Примон газ - Primon gas

В математическая физика, то примон газ или свободный газ Римана это игрушечная модель простая иллюстрация некоторых соответствий между теория чисел и идеи в квантовая теория поля и динамические системы. Это квантовая теория поля набора невзаимодействующих частиц, примоны; это называется газ или бесплатная модель потому что частицы не взаимодействуют. Идея примонного газа была независимо открыта Дональдом Спектором.^[1] и Бернар Джулия.^[2] Более поздние работы Бакаса и Бовика^[3] и Спектор ^[4] исследовал связь таких систем с теорией струн.

Модель

Государственное пространство

Рассмотрим пространство с состояниями собственные состояния ${displaystyle |pangle }$ помечены простые числа п. В вторично квантованный превращает состояния в частицы, примоны. Многочастичное состояние задается числами ${displaystyle k_{p}}$ примонов в одночастичных состояниях ${displaystyle p}$:

${displaystyle |nangle =|k_{2},k_{3},k_{5},k_{7},k_{11},ldots ,k_{p},ldots angle }$

Это соответствует факторизации ${displaystyle n}$ на простые числа:

${displaystyle n=2^{k_{2}}cdot 3^{k_{3}}cdot 5^{k_{5}}cdot 7^{k_{7}}cdot 11^{k_{11}}cdots p^{k_{p}}cdots }$

Маркировка целым числом п является уникальным, поскольку каждое число имеет уникальную факторизацию на простые числа.

Энергии

Если взять простой квантовый гамильтониан ЧАС иметь собственные значения, пропорциональные logп, это,

${displaystyle H|pangle =E_{p}|pangle }$

с участием

${displaystyle E_{p}=E_{0}log p,,}$

мы естественно привели к

${displaystyle E_{n}=sum _{p}k_{p}E_{p}=E_{0}cdot sum _{p}k_{p}log p=E_{0}log n}$

Статистическая механика

В функция распределения Z дается Дзета-функция Римана:

${displaystyle Z(T):=sum _{n=1}^{infty }exp left({frac {-E_{n}}{k_{B}T}}ight)=sum _{n=1}^{infty }exp left({frac {-E_{0}log n}{k_{B}T}}ight)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}=zeta (s)}$

с участием s = E₀/k_BТ где k_B является Постоянная Больцмана и Т это абсолют температура.

Расходимость дзета-функции при s = 1 соответствует расходимости статистической суммы на Температура Хагедорна изТ_ЧАС = E₀/k_B.

Суперсимметричная модель

Вышеупомянутая модель вторичного квантования предполагает, что частицы бозоны. Если принять за частицы фермионы, то Принцип исключения Паули запрещает многочастичные состояния, которые включают квадраты простых чисел. Посредством спин-статистическая теорема состояния поля с четным числом частиц являются бозонами, а состояния с нечетным числом частиц - фермионами. Фермионный оператор (−1)^F имеет очень конкретную реализацию в этой модели как Функция Мёбиуса ${displaystyle mu (n)}$, в том, что функция Мёбиуса положительна для бозонов, отрицательна для фермионов и равна нулю для состояний, запрещенных принципом исключения.

Более сложные модели

Связи между теорией чисел и квантовой теорией поля могут быть несколько расширены до связей между топологическая теория поля и K-теория, где в соответствии с приведенным выше примером спектр кольца играет роль спектра собственных значений энергии, главные идеалы взять на себя роль простых чисел, групповые представления взять на себя роль целых чисел, группа персонажей заняв место Персонажи Дирихле, и так далее.

использованная литература

1. Д. Спектор, Суперсимметрия и функция обращения Мёбиуса, Сообщения по математической физике 127 (1990) стр. 239–252.
2. Бернард Л. Джулия, Статистическая теория чисел, в теории чисел и физике, ред. J. M. Luck, P. Moussa, M. Waldschmidt, Springer Proceedings in Физика, Vol. 47, Springer-Verlag, Берлин, 1990, стр. 276–293.
3. Бакас И., Бовик М.Дж., Курьезы арифметических газов, J. Math. Phys. 32 (1991) стр. 1881 г.
4. Д. Спектор, Двойственность, частичная суперсимметрия и арифметическая теория чисел, J. Math. Phys. 39 (1998), стр. 1919–1927

внешние ссылки

• Джон Баэз, Результаты этой недели по математической физике, неделя 199