Сумма Рамануджана - Ramanujans sum

Не путать с Рамануджан суммирование.

В теория чисел, филиал математика, Сумма Рамануджана, обычно обозначается c_q(п), является функцией двух положительных целых переменных q и п определяется формулой:

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}$

куда (а, q) = 1 означает, что а принимает только ценности совмещать к q.

Шриниваса Рамануджан упомянул суммы в статье 1918 года.^[1] В дополнение к разложениям, обсуждаемым в этой статье, суммы Рамануджана используются в доказательстве Теорема Виноградова что каждое достаточно большое нечетное число является суммой трех простые числа.^[2]

Обозначение

Для целых чисел а и б, ${\displaystyle a\mid b}$ читается "а разделяет б"и означает, что есть целое число c такой, что б = ac. По аналогии, ${\displaystyle a\nmid b}$ читается "а не разделяет б". Символ суммирования

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,m}f(d)}$

Значит это d проходит через все положительные делители м, например

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).}$

${\displaystyle (a,\,b)}$ это наибольший общий делитель,

${\displaystyle \phi (n)}$ является Функция Эйлера,

${\displaystyle \mu (n)}$ это Функция Мёбиуса, и

${\displaystyle \zeta (s)}$ это Дзета-функция Римана.

Формулы для c_q(п)

Тригонометрия

Эти формулы взяты из определения, Формула Эйлера ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$ и элементарные тригонометрические тождества.

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

и так далее (OEIS: A000012, OEIS: A033999, OEIS: A099837, OEIS: A176742,.., OEIS: A100051, ...) Они показывают, что c_q(п) всегда реально.

Клюйвер

Позволять ${\displaystyle \zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.}$ потом ζ_q является корнем уравнения Икс^q − 1 = 0. Каждая из его способностей,

${\displaystyle \zeta _{q},\zeta _{q}^{2},\ldots ,\zeta _{q}^{q-1},\zeta _{q}^{q}=\zeta _{q}^{0}=1}$

тоже корень. Следовательно, поскольку есть q из них все они - корни. Цифры ${\displaystyle \zeta _{q}^{n}}$ где 1 ≤ п ≤ q называются q-го корни единства. ζ_q называется примитивный qкорень -й степени из единицы, поскольку наименьшее значение п что делает ${\displaystyle \zeta _{q}^{n}=1}$ является q. Другой примитив q-корни из единицы - числа ${\displaystyle \zeta _{q}^{a}}$ куда (а, q) = 1. Следовательно, существуют φ (q) примитивный q-й корень единства.

Таким образом, сумма Рамануджана c_q(п) - сумма п-ые степени примитива qкорни единства.

Это факт^[3] что полномочия ζ_q являются в точности первообразными корнями всех делителей q.

Пример. Позволять q = 12. Тогда

${\displaystyle \zeta _{12},\zeta _{12}^{5},\zeta _{12}^{7},}$ и ${\displaystyle \zeta _{12}^{11}}$ примитивные корни двенадцатой степени из единицы,

${\displaystyle \zeta _{12}^{2}}$ и ${\displaystyle \zeta _{12}^{10}}$ являются первобытными шестыми корнями из единства,

${\displaystyle \zeta _{12}^{3}=i}$ и ${\displaystyle \zeta _{12}^{9}=-i}$ примитивные корни четвертой степени единства,

${\displaystyle \zeta _{12}^{4}}$ и ${\displaystyle \zeta _{12}^{8}}$ примитивные третьи корни единства,

${\displaystyle \zeta _{12}^{6}=-1}$ - примитивный второй корень из единицы, а

${\displaystyle \zeta _{12}^{12}=1}$ является первобытным корнем единства.

Следовательно, если

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}}$

это сумма п-ые степени всех корней, примитивных и первобытных,

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{d\mid q}c_{d}(n),}$

и по Инверсия Мёбиуса,

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).}$

Из тождества следует Икс^q − 1 = (Икс − 1)(Икс^q−1 + Икс^q−2 + ... + Икс + 1) что

${\displaystyle \eta _{q}(n)={\begin{cases}0&q\nmid n\\q&q\mid n\\\end{cases}}}$

и это приводит к формуле

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d,}$

опубликовано Клюйвером в 1906 году.^[4]

Это показывает, что c_q(п) всегда целое число. Сравните это с формулой

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.}$

фон Стернек

Из определения легко показать, что c_q(п) является мультипликативный когда рассматривается как функция q за фиксированное значение п:^[5] т.е.

${\displaystyle {\mbox{If }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ then }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

Из определения (или формулы Клюйвера) нетрудно доказать, что если п простое число,

${\displaystyle c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},}$

и если п^k это основная сила, где k > 1,

${\displaystyle c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.}$

Этот результат и свойство мультипликативности могут быть использованы для доказательства

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.}$

Это называется арифметической функцией фон Стернека.^[6] Эквивалентность этой суммы и суммы Рамануджана принадлежит Гёльдеру.^[7][8]

Другие свойства c_q(п)

Для всех положительных целых чисел q,

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(q)&=1\\c_{q}(1)&=\mu (q)\\c_{q}(q)&=\phi (q)\\c_{q}(m)&=c_{q}(n)&&{\text{for }}m\equiv n{\pmod {q}}\\\end{aligned}}}$

При фиксированном значении q абсолютное значение последовательности ${\displaystyle \{c_{q}(1),c_{q}(2),\ldots \}}$ ограничена φ (q), а при фиксированном значении п абсолютное значение последовательности ${\displaystyle \{c_{1}(n),c_{2}(n),\ldots \}}$ ограничен п.

Если q > 1

${\displaystyle \sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.}$

Позволять м₁, м₂ > 0, м = lcm (м₁, м₂). потом^[9] Суммы Рамануджана удовлетворяют свойство ортогональности:

${\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Позволять п, k > 0. Тогда^[10]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},}$

известный как Брауэр - Радемахер личность.

Если п > 0 и а любое целое число, мы также имеем^[11]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a),}$

из-за Коэна.

Стол

Рамануджан Сум c_s(п)

		п
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
s	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	2	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1
	3	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2
	4	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2
	5	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4
	6	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2
	7	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1
	8	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0
	9	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3
	10	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4
	11	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	12	0	2	0	−2	0	−4	0	−2	0	2	0	4	0	2	0	−2	0	−4	0	−2	0	2	0	4	0	2	0	−2	0	−4
	13	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1
	14	1	−1	1	−1	1	−1	−6	−1	1	−1	1	−1	1	6	1	−1	1	−1	1	−1	−6	−1	1	−1	1	−1	1	6	1	−1
	15	1	1	−2	1	−4	−2	1	1	−2	−4	1	−2	1	1	8	1	1	−2	1	−4	−2	1	1	−2	−4	1	−2	1	1	8
	16	0	0	0	0	0	0	0	−8	0	0	0	0	0	0	0	8	0	0	0	0	0	0	0	−8	0	0	0	0	0	0
	17	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	16	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	18	0	0	3	0	0	−3	0	0	−6	0	0	−3	0	0	3	0	0	6	0	0	3	0	0	−3	0	0	−6	0	0	−3
	19	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	18	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	20	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−8	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	8	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−8
	21	1	1	−2	1	1	−2	−6	1	−2	1	1	−2	1	−6	−2	1	1	−2	1	1	12	1	1	−2	1	1	−2	−6	1	−2
	22	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	−10	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	10	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1
	23	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	22	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	24	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	−8	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	8	0	0	0	4	0	0
	25	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	20	0	0	0	0	−5
	26	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	−12	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	12	1	−1	1	−1
	27	0	0	0	0	0	0	0	0	−9	0	0	0	0	0	0	0	0	−9	0	0	0	0	0	0	0	0	18	0	0	0
	28	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−12	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	12	0	2
	29	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	28	−1
	30	−1	1	2	1	4	−2	−1	1	2	−4	−1	−2	−1	1	−8	1	−1	−2	−1	−4	2	1	−1	−2	4	1	2	1	−1	8

Расширения Рамануджана

Если ж(п) является арифметическая функция (т.е. комплексная функция целых или натуральных чисел), то сходящийся бесконечный ряд формы:

${\displaystyle f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)}$

или в форме:

${\displaystyle f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)}$

где а_k ∈ C, называется Рамануджан расширение^[12] из ж(п).

Рамануджан нашел расширения некоторых известных функций теории чисел. Все эти результаты доказываются "элементарным" способом (т.е. только с использованием формальных манипуляций с рядами и простейших результатов о сходимости).^[13][14][15]

Расширение нулевая функция зависит от результата аналитической теории простых чисел, а именно от того, что ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}}$

сходится к 0, а результаты для р(п) и р′(п) зависят от теорем из более ранней статьи.^[16]

Все формулы в этом разделе взяты из статьи Рамануджана 1918 года.

Производящие функции

В производящие функции из сумм Рамануджана составляют Серия Дирихле:

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}}$

является производящей функцией для последовательности c_q(1), c_q(2), ... где q остается постоянным, и

${\displaystyle {\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}}$

является производящей функцией для последовательности c₁(п), c₂(п), ... куда п остается постоянным.

Также существует двойная серия Дирихле.

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.}$

σ_k(п)

σ_k(п) это делительная функция (т.е. сумма k-ые степени делителей п, в том числе 1 и п). σ₀(п), количество делителей п, обычно пишется d(п) и σ₁(п) сумма делителей п, обычно пишут σ (п).

Если s > 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{s}(n)&=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\\\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Параметр s = 1 дает

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\cdots \right).}$

Если Гипотеза Римана правда, и ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<s<{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\cdots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\cdots \right).}$

d(п)

d(п) = σ₀(п) - количество делителей п, в том числе 1 и п сам.

${\displaystyle {\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}}$

где γ = 0,5772 ... - Константа Эйлера – Маскерони.

φ(п)

Функция Эйлера φ (п) - количество натуральных чисел меньше п и взаимно просты с п. Рамануджан определяет его обобщение, если

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots }$

разложение на простые множители п, и s - комплексное число, пусть

${\displaystyle \varphi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,}$

так что φ₁(п) = φ(п) - функция Эйлера.^[17]

Он доказывает, что

${\displaystyle {\frac {\mu (n)n^{s}}{\varphi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}}$

и использует это, чтобы показать, что

${\displaystyle {\frac {\varphi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\varphi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\varphi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\varphi _{s+1}(3)}}+\cdots .}$

Сдача s = 1,

${\displaystyle \varphi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\cdots \right).}$

Обратите внимание, что постоянная обратная^[18] единицы в формуле для σ (п).

Λ (п)

Функция фон Мангольдта Λ (п) = 0 пока не п = п^k является степенью простого числа, в этом случае это натуральный логарифм log п.

${\displaystyle -\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\cdots }$

Нуль

Для всех п > 0,

${\displaystyle 0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\cdots .}$

Это эквивалентно теорема о простых числах.^[19][20]

р_2s(п) (суммы квадратов)

р_2s(п) - это номер способа представления п как сумма 2s квадраты, считая разные порядки и знаки как разные (например, р₂(13) = 8, так как 13 = (± 2)² + (±3)² = (±3)² + (±2)².)

Рамануджан определяет функцию δ_2s(п) и ссылки на статью^[21] в котором он доказал, что р_2s(п) = δ_2s(п) за s = 1, 2, 3 и 4. Для s > 4 он показывает, что δ_2s(п) является хорошим приближением к р_2s(п).

s = 1 имеет специальную формулу:

${\displaystyle \delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\cdots \right).}$

В следующих формулах знаки повторяются с периодом 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ and }}s>1\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 3{\pmod {4}}\\\end{aligned}}}$

и поэтому,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle r'_{2s}(n)}$ (суммы треугольников)

${\displaystyle r'_{2s}(n)}$ это количество способов п можно представить как сумму 2s треугольные числа (т.е. числа 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; п-е треугольное число определяется формулой п(п + 1)/2.)

Анализ здесь аналогичен анализу квадратов. Рамануджан ссылается на ту же работу, что и для квадратов, где он показал, что существует функция ${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$ такой, что ${\displaystyle r'_{2s}(n)=\delta '_{2s}(n)}$ за s = 1, 2, 3 и 4, а для s > 4, ${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$ хорошее приближение к ${\displaystyle r'_{2s}(n).}$

Опять таки, s = 1 требует специальной формулы:

${\displaystyle \delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right).}$

Если s делится на 4,

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}-{\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}}-\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {2}}{\text{ and }}s>1\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{4}(n)&=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{6}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\frac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}}-\cdots \right)\\[6pt]r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Суммы

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\cdots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}}$

Тогда для s > 1,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=-{\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}}-{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}}-{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots \\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=-{\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}}-{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}-{\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}}-\cdots \\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n-{\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}}-{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Гауссовский период
• Сумма Клоостермана

Примечания

1. Рамануджан, О некоторых тригонометрических суммах ...

   Очевидно, что эти суммы представляют большой интерес, и некоторые из их свойств уже обсуждались. Но, насколько мне известно, они никогда не рассматривались с точки зрения, которую я принимаю в этой статье; и я считаю, что все результаты, которые он содержит, являются новыми.

   (Статьи, п. 179). В сноске цитируются стр. 360–370 книги Дирихле-Дедекинда. Vorlesungen über Zahlentheorie, 4-е изд.
2. Натансон, гл. 8
3. Харди и Райт, Thms 65, 66
4. Г. Х. Харди, П. В. Сешу Айяр и Б. М. Уилсон, примечания к О некоторых тригонометрических суммах ..., Рамануджан, Статьи, п. 343
5. Шварц и Спилкен (1994) стр.16
6. Б. Берндт, комментарий к О некоторых тригонометрических суммах ..., Рамануджан, Статьи, п. 371
7. Кнопфмахер, стр. 196
8. Харди и Райт, стр. 243
9. Tóth, внешние ссылки, ур. 6
10. Tóth, внешние ссылки, ур. 17.
11. Tóth, внешние ссылки, ур. 8.
12. Б. Берндт, комментарий к О некоторых тригонометрических суммах ..., Рамануджан, Статьи, стр. 369–371
13. Рамануджан, О некоторых тригонометрических суммах ...

    Большинство моих формул являются «элементарными» в техническом смысле слова - они могут быть (то есть) доказаны комбинацией процессов, включающих только конечную алгебру и простые общие теоремы, касающиеся бесконечных рядов.

    (Статьи, п. 179)
14. Теория формальных рядов Дирихле обсуждается в Hardy & Wright, § 17.6, и в Knopfmacher.
15. Кнопфмахер, гл. 7 обсуждает расширение Рамануджана как тип разложения Фурье во внутреннем пространстве продукта, которое имеет c_q как ортогональный базис.
16. Рамануджан, О некоторых арифметических функциях
17. Это Тотальная функция Джордана, Дж_s(п).
18. Ср. Харди и Райт, Thm. 329, в котором говорится, что ${\displaystyle \;{\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\sigma (n)\phi (n)}{n^{2}}}<1.}$
19. Харди, Рамануджан, п. 141
20. Б. Берндт, комментарий к О некоторых тригонометрических суммах ..., Рамануджан, Статьи, п. 371
21. Рамануджан, О некоторых арифметических функциях

Рекомендации

• Харди, Г. Х. (1999), Рамануджан: Двенадцать лекций по предметам, предложенным его жизнью и работой, Провиденс, Род-Айленд: AMS / Челси, ISBN  978-0-8218-2023-0

• Харди, Г. Х.; Райт, Э.М. (1979) [1938]. Введение в теорию чисел (5-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  0-19-853171-0. МИСТЕР  0568909. Zbl  0423.10001.
• Кнопфмахер, Джон (1990) [1975], Абстрактная аналитическая теория чисел (2-е изд.), Нью-Йорк: Довер, ISBN  0-486-66344-2, Zbl  0743.11002

• Натансон, Мелвин Б. (1996), Аддитивная теория чисел: классические основы, Тексты для выпускников по математике, 164, Springer-Verlag, Раздел A.7, ISBN  0-387-94656-X, Zbl  0859.11002.
• Николь, К. А. (1962). «Некоторые формулы, включающие суммы Рамануджана». Может. J. Math. 14: 284–286. Дои:10.4153 / CJM-1962-019-8.

• Рамануджан, Шриниваса (1918), "О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях в теории чисел", Труды Кембриджского философского общества, 22 (15): 259–276 (стр. 179–199 его Сборник статей)

• Рамануджан, Шриниваса (1916), «О некоторых арифметических функциях», Труды Кембриджского философского общества, 22 (9): 159–184 (стр. 136–163 его Сборник статей)

• Рамануджан, Шриниваса (2000), Сборник статей, Провиденс, Род-Айленд: AMS / Челси, ISBN  978-0-8218-2076-6

• Шварц, Вольфганг; Спилкер, Юрген (1994), Арифметические функции. Введение в элементарные и аналитические свойства арифметических функций и некоторые из их почти периодических свойств, Серия лекций Лондонского математического общества, 184, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-42725-8, Zbl  0807.11001

внешняя ссылка

• Тот, Ласло (2011). «Суммы произведений сумм Рамануджана». ANNALI DELL'UNIVERSITA 'DI FERRARA. 58: 183–197. arXiv:1104.1906. Дои:10.1007 / s11565-011-0143-3.