Функция Мертенса - Mertens function

Функция Мертенса до n = 10,000

Функция Мертенса до n = 10 000 000

В теория чисел, то Функция Мертенса определено для всех положительных целые числа п в качестве

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$

где μ (k) - Функция Мёбиуса. Функция названа в честь Франц Мертенс. Это определение можно расширить до положительного действительные числа следующее:

${\displaystyle M(x)=M(\lfloor x\rfloor ).}$

Менее формально, ${\displaystyle M(x)}$ количество целые числа без квадратов вплоть до Икс которые имеют четное число простых множителей минус количество тех, которые имеют нечетное число.

Первые 143 M(п) это: (последовательность A002321 в OEIS )

M(п)	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11
0+		1	0	−1	−1	−2	−1	−2	−2	−2	−1	−2
12+	−2	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−3	−3	−2	−1	−2
24+	−2	−2	−1	−1	−1	−2	−3	−4	−4	−3	−2	−1
36+	−1	−2	−1	0	0	−1	−2	−3	−3	−3	−2	−3
48+	−3	−3	−3	−2	−2	−3	−3	−2	−2	−1	0	−1
60+	−1	−2	−1	−1	−1	0	−1	−2	−2	−1	−2	−3
72+	−3	−4	−3	−3	−3	−2	−3	−4	−4	−4	−3	−4
84+	−4	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−1	−1	0	1	2
96+	2	1	1	1	1	0	−1	−2	−2	−3	−2	−3
108+	−3	−4	−5	−4	−4	−5	−6	−5	−5	−5	−4	−3
120+	−3	−3	−2	−1	−1	−1	−1	−2	−2	−1	−2	−3
132+	−3	−2	−1	−1	−1	−2	−3	−4	−4	−3	−2	−1

Функция Мертенса медленно растет в положительном и отрицательном направлениях как в среднем, так и в пиковом значении, осциллируя явно хаотическим образом, переходя через ноль, когда п имеет ценности

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... (последовательность A028442 в OEIS ).

Поскольку функция Мёбиуса принимает только значения −1, 0 и +1, функция Мертенса движется медленно и нет Икс такой, что |M(Икс)| > Икс. В Гипотеза Мертенса пошел дальше, заявив, что не будет Икс где модуль функции Мертенса превышает квадратный корень из Икс. Гипотеза Мертенса была доказана в 1985 г. Андрей Одлызко и Герман те Риле. Тем не менее Гипотеза Римана эквивалентно более слабой гипотезе о росте M(Икс), а именно M(Икс) = О(Икс^{1/2 + ε}). Поскольку высокие значения для M(Икс) растут как минимум так быстро, как ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$, это накладывает довольно жесткие ограничения на скорость его роста. Здесь, О относится к Обозначение Big O.

Истинная скорость роста M(Икс) не известно. Неопубликованная гипотеза Стива Гонека утверждает, что

${\displaystyle 0<\limsup _{x\to \infty }{\frac {|M(x)|}{{\sqrt {x}}(\log \log \log x)^{5/4}}}<\infty .}$

Вероятное свидетельство этой гипотезы дает Натан Нг.^[1] В частности, Ng дает условное доказательство того, что функция ${\displaystyle e^{-y/2}M(e^{y})}$ имеет предельное распространение ${\displaystyle \nu }$ на ${\displaystyle \mathbb {R} }$. То есть для всех ограниченных Липшицева непрерывная функции ${\displaystyle f}$ на самом деле у нас есть это

${\displaystyle \lim _{Y\rightarrow \infty }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{Y}f\left(e^{-y/2}M(e^{y})\right)dy=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)d\nu (x).}$

Представления

Как интегральная

С использованием Произведение Эйлера можно найти, что

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

куда ${\displaystyle \zeta (s)}$ это Дзета-функция Римана и произведение берется по простым числам. Затем, используя это Серия Дирихле с Формула Перрона, получаем:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x)}$

куда c > 1.

И наоборот, есть Преобразование Меллина

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

что справедливо для ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}$.

Любопытное отношение самого Мертенса, касающееся второго Функция Чебышева является

${\displaystyle \psi (x)=M\left({\frac {x}{2}}\right)\log(2)+M\left({\frac {x}{3}}\right)\log(3)+M\left({\frac {x}{4}}\right)\log(4)+\cdots .}$

Предполагая, что дзета-функция Римана не имеет кратных нетривиальных нулей, можно получить "точную формулу" теорема о вычетах:

${\displaystyle M(x)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

Weyl предположил, что функция Мертенса удовлетворяет приближенному функционально-дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}\,du=x^{-1}H(\log x)}$

куда ЧАС(Икс) это Ступенчатая функция Хевисайда, B находятся Числа Бернулли и все производные по т оцениваются в т = 0.

Существует также формула следа, включающая сумму по функции Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в виде

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\gamma }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(1/2+i\gamma )}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}\,dx,}$

где первая сумма в правой части берется по нетривиальным нулям дзета-функции Римана, а (грамм,час) связаны преобразованием Фурье, так что

${\displaystyle 2\pi g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }h(u)e^{iux}\,du.}$

В виде суммы по последовательностям Фарея

Другая формула для функции Мертенса:

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}}$ куда ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ это Последовательность Фари порядка п.

Эта формула используется при доказательстве Теорема Франеля – Ландау.^[2]

В качестве определяющего

M(п) это детерминант из п × п Матрица Редхеффера, а (0,1) матрица в которома_ij равно 1, если либо j равно 1 или я разделяет j.

Как сумма количества точек под n-мерными гиперболоидами^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle M(x)=1-\sum _{2\leq a\leq x}1+{\underset {ab\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}1-{\underset {abc\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}}}1+{\underset {abcd\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}1-\cdots }$

Эта формулировка, расширяющая функцию Мертенса, предлагает асимптотические оценки, полученные при рассмотрении Проблема делителей Пильца который обобщает Проблема делителей Дирихле вычислений асимптотические оценки для сумматорной функции делительная функция.

Расчет

Ни один из упомянутых ранее методов не приводит к практическим алгоритмам вычисления функции Мертенса. Используя методы сита, подобные тем, которые используются при подсчете простых чисел, функция Мертенса была вычислена для всех целых чисел вплоть до возрастающего диапазона Икс.^[3][4]

Человек	Год	Предел
Мертенс	1897	10^4
фон Стернек	1897	1.5×105
фон Стернек	1901	5×105
фон Стернек	1912	5×106
Neubauer	1963	10^8
Коэн и платье	1979	7.8×109
Платье	1993	10^12
Лиоэн и ван де Люн	1994	10^13
Котник и ван де Люн	2003	10^14
Hurst	2016	10^16

Функция Мертенса для всех целочисленных значений до Икс может быть вычислено в O (х журнал журнал х) время. Комбинаторные алгоритмы могут вычислять изолированные значения М (х) в O (x^2/3(журнал журнал x)^1/3) time, а также известны более быстрые некомбинаторные методы.^[5]

Видеть OEIS: A084237 для ценностей M(Икс) при степени 10.

Известные верхние границы

Нг отмечает, что Гипотеза Римана (RH) эквивалентно

${\displaystyle M(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log \log x}}\right)\right),}$

для некоторой положительной постоянной ${\displaystyle C>0}$. Другие верхние границы были получены Майером, Монтгомери и Саундараджаном, предполагая, что RH включает

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61}}\right)\\|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right).\end{aligned}}}$

Другие явные оценки сверху даны Котником как

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {x}{4345}},\ {\text{ for }}x>2160535\\|M(x)|&<{\frac {0.58782\cdot x}{\log ^{11/9}(x)}},\ {\text{ for }}x>685.\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Формула Перрона
• Функция Лиувилля

Примечания

1. Нг
2. Эдвардс, гл. 12,2
3. Котник, Тадей; ван де Люн, янв (ноябрь 2003 г.). «Дальнейшие систематические вычисления сумматорной функции функции Мёбиуса». MAS-R0313.
4. Херст, Грег (2016). «Вычисления функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv:1610.08551 [math.NT ].
5. Риват, Джоол; Делеглиз, Марк (1996). «Вычисление суммы функции Мёбиуса». Экспериментальная математика. 5 (4): 291–295. ISSN  1944–950X.

Рекомендации

• Эдвардс, Гарольд (1974). Дзета-функция Римана. Минеола, Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-41740-9.
• Мертенс, Ф. (1897). ""Über eine zahlentheoretische Funktion ", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich ". Kleine Sitzungsber, IIa. 106: 761–830.
• Одлызко, А.М.; те Риле, Герман (1985). «Опровержение гипотезы Мертенса» (PDF). Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 357: 138–160.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мертенса». MathWorld.
• Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A002321 (функция Мертенса)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
• Делеглиз, М. и Риват, Дж. «Вычисление суммирования функции Мёбиуса». Экспериментируйте. Математика. 5, 291-295, 1996. https://projecteuclid.org/euclid.em/1047565447
• Херст, Грег (2016). «Вычисления функции Мертенса и улучшенные оценки гипотезы Мертенса». arXiv:1610.08551 [math.NT ].
• Натан Нг, "Распределение сумматорной функции функции Мёбиуса", Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 89 (2004) 361-389. http://www.cs.uleth.ca/~nathanng/RESEARCH/mobius2b.pdf