Палиндромное число - Palindromic number

А палиндромное число (также известный как числовой палиндром или числовой палиндром) - это число (например, 16461), которое остается неизменным, когда его цифры меняются местами. Другими словами, это отражательная симметрия по вертикальной оси. Период, термин палиндромный происходит от палиндром, который относится к слову (например, ротор или же гоночный автомобиль), написание которого не меняется при перестановке букв. Первые 30 палиндромных чисел (в десятичный ) находятся:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202,… (последовательность A002113 в OEIS ).

Палиндромным числам уделяется наибольшее внимание в сфере развлекательная математика. Типичная проблема требует чисел, обладающих определенным свойством и палиндромные. Например:

Очевидно, что в любом основание Существуют бесконечно много палиндромные числа, так как в любой базе бесконечное последовательность чисел, записанных (в этой базе) как 101, 1001, 10001, 100001 и т.д., состоит исключительно из палиндромных чисел.

Формальное определение

Хотя палиндромные числа чаще всего рассматриваются в десятичный система, концепция палиндромичность может применяться к натуральные числа в любом система счисления. Рассмотрим число п > 0 дюймов основание б ≥ 2, где в стандартных обозначениях записано k+1 цифры ая в качестве:

с, как обычно, 0 ≤ая < б для всех я и аk ≠ 0. Тогда п палиндромно тогда и только тогда, когда ая = аkя для всех я. Нуль записывается 0 в любой базе и также является палиндромным по определению.

Десятичные палиндромные числа

Все числа в база 10 (да и вообще в любой базе) с одним цифра являются палиндромными, поэтому существует десять десятичных палиндромных чисел с одной цифрой:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Всего существует 9 палиндромных чисел с двумя цифрами:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Всего существует 90 палиндромных чисел из трех цифр (используя Правило продукта: 9 вариантов для первой цифры, которая также определяет третью цифру, умноженных на 10 вариантов для второй цифры):

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, …, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

Есть также 90 палиндромных чисел с четырьмя цифрами (опять же, 9 вариантов выбора для первой цифры, умноженные на десять вариантов для второй цифры. Две другие цифры определяются выбором первых двух):

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, …, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

Итак, есть 199 палиндромных чисел ниже 104.

Ниже 105 имеется 1099 палиндромных чисел, а для других показателей 10п мы имеем: 1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999,… (последовательность A070199 в OEIS ). Количество палиндромных чисел, обладающих некоторыми другими свойствами, перечислено ниже:

 1011021031041051061071081091010
п естественный1019109199109919991099919999109999199999
п четное594989489889488988894888988889
п странный51060110610111061101111061110111110
п квадрат4714152031
п куб34578
п основной45201137815953
п свободный от квадратов612671206751200682112160++
п неквадратный (μ (п) =0)47427942479941787839++
п квадрат с простым корнем[1]235
п с четным числом различных главные факторы (μ (п)=1)26355632458333836093++
п с нечетным числом различных простых множителей (μ (п)=-1)46326435161734386067++
п даже с нечетным числом простых множителей1292110018010106067++
п даже с нечетным числом различных простых множителей34214926848224864452++
п нечетное с нечетным числом простых множителей34234325143724284315++
п нечетное с нечетным числом различных простых множителей45285631756630705607++
п даже без квадратов с четным числом (различных) простых множителей121115981719911782++
п нечетное без квадратов с четным числом (различных) простых множителей14244122641223924221++
п нечетное ровно с двумя простыми множителями14253920530317682403++
п даже с двумя простыми множителями231164413++
п даже с ровно 3 основными множителями13142412217910561400++
п даже с ровно 3 различными простыми множителями01184425039020012814++
п нечетное ровно с 3 основными множителями01123417334817623292++
п Число Кармайкла0000011111
п для которого σ (п) палиндромный6104711468814175683+++

Совершенные силы

Есть много палиндромных совершенные силы пk, куда п натуральное число и k равно 2, 3 или 4.

  • Палиндромный квадраты: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ... (последовательность A002779 в OEIS )
  • Палиндромный кубики: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... (последовательность A002781 в OEIS )
  • Палиндромный четвертые силы: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... (последовательность A186080 в OEIS )

Первые девять членов последовательности 12, 112, 1112, 11112, ... образуют палиндромы 1, 121, 12321, 1234321, ... (последовательность A002477 в OEIS )

Единственное известное непалиндромное число, куб которого является палиндромом, - 2201, и это предположение, что корень четвертой степени всех четвертых степеней палиндрома является палиндромом с 100000 ... 000001 (10п + 1).

Дж. Дж. Симмонс предположил, что не существует палиндромов формы пk за k > 4 (и п > 1).[2]

Другие базы

Палиндромные числа можно рассматривать в системы счисления Кроме как десятичный. Например, двоичный палиндромные числа:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ... (последовательность A057148 в OEIS )

или в десятичном виде:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... (последовательность A006995 в OEIS )

В Простые числа Ферма и Простые числа Мерсенна образуют подмножество двоичных палиндромных простых чисел.

Любой номер палиндромный по всем основаниям с (банально, потому что тогда однозначное число), а также в базе (потому что затем ). Даже за исключением случаев, когда число меньше основания, большинство чисел палиндромны в более чем одной базе. Например, , . Число, не являющееся палиндромным по всем основаниям куда называется строго непалиндромное число.

В база 7, потому что 1017 дважды идеальный квадрат (52=347), некоторые из его кратных - палиндромные квадраты:

132=202
262=1111
552=4444
1012=10201
1432=24442

В база 18, некоторые степени семи палиндромны:

70=1
71=7
73=111
74=777
76=12321
79=1367631

И в база 24 первые восемь степеней пяти также являются палиндромными:

50=1
51=5
52=11
53=55
54=121
55=5A5
56=1331
57=5FF5
58=14641
5А=15AA51
5C=16FLF61

Палиндромное число в базе б который состоит из палиндромных последовательностей длины л расположены в палиндромном порядке (например, 101 111 010 111 1012) палиндромный в основании бл (например, указанное выше двоичное число является палиндромным по основанию 23= 8 (равно 572758))

Площадь 13310 в базе 30 - 4D302 = KKK30 = 3R362 = DPD36.В базе 24 больше палиндромных квадратов из-за 52 = 11. И квадраты всех чисел в форме 1666 ... 6667 (с любым числом 6 между 1 и 7) являются палиндромными. 1672 = 1E5E1, 16672 = 1E3K3E1, 166672 = 1E3H8H3E1.

Процесс Lychrel

Непалиндромные числа могут быть соединены с палиндромными числами с помощью ряда операций. Сначала непалиндромное число меняется на противоположное, и результат добавляется к исходному числу. Если результат не является палиндромным числом, это повторяется до тех пор, пока не будет получено палиндромное число. Такой номер называется «отложенным палиндромом».

Неизвестно, можно ли таким образом сочетать все непалиндромные числа с палиндромными числами. Хотя не было доказано, что ни одно число является непарным, многие, похоже, таковым не являются. Например, 196 не дает палиндрома даже после 700000000 итераций. Любое число, которое никогда не становится палиндромным таким образом, известно как Число Лихрела.

24 января 2017 года номер 1,999,291,987,030,606,810 был опубликован в OEIS как A281509 и объявил «Крупнейший из известных наиболее отсроченных палиндромов». Последовательность из 125 261-шаговых наиболее отсроченных палиндромов, предшествующих 1999 291 987 030 606 810 и не описанных ранее, была опубликована отдельно как A281508.

Сумма обратных

Сумма обратных величин палиндромных чисел представляет собой сходящийся ряд, значение которого приблизительно равно 3,37028 ... (последовательность A118031 в OEIS ).

Числа Шахерезады

Числа Шахерезады представляют собой набор чисел, обозначенных Бакминстер Фуллер в его книге Синергетика.[3] Фуллер не дает формального определения этому термину, но из приведенных им примеров можно понять, что это те числа, которые содержат коэффициент первобытный п#, куда п≥13 и является наибольшим главный фактор в номере. Фуллер назвал эти числа Числа Шахерезады потому что они должны иметь коэффициент 1001. Шахерезада рассказчик Тысяча и одна ночь, рассказывая новую историю каждую ночь, чтобы отложить казнь. С п должно быть не менее 13, первичное число должно быть не менее 1 · 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 и 7 × 11 × 13 = 1001. Фуллер также называет степени 1001 числами Шехерезады. Наименьший примитив, содержащий число Шахерезады, равен 13 # = 30 030.

Фуллер указал, что некоторые из этих чисел являются палиндромными по группам цифр. Например, 17 # = 510 510 показывает симметрию групп из трех цифр. Фуллер назвал такие номера Великолепно запоминающиеся всеобъемлющие дивиденды Шахерезады, или номера SSRCD. Фуллер отмечает, что возведение 1001 в степень не только дает возвышенно запоминающийся числа, которые являются палиндромными в трехзначных группах, но также и значения групп являются биномиальные коэффициенты. Например,

Эта последовательность не выполняется на (1001)13 потому что есть переносить цифру взяты в группу слева в некоторых группах. Фуллер предлагает написать эти побочные эффекты на отдельной строке. Если это будет сделано с использованием дополнительных линий по мере необходимости, симметрия сохраняется на неопределенный срок в любой степени.[4] Многие другие числа Шехерезады демонстрируют аналогичную симметрию, когда выражаются таким образом.[5]

Суммы палиндромов

В 2018 году была опубликована статья, демонстрирующая, что каждое положительное целое число можно записать как сумму трех палиндромных чисел в каждой системе счисления с основанием 5 или больше.[6]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ (последовательность A065379 в OEIS ) Следующий пример - 19 цифр - 900075181570009.
  2. ^ Мюррей С. Кламкин (1990), Задачи прикладной математики: выборка из обзора SIAM, п. 520.
  3. ^ Р. Бакминстер Фуллер и Э. Дж. Эпплвайт, Синергетика: исследования геометрии мышления, Макмиллан, 1982 г. ISBN  0-02-065320-4.
  4. ^ Фуллер, стр. 773-774
  5. ^ Фуллер, стр. 777-780.
  6. ^ Чиллеруэло, Хавьер; Лука, Флориан; Бакстер, Льюис (19 февраля 2016 г.). «Каждое положительное целое число - это сумма трех палиндромов». Математика вычислений. (препринт arXiv )

Рекомендации

внешняя ссылка