Пси-функция Дедекинда - Dedekind psi function

В теория чисел, то Пси-функция Дедекинда это мультипликативная функция на натуральных числах, определенных

${displaystyle psi (n)=nprod _{p|n}left(1+{frac {1}{p}}ight),}$

где произведение берется по всем простым числам ${displaystyle p}$ разделение ${displaystyle n.}$ (Условно, ${displaystyle psi (1)}$, какой пустой продукт, имеет значение 1.) Функция была введена Ричард Дедекинд в связи с модульные функции.

Значение ${displaystyle psi (n)}$ для первых нескольких целых чисел ${displaystyle n}$ является:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ... (последовательность A001615 в OEIS ).

Функция ${displaystyle psi (n)}$ больше, чем ${displaystyle n}$ для всех ${displaystyle n}$ больше 1 и даже для всех ${displaystyle n}$ больше 2. Если ${displaystyle n}$ это бесквадратный номер тогда ${displaystyle psi (n)=sigma (n)}$, куда ${displaystyle sigma (n)}$ это делительная функция.

В ${displaystyle psi }$ функцию также можно определить, установив ${displaystyle psi (p^{n})=(p+1)p^{n-1}}$ для степеней любого простого ${displaystyle p}$, а затем расширили определение на все целые числа с помощью мультипликативности. Это также приводит к доказательству производящая функция с точки зрения Дзета-функция Римана, который

${displaystyle sum {frac {psi (n)}{n^{s}}}={frac {zeta (s)zeta (s-1)}{zeta (2s)}}.}$

Это также является следствием того факта, что мы можем писать как Свертка Дирихле из ${displaystyle psi =mathrm {Id} *|mu |}$.

Существует также аддитивное определение функции psi. Цитата из Диксона,^[1]

Р. Дедекинд^[2] доказал, что если n всеми способами разлагается на произведение ab и если e - н.п.д. из a, b тогда

${displaystyle sum _{a}(a/e)Phi (e)=nprod _{p|n}left(1+{frac {1}{p}}ight)}$

где a пробегает все делители n, а p - простые делители n.

Обратите внимание, что ${displaystyle Phi }$ это общая функция.

Высшие порядки

Обобщение на более высокие порядки через отношения Тотент Джордана является

${displaystyle psi _{k}(n)={frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$

с серией Дирихле

${displaystyle sum _{ngeq 1}{frac {psi _{k}(n)}{n^{s}}}={frac {zeta (s)zeta (s-k)}{zeta (2s)}}}$.

Это также Свертка Дирихле силы и квадрата Функция Мёбиуса,

${displaystyle psi _{k}(n)=n^{k}*mu ^{2}(n)}$.

Если

${displaystyle epsilon _{2}=1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0ldots }$

это характеристическая функция квадратов другая свертка Дирихле приводит к обобщенному σ-функция,

${displaystyle epsilon _{2}(n)*psi _{k}(n)=sigma _{k}(n)}$.

Рекомендации

1. Леонард Юджин Диксон "История теории чисел", Vol. 1, стр. 123, Chelsea Publishing, 1952 г.
2. Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 83, 1877, стр. 288. Ср. H. Weber, Elliptische Functionen, 1901, 244-5; изд. 2, 1008 (Алгебра III), 234-5

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Дедекинда». MathWorld.

Смотрите также

• Горо Шимура (1971). Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. Принстон. (стр.25, уравнение (1))
• Карелла, Н. А. (2010). «Целые числа без квадратов и экстремальные значения некоторых арифметических функций». arXiv:1012.4817.
• Матар, Ричард Дж. (2011). «Обзор рядов Дирихле по мультипликативным арифметическим функциям». arXiv:1106.4038. Раздел 3.13.2
• OEIS: A065958 ψ₂, OEIS: A065959 ψ₃, и OEIS: A065960 ψ₄