Функция Мёбиуса - Möbius function

Эта статья посвящена теоретико-числовой функции Мёбиуса. По поводу комбинаторной функции Мёбиуса см. алгебра инцидентности.

Для рациональные функции определены на сложные числа, видеть Преобразование Мёбиуса.

Классический Функция Мёбиуса μ(п) это важный мультипликативная функция в теория чисел и комбинаторика. Немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус представил его в 1832 году.^[я][ii][2] Это частный случай более общего объекта комбинаторики.

Определение

Для любого положительного целое число п, определять μ(п) как сумма примитивный пкорни единства. Имеет значение в {−1, 0, 1} в зависимости от факторизация из п в главные факторы:

• μ(п) = −1 если п это без квадратов положительное целое число с четное количество простых факторов.
• μ(п) = −1 если п положительное целое число без квадратов с нечетным числом простых множителей.
• μ(п) = −0 если п имеет квадрат основного множителя.

В качестве альтернативы функцию Мёбиуса можно представить как

${displaystyle mu (n)=delta _{omega (n)}^{Omega (n)}lambda (n)}$

куда ${displaystyle delta }$ это Дельта Кронекера, λ(п) это Функция Лиувилля, ω(п) - количество различных простых делителей числа п, и Ω (п) количество простых делителей п, считая с кратностью.

Ценности μ(п) для первых 30 положительных чисел (последовательность A008683 в OEIS ) находятся

п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
μ(п)	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

п	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
μ(п)	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

п	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
μ(п)	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

Первые 50 значений функции показаны ниже:

Приложения

Математический ряд

В Серия Дирихле который генерирует функция Мёбиуса является (мультипликативной) обратной функцией Дзета-функция Римана; если s комплексное число с действительной частью больше единицы, мы имеем

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {mu (n)}{n^{s}}}={frac {1}{zeta (s)}}.}$

Это видно по его Произведение Эйлера

${displaystyle {frac {1}{zeta (s)}}=prod _{p{ ext{ prime}}}{left(1-{frac {1}{p^{s}}}ight)}=left(1-{frac {1}{2^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{3^{s}}}ight)left(1-{frac {1}{5^{s}}}ight)cdots }$

В Серия Ламберта для функции Мёбиуса:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}$

который сходится для |q| < 1. Для премьер ${displaystyle alpha geq 2}$, у нас также есть

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {mu (alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=sum _{ngeq 0}q^{alpha ^{n}},|q|<1.}$

Алгебраическая теория чисел

Гаусс^[1] доказал, что для простого числа п сумма его первобытные корни конгруэнтно μ(п - 1) (мод п).

Если F_q обозначает конечное поле порядка q (куда q обязательно степень простого числа), то число N монических неприводимых многочленов степени п над F_q дан кем-то:^[3]

${displaystyle N(q,n)={frac {1}{n}}sum _{dmid n}mu (d)q^{n/d}.}$

Характеристики

Функция Мёбиуса есть мультипликативный (т.е. μ(ab) = μ(а) μ(б)) в любое время а и б находятся совмещать.

Сумма функции Мёбиуса по всем положительным делителям п (включая п сам и 1) равен нулю, кроме случаев, когда п = 1:

${displaystyle sum _{dmid n}mu (d)={egin{cases}1&{ ext{if }}n=1,�&{ ext{if }}n>1.end{cases}}}$

Приведенное выше равенство приводит к важному Формула обращения Мебиуса и это основная причина, почему μ имеет актуальное значение в теории мультипликативных и арифметических функций.

Другие приложения μ(п) в комбинаторике связаны с использованием Перечислимая теорема Полиа в комбинаторных группах и комбинаторных перечислениях.

Есть формула^[4] для вычисления функции Мёбиуса без прямого знания факторизации ее аргумента:

${displaystyle mu (n)=sum _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,,n)=1}}e^{2pi i{frac {k}{n}}},}$

т.е. μ(п) это сумма примитивных п-го корни единства. (Однако вычислительная сложность этого определения, по крайней мере, такая же, как у определения произведения Эйлера.)

Доказательство формулы для ∑_d|п μ(d)

С помощью

${displaystyle mu (n)=sum _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,,n)=1}}e^{2pi i{frac {k}{n}}},}$

формула

${displaystyle sum _{dmid n}mu (d)={egin{cases}1&{ ext{if }}n=1,�&{ ext{if }}n>1end{cases}}}$

можно рассматривать как следствие того, что псумма корней из единицы равна 0, так как каждый пкорень из единства примитивен dкорень -й степени из единицы ровно для одного делителя d из п.

Однако это также можно доказать из первых принципов. Прежде всего заметим, что это тривиально верно, когда п = 1. Предположим тогда, что п > 1. Тогда существует взаимное соответствие между факторами d из п для которого μ(d) ≠ 0 и подмножества множества всех простых факторов п. Утвержденный результат следует из того факта, что каждое непустое конечное множество имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности.

Последний факт легко показать индукцией по мощности |S| непустого конечного множества S. Во-первых, если |S| = 1, существует ровно одно подмножество нечетной мощности S, а именно S само, и ровно одно подмножество четной мощности, а именно ∅. Далее, если |S| > 1, затем разделим подмножества S на два подкласса в зависимости от того, содержат они фиксированный элемент или нет Икс в S. Между этими двумя подклассами существует очевидное взаимно однозначное соответствие, объединяющее те подмножества, которые имеют одинаковое дополнение относительно подмножества {Икс}. Кроме того, один из этих двух подклассов состоит из всех подмножеств множества S {Икс}, и, следовательно, по предположению индукции, имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности. Эти подмножества, в свою очередь, биективно соответствуют четной и нечетной мощности {Икс}-содержащие подмножества S. Индуктивный шаг следует непосредственно из этих двух биекций.

Связанный результат состоит в том, что биномиальные коэффициенты показывают чередующиеся элементы нечетной и четной степени, которые суммируются симметрично.

Функция Мертенса

В теории чисел другой арифметическая функция с функцией Мёбиуса тесно связана функция Функция Мертенса, определяется

${displaystyle M(n)=sum _{k=1}^{n}mu (k)}$

для каждого натурального числа п. Эта функция тесно связана с положением нулей Дзета-функция Римана. См. Статью о Гипотеза Мертенса для получения дополнительной информации о связи между M(п) и Гипотеза Римана.

Из формулы

${displaystyle mu (n)=sum _{stackrel {1leq kleq n}{gcd(k,,n)=1}}e^{2pi i{frac {k}{n}}},}$

из этого следует, что функция Мертенса определяется выражением:

${displaystyle M(n)=-1+sum _{ain {mathcal {F}}_{n}}e^{2pi ia},}$

куда F_п это Последовательность Фари порядка п.

Эта формула используется при доказательстве Теорема Франеля – Ландау.^[5]

Средний заказ

В средний заказ функции Мёбиуса равна нулю. Это утверждение фактически эквивалентно теорема о простых числах.^[6]

μ(п) разделы

μ(п) = 0 если и только если п делится на квадрат простого числа. Первые числа с этим свойством (последовательность A013929 в OEIS ):

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ....

Если п простое, то μ(п) = −1, но обратное неверно. Первый непростой п для которого μ(п) = −1 является 30 = 2 × 3 × 5. Первые такие числа с тремя различными простыми множителями (сфенические числа ) находятся:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (последовательность A007304 в OEIS ).

и первые такие числа с 5 различными простыми множителями:

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... ( последовательность A046387 в OEIS ).

Обобщения

Алгебры инцидентности

В комбинаторика, каждая локально конечная частично заказанный набор (poset) назначается алгебра инцидентности. Одним из выдающихся членов этой алгебры является «функция Мёбиуса» того же Пауза. Классическая функция Мёбиуса, рассматриваемая в этой статье, по существу равна функции Мёбиуса множества всех натуральных чисел, частично упорядоченных делимость. См. Статью о алгебры инцидентности для точного определения и нескольких примеров этих общих функций Мёбиуса.

Функция Поповича

Константин Попович^[7] определил обобщенную функцию Мёбиуса μ_k = μ ∗ ... ∗ μ быть k-складывать Свертка Дирихле функции Мёбиуса с собой. Таким образом, это снова мультипликативная функция с

${displaystyle mu _{k}(p^{a})=(-1)^{a}{inom {k}{a}} }$

где биномиальный коэффициент принимается равным нулю, если а > k. Определение может быть расширено до сложных k читая бином как многочлен от k.^[8]

Физика

Функция Мёбиуса также возникает в примон газ или же свободный газ Римана модель суперсимметрия. В этой теории фундаментальные частицы или «примоны» имеют энергии бревно п. Под второе квантование, рассмотрены многочастичные возбуждения; они даны бревно п для любого натурального числа п. Это следует из того факта, что разложение натуральных чисел на простые числа однозначно.

В свободном газе Римана может встречаться любое натуральное число, если примоны принимаются как бозоны. Если их принять за фермионы, то Принцип исключения Паули исключает квадраты. Оператор (−1)^F то, что отличает фермионы и бозоны, есть не что иное, как функция Мёбиуса μ(п).

Свободный газ Римана имеет ряд других интересных связей с теорией чисел, включая тот факт, что функция распределения это Дзета-функция Римана. Эта идея лежит в основе Ален Конн попытка доказательства Гипотеза Римана.^[9]

Смотрите также

• Функция Лиувилля
• Функция Мертенса
• Сумма Рамануджана
• Сфеническое число

Примечания

1. Харди и Райт, Примечания к гл. XVI: «... μ(п) неявно встречается в работах Эйлера еще в 1748 году, но Мёбиус в 1832 году был первым, кто систематически исследовал его свойства ».Харди и Райт 1980, Примечания к гл. XVI)
2. в Disquisitiones Arithmeticae (1801) Карл Фридрих Гаусс показал, что сумма первообразных корней (мод п) является μ(п − 1), (видеть # Свойства и приложения ), но он больше не использовал эту функцию. В частности, он не использовал инверсию Мёбиуса в Disquisitiones.^[1] В Disquisitiones Arithmeticae переведено с латыни на английский и немецкий языки. Немецкое издание включает в себя все его работы по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки.

Цитаты

1. Гаусс 1986, Изобразительное искусство. 81.
2. Мебиус 1832 С. 105–123.
3. Якобсон 2009, §4.13.
4. Харди и Райт 1980, (16.6.4), с. 239.
5. Эдвардс 1974, Гл. 12.2.
6. Апостол 1976 г., §3.9.
7. Поповичи 1963 С. 493–499.
8. Sándor & Crstici 2004, п. 107.
9. Bost & Connes 1995 С. 411–457.

Источники

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел, Тексты для бакалавриата по математике, Нью-Йорк; Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3, МИСТЕР  0434929, Zbl  0335.10001
• Bost, J.-B .; Конн, Ален (1995), "Алгебры Гекке, факторы типа III и фазовые переходы со спонтанным нарушением симметрии в теории чисел", Selecta Mathematica (Новая серия), 1: 411–457
• Делеглиз, Марк; Риват, Жоэль (1996), «Вычисление суммы функции Мёбиуса», Экспериментальная математика, 5 (4): 291–295
• Эдвардс, Гарольд (1974), Дзета-функция Римана, Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0-486-41740-9
• Гаусс, Карл Фридрих (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae и другие статьи по теории чисел), Х. Мазер (немецкий переводчик) (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN  0-8284-0191-8
• Гаусс, Карл Фридрих (1986), Disquisitiones Arithemeticae, Артур А. Кларк (английский переводчик) (исправленное 2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-96254-9
• Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (1980) [Первое издание опубликовано в 1938 году], Введение в теорию чисел (5-е изд.), Оксфорд: Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853171-5 - через Интернет-архив
• Джейкобсон, Натан (2009) [Впервые опубликовано в 1985 году], Базовая алгебра I (2-е изд.), Dover Publications, ISBN  978-0-486-47189-1
• Климов, Н. И. (2001) [1994], «Функция Мёбиуса», Энциклопедия математики, EMS Press
• Мебиус, А.Ф. (1832), "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 9: 105–123
• Пегг, Эд, младший (2003), «Функция Мёбиуса (и бесквадратные числа)», Математические игры Эда Пегга
• Поповичи, Константин П. (1963), "Обобщение функции Мёбиуса", Studii şi Cercetări Matematice, 14: 493–499, МИСТЕР  0181602
• Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004), Справочник по теории чисел II, Дордрехт: Kluwer Academic, ISBN  1-4020-2546-7, Zbl  1079.11001
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006), Справочник по теории чисел I, Дордрехт: Springer-Verlag, стр. 187–226, ISBN  1-4020-4215-9, Zbl  1151.11300

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мёбиуса». MathWorld.