Функция Джорданса totient - Jordans totient function

Позволять ${\displaystyle k}$ быть положительное число. В теория чисел, Тотальная функция Джордана ${\displaystyle J_{k}(n)}$ положительного целого числа ${\displaystyle n}$ это количество ${\displaystyle k}$-наборы натуральных чисел все меньше или равны ${\displaystyle n}$ которые образуют взаимно простой ${\displaystyle (k+1)}$-пара вместе с ${\displaystyle n}$. (Кортеж взаимно прост тогда и только тогда, когда он взаимно проста как набор.) Это обобщение теории Эйлера. общая функция, который ${\displaystyle J_{1}}$. Функция названа в честь Камилла Джордан.

Определение

Для каждого ${\displaystyle k}$, Функция Джордана ${\displaystyle J_{k}}$ является мультипликативный и может быть оценен как

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)\,}$, куда ${\displaystyle p}$ пробегает простые делители числа ${\displaystyle n}$.

Характеристики

• ${\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}$

который может быть написан на языке Свёртки Дирихле в качестве^[1]

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$

и через Инверсия Мёбиуса в качестве

${\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}$.

Поскольку Производящая функция Дирихле из ${\displaystyle \mu }$ является ${\displaystyle 1/\zeta (s)}$ и производящая функция Дирихле ${\displaystyle n^{k}}$ является ${\displaystyle \zeta (s-k)}$, серия для${\displaystyle J_{k}}$ становится

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}}$.

• An средний заказ из ${\displaystyle J_{k}(n)}$ является

${\displaystyle {\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)}}}$.

• В Пси-функция Дедекинда является

${\displaystyle \psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}}$,

и проверив определение (признавая, что каждый множитель в произведении над простыми числами является циклотомическим полиномом от ${\displaystyle p_{-k}}$), арифметические функции, определенные ${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$ или же ${\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$также могут быть показаны как целочисленные мультипликативные функции.

• ${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$.      ^[2]

Порядок групп матриц

В общая линейная группа матриц порядка ${\displaystyle m}$ над ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$ есть заказ^[3]

${\displaystyle |\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

В специальная линейная группа матриц порядка ${\displaystyle m}$ над ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$ есть заказ

${\displaystyle |\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} /n)|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

В симплектическая группа матриц порядка ${\displaystyle m}$ над ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$ есть заказ

${\displaystyle |\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} /n)|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).}$

Первые две формулы были открыты Джорданом.

Примеры

Явные списки в OEIS areJ₂ в OEIS: A007434, Дж₃ в OEIS: A059376, Дж₄ в OEIS: A059377, Дж₅ в OEIS: A059378, Дж₆ до J₁₀ в OEIS: A069091вплоть до OEIS: A069095.

Мультипликативные функции, определяемые отношениями: J₂(п) / Дж₁(п) в OEIS: A001615, Дж₃(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160889, Дж₄(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160891, Дж₅(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160893, Дж₆(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160895, Дж₇(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160897, Дж₈(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160908, Дж₉(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160953, Дж₁₀(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160957, Дж₁₁(п) / Дж₁(п) в OEIS: A160960.

Примеры соотношений J_2k(п) / Дж_k(n) areJ₄(п) / Дж₂(п) в OEIS: A065958, Дж₆(п) / Дж₃(п) в OEIS: A065959, а J₈(п) / Дж₄(п) в OEIS: A065960.

Примечания

1. Sándor & Crstici (2004) с.106.
2. Холден и др. Во внешних ссылках Формула Гегенбауэра
3. Все эти формулы взяты Андричи и Притикари в #Внешняя ссылка

Рекомендации

• Л. Э. Диксон (1971) [1919]. История теории чисел, Vol. я. Chelsea Publishing. п. 147. ISBN  0-8284-0086-5. JFM  47.0100.04.
• М. Рам Мурти (2001). Проблемы аналитической теории чисел. Тексты для выпускников по математике. 206. Springer-Verlag. п. 11. ISBN  0-387-95143-1. Zbl  0971.11001.
• Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II. Дордрехт: Kluwer Academic. С. 32–36. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.

внешняя ссылка

• Андрица, Дорин; Питикари, Михай (2004). «О некоторых расширениях арифметических функций Джордана» (PDF). Acta Universitatis Apulensis (7). МИСТЕР  2157944.
• Холден, Мэтью; Оррисон, Майкл; Варбл, Майкл. «Еще одно обобщение тотенциальной функции Эйлера» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-05. Получено 2011-12-21.