	348	1762	3292	+	+
п Число Кармайкла	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1
п для которого σ (п) палиндромный	6	10	47	114	688	1417	5683	+	+	+

Совершенные силы

Есть много палиндромных совершенные силы п^k, куда п натуральное число и k равно 2, 3 или 4.

Палиндромный квадраты: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (последовательность A002779 в OEIS )
Палиндромный кубики: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (последовательность A002781 в OEIS )
Палиндромный четвертые силы: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (последовательность A186080 в OEIS )

Первые девять членов последовательности 1², 11², 111², 1111², ... образуют палиндромы 1, 121, 12321, 1234321, ... (последовательность A002477 в OEIS )

Единственное известное непалиндромное число, куб которого является палиндромом, - 2201, и это предположение, что корень четвертой степени всех четвертых степеней палиндрома является палиндромом с 100000 ... 000001 (10^п + 1).

Дж. Дж. Симмонс предположил, что не существует палиндромов формы п^k за k > 4 (и п > 1).^[2]

Другие базы

Палиндромные числа можно рассматривать в системы счисления Кроме как десятичный. Например, двоичный палиндромные числа:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (последовательность A057148 в OEIS )

или в десятичном виде:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... (последовательность A006995 в OEIS )

В Простые числа Ферма и Простые числа Мерсенна образуют подмножество двоичных палиндромных простых чисел.

Любой номер ${ displaystyle n}$ палиндромный по всем основаниям ${ displaystyle b}$ с ${ displaystyle b> n}$ (банально, потому что ${ displaystyle n}$ тогда однозначное число), а также в базе ${ displaystyle n-1}$ (потому что ${ displaystyle n}$ затем ${ displaystyle 11_ {n-1}}$ ). Даже за исключением случаев, когда число меньше основания, большинство чисел палиндромны в более чем одной базе. Например, ${ displaystyle 1221_ {4} = 151_ {8} = 77_ {14} = 55_ {20} = 33_ {34} = 11_ {104}}$ , ${ displaystyle 1991_ {10} = 7C7_ {16}}$ . Число, не являющееся палиндромным по всем основаниям ${ displaystyle b}$ куда ${ Displaystyle 1 <б <п-1}$ называется строго непалиндромное число.

В база 7, потому что 101₇ дважды идеальный квадрат (5²=34₇), некоторые из его кратных - палиндромные квадраты:

13²	=	202
26²	=	1111
55²	=	4444
101²	=	10201
143²	=	24442

В база 18, некоторые степени семи палиндромны:

7⁰	=	1
7¹	=	7
7³	=	111
7⁴	=	777
7⁶	=	12321
7⁹	=	1367631

И в база 24 первые восемь степеней пяти также являются палиндромными:

5⁰	=	1
5¹	=	5
5²	=	11
5³	=	55
5⁴	=	121
5⁵	=	5A5
5⁶	=	1331
5⁷	=	5FF5
5⁸	=	14641
5^А	=	15AA51
5^C	=	16FLF61

Палиндромное число в базе б который состоит из палиндромных последовательностей длины л расположены в палиндромном порядке (например, 101 111 010 111 101₂) палиндромный в основании б^л (например, указанное выше двоичное число является палиндромным по основанию 2³= 8 (равно 57275₈))

Площадь 133₁₀ в базе 30 - 4D₃₀² = KKK₃₀ = 3R₃₆² = DPD₃₆.В базе 24 больше палиндромных квадратов из-за 5² = 11. И квадраты всех чисел в форме 1666 ... 6667 (с любым числом 6 между 1 и 7) являются палиндромными. 167² = 1E5E1, 1667² = 1E3K3E1, 16667² = 1E3H8H3E1.

Процесс Lychrel

Непалиндромные числа могут быть соединены с палиндромными числами с помощью ряда операций. Сначала непалиндромное число меняется на противоположное, и результат добавляется к исходному числу. Если результат не является палиндромным числом, это повторяется до тех пор, пока не будет получено палиндромное число. Такой номер называется «отложенным палиндромом».

Неизвестно, можно ли таким образом сочетать все непалиндромные числа с палиндромными числами. Хотя не было доказано, что ни одно число является непарным, многие, похоже, таковым не являются. Например, 196 не дает палиндрома даже после 700000000 итераций. Любое число, которое никогда не становится палиндромным таким образом, известно как Число Лихрела.

24 января 2017 года номер 1,999,291,987,030,606,810 был опубликован в OEIS как A281509 и объявил «Крупнейший из известных наиболее отсроченных палиндромов». Последовательность из 125 261-шаговых наиболее отсроченных палиндромов, предшествующих 1999 291 987 030 606 810 и не описанных ранее, была опубликована отдельно как A281508.

Сумма обратных

Сумма обратных величин палиндромных чисел представляет собой сходящийся ряд, значение которого приблизительно равно 3,37028 ... (последовательность A118031 в OEIS ).

Числа Шахерезады

Числа Шахерезады представляют собой набор чисел, обозначенных Бакминстер Фуллер в его книге Синергетика.^[3] Фуллер не дает формального определения этому термину, но из приведенных им примеров можно понять, что это те числа, которые содержат коэффициент первобытный п#, куда п≥13 и является наибольшим главный фактор в номере. Фуллер назвал эти числа Числа Шахерезады потому что они должны иметь коэффициент 1001. Шахерезада рассказчик Тысяча и одна ночь, рассказывая новую историю каждую ночь, чтобы отложить казнь. С п должно быть не менее 13, первичное число должно быть не менее 1 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 и 7 × 11 × 13 = 1001. Фуллер также называет степени 1001 числами Шехерезады. Наименьший примитив, содержащий число Шахерезады, равен 13 # = 30 030.

Фуллер указал, что некоторые из этих чисел являются палиндромными по группам цифр. Например, 17 # = 510 510 показывает симметрию групп из трех цифр. Фуллер назвал такие номера Великолепно запоминающиеся всеобъемлющие дивиденды Шахерезады, или номера SSRCD. Фуллер отмечает, что возведение 1001 в степень не только дает возвышенно запоминающийся числа, которые являются палиндромными в трехзначных группах, но также и значения групп являются биномиальные коэффициенты. Например,

{ displaystyle (1001) ^ {6} = 1,006,015,020,015,006,001}

Эта последовательность не выполняется на (1001)¹³ потому что есть переносить цифру взяты в группу слева в некоторых группах. Фуллер предлагает написать эти побочные эффекты на отдельной строке. Если это будет сделано с использованием дополнительных линий по мере необходимости, симметрия сохраняется на неопределенный срок в любой степени.^[4] Многие другие числа Шехерезады демонстрируют аналогичную симметрию, когда выражаются таким образом.^[5]

Суммы палиндромов

В 2018 году была опубликована статья, демонстрирующая, что каждое положительное целое число можно записать как сумму трех палиндромных чисел в каждой системе счисления с основанием 5 или больше.^[6]

Смотрите также

Примечания

^ (последовательность A065379 в OEIS ) Следующий пример - 19 цифр - 900075181570009.
^ Мюррей С. Кламкин (1990), Задачи прикладной математики: выборка из обзора SIAM, п. 520.
^ Р. Бакминстер Фуллер и Э. Дж. Эпплвайт, Синергетика: исследования геометрии мышления, Макмиллан, 1982 г. ISBN 0-02-065320-4.
^ Фуллер, стр. 773-774
^ Фуллер, стр. 777-780.
^ Чиллеруэло, Хавьер; Лука, Флориан; Бакстер, Льюис (19 февраля 2016 г.). «Каждое положительное целое число - это сумма трех палиндромов». Математика вычислений. (препринт arXiv )

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Палиндромное число». MathWorld.
Джейсон Дусетт - Палиндромный квест 196 / Самое запаздывающее палиндромное число
196 и другие числа Lychrel
Об общих палиндромных числах на MathPages
Палиндромные числа до 100000 от Спросите доктора Математики
П. Де Гест, Палиндромные кубы
Ютака Нишияма, Числовые палиндромы и проблема 196, IJPAM, Том 80, № 3, 375-384, 2012.

[1] (последовательность A065379 в OEIS ) Следующий пример - 19 цифр - 900075181570009.

[2] Мюррей С. Кламкин (1990), Задачи прикладной математики: выборка из обзора SIAM, п. 520.

[3] Р. Бакминстер Фуллер и Э. Дж. Эпплвайт, Синергетика: исследования геометрии мышления, Макмиллан, 1982 г. ISBN 0-02-065320-4.

[4] Фуллер, стр. 773-774

[5] Фуллер, стр. 777-780.

[6] Чиллеруэло, Хавьер; Лука, Флориан; Бакстер, Льюис (19 февраля 2016 г.). «Каждое положительное целое число - это сумма трех палиндромов». Математика вычислений. (препринт arXiv )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]