Функция Лиувилля - Liouville function

В Лямбда-функция Лиувилля, обозначаемый λ (п) и назван в честь Джозеф Лиувиль, это важный арифметическая функция.

Его значение +1, если п является продуктом четного числа простые числа, и −1, если это произведение нечетного числа простых чисел.

В явном виде основная теорема арифметики заявляет, что любые положительные целое число п можно однозначно представить как произведение степеней простых чисел: ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$ куда п₁ < п₂ < ... < п_k простые числа и а_j положительные целые числа. (1 задается пустым произведением.) основные функции омега подсчитайте количество простых чисел с кратностью (Ω) или без (ω):

ω(п) = k,

Ω (п) = а₁ + а₂ + ... + а_k.

λ (п) определяется формулой

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$ (последовательность A008836 в OEIS ).

λ - это полностью мультипликативный поскольку Ω (п) полностью добавка, то есть: Ω (ab) = Ω (а) + Ω (б). Поскольку 1 не имеет простых делителей, Ω (1) = 0, поэтому λ (1) = 1.

Это связано с Функция Мёбиуса μ(п). Написать п в качестве п = а²б куда б является свободный от квадратов, т.е. ω(б) = Ω (б). потом

${\displaystyle \lambda (n)=\mu (b).}$

Сумма функции Лиувилля по делители из п это характеристическая функция из квадраты:

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is a perfect square,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Инверсия Мёбиуса этой формулы дает

${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).}$

В Обратный Дирихле функции Лиувилля - модуль функции Мёбиуса, ${\displaystyle \lambda ^{-1}(n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n),}$ характеристическая функция бесквадратных целых чисел. У нас также есть это ${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=\mu ^{2}(n)}$.

Серии

В Серия Дирихле для функции Лиувилля связана с Дзета-функция Римана к

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

В Серия Ламберта для функции Лиувилля есть

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),}$

куда ${\displaystyle \vartheta _{3}(q)}$ это Тета-функция Якоби.

Гипотезы о взвешенных сумматорных функциях

Сумматорная функция Лиувилля L(п) вплоть до п = 10⁴. Легко заметные колебания связаны с первым нетривиальным нулем дзета-функции Римана.

Сумматорная функция Лиувилля L(п) вплоть до п = 10⁷. Обратите внимание на очевидное масштабная инвариантность колебаний.

Логарифмический график негатива сумматорной функции Лиувилля L(п) вплоть до п = 2 × 10⁹. Зеленый пик показывает саму функцию (а не ее отрицательный результат) в узкой области, где Гипотеза Поли терпит неудачу; синяя кривая показывает колебательный вклад первого нуля Римана.

Гармоническая суммирующая функция Лиувилля Т(п) вплоть до п = 10³

В Гипотеза Поли это гипотеза, сделанная Георгий Полиа в 1919 г. Определяя

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)}$ (последовательность A002819 в OEIS ),

гипотеза утверждает, что ${\displaystyle L(n)\leq 0}$ за п > 1. Это оказалось ложью. Самый маленький контрпример: п = 906150257, обнаружен Минору Танакой в ​​1980 году. С тех пор было показано, что L(п) > 0.0618672√п для бесконечного множества натуральных чисел п,^[1] в то время как его также можно показать с помощью тех же методов, что и L(п) < -1.3892783√п для бесконечного множества натуральных чисел п.^[2]

Для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$, принимая гипотезу Римана, имеем, что сумматорная функция ${\displaystyle L(x)\equiv L_{0}(x)}$ ограничен

${\displaystyle L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),}$

где ${\displaystyle C>0}$ - некоторая абсолютная предельная константа.^[2]

Определите соответствующую сумму

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}$

Некоторое время было открыто, Т(п) ≥ 0 для достаточно больших п ≥ п₀ (это предположение иногда - хотя и ошибочно - приписывают Пал Туран ). Затем это было опровергнуто Haselgrove (1958), кто показал это Т(п) принимает отрицательные значения бесконечно часто. Подтверждение этой гипотезы о положительности привело бы к доказательству Гипотеза Римана, как было показано Пал Туран.

Обобщения

В более общем смысле, мы можем рассматривать взвешенные сумматорные функции над функцией Лиовилля, определенные для любого ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ следующим образом для положительных целых чисел Икс где (как и выше) у нас есть особые случаи ${\displaystyle L(x):=L_{0}(x)}$ и ${\displaystyle T(x)=L_{1}(x)}$ ^[2]

${\displaystyle L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.}$

Эти ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$-взвешенные сумматорные функции связаны с Функция Мертенса, или взвешенные сумматорные функции Функция Мебиуса. Фактически, мы имеем так называемую невзвешенную или обычную функцию ${\displaystyle L(x)}$ точно соответствует сумме

${\displaystyle L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).}$

Более того, эти функции удовлетворяют аналогичным ограничивающим асимптотическим соотношениям.^[2] Например, когда ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}}$, мы видим, что существует абсолютная постоянная ${\displaystyle C_{\alpha }>0}$ такой, что

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}$

По заявлению Формула Перрона, или эквивалентно ключом (инверсия) Преобразование Меллина у нас есть это

${\displaystyle {\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,}$

которые затем можно инвертировать с помощью обратное преобразование показать это для ${\displaystyle x>1}$, ${\displaystyle T\geq 1}$ и ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),}$

где мы можем взять ${\displaystyle \sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)}$, а остальные члены определены так, что ${\displaystyle E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })}$ и ${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0}$ в качестве ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$.

В частности, если предположить, что Гипотеза Римана (RH) верно и что все нетривиальные нули, обозначенные ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma }$, из Дзета-функция Римана находятся просто, то для любого ${\displaystyle 0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle x\geq 1}$ существует бесконечная последовательность ${\displaystyle \{T_{v}\}_{v\geq 1}}$ что удовлетворяет ${\displaystyle v\leq T_{v}\leq v+1}$ для всех v такой, что

${\displaystyle L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),}$

где для любых все более мелких ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha }$ мы определяем

${\displaystyle I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,}$

и где остаток

${\displaystyle R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},}$

что, конечно, имеет тенденцию 0 в качестве ${\displaystyle T\rightarrow \infty }$. Эти точные разложения аналитических формул снова обладают свойствами, аналогичными свойствам, соответствующим взвешенным формулам. Функция Мертенса случаи. Кроме того, поскольку ${\displaystyle \zeta (1/2)<0}$ у нас есть еще одно сходство в виде ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$ к ${\displaystyle M(x)}$ поскольку доминирующий главный член в предыдущих формулах предсказывает отрицательное смещение значений этих функций по сравнению с положительными натуральными числами Икс.

Рекомендации

1. Borwein, P .; Ferguson, R .; Моссингхофф, М. Дж. (2008). «Знаковые изменения в суммах функции Лиувилля». Математика вычислений. 77 (263): 1681–1694. Дои:10.1090 / S0025-5718-08-02036-X.
2. Хамфрис, Питер (2013). «Распределение весовых сумм функции Лиувилля и гипотеза Полиа». Журнал теории чисел. 133 (2): 545–582. arXiv:1108.1524. Дои:10.1016 / j.jnt.2012.08.011.

• Поля, Г. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 28: 31–40.
• Хазелгроув, К. Брайан (1958). «Опровержение гипотезы Поля». Математика. 5 (2): 141–145. Дои:10.1112 / S0025579300001480. ISSN  0025-5793. МИСТЕР  0104638. Zbl  0085.27102.
• Леман, Р. (1960). «О функции Лиувилля». Математика. Comp. 14 (72): 311–320. Дои:10.1090 / S0025-5718-1960-0120198-5. МИСТЕР  0120198.
• Танака, Минору (1980). "Численное исследование кумулятивной суммы функции Лиувилля". Токийский математический журнал. 3 (1): 187–189. Дои:10.3836 / tjm / 1270216093. МИСТЕР  0584557.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Лиувилля». MathWorld.
• А.Ф. Лаврик (2001) [1994], «Функция Лиувилля», Энциклопедия математики, EMS Press