Теорема спин-статистики - Spin–statistics theorem

В квантовая механика, то спин-статистическая теорема связывает внутреннее вращение частицы (угловой момент не из-за орбитального движения) статистика частиц он подчиняется. В единицах приведенная постоянная Планка час, все частицы что двигаться в 3 измерения есть либо целое число вращать или полуцелое число вращение.^[1][2]

Фон

Квантовые состояния и неразличимые частицы

В квантовой системе физическое состояние описывается вектор состояния. Пара различных векторов состояния физически эквивалентны, если их абсолютное значение равно, без учета других взаимодействий. Такая пара неразличимых частиц имеет только одно состояние. Это означает, что если положения частиц меняются местами (т.е. они претерпевают перестановку), это не идентифицирует новое физическое состояние, а скорее соответствует исходному физическому состоянию. Фактически, невозможно сказать, какая частица находится в каком положении.

Хотя физическое состояние не изменяется при обмене положениями частиц, вектор состояния может менять знак в результате обмена. Поскольку при этом не изменяется абсолютное значение вектора состояния, это не влияет на физическое состояние.

Существенным ингредиентом в доказательстве связи спин / статистика является теория относительности, согласно которой физические законы не меняются при Преобразования Лоренца. Операторы поля преобразуются при Преобразования Лоренца согласно спину частицы, которую они создают по определению.

Кроме того, предположение (известное как микропричинность) о том, что пространственноподобные разделенные поля коммутируют или антикоммутируют, может быть сделано только для релятивистских теорий с направлением времени. В противном случае понятие космической сущности бессмысленно. Однако доказательство включает рассмотрение евклидовой версии пространства-времени, в которой направление времени рассматривается как пространственное, как будет теперь объяснено.

Преобразования Лоренца включать трехмерные вращения, а также повышает. Повышение трансферов в точка зрения с другой скоростью, что математически похоже на вращение во времени. К аналитическое продолжение корреляционных функций квантовой теории поля временная координата может стать воображаемый, а затем повышения становятся вращениями. Новое «пространство-время» имеет только пространственные направления и называется Евклидово.

Симметрия обмена или перестановочная симметрия

Бозоны - частицы, волновая функция которых симметрична при таком обмене или перестановке, поэтому, если мы поменяем местами частицы, волновая функция не изменится. Фермионы являются частицами, чья волновая функция антисимметрична, поэтому при таком обмене волновая функция получает знак минус, что означает, что амплитуда двух идентичных фермионов, занимающих одно и то же состояние, должна быть равна нулю. Это Принцип исключения Паули: два одинаковых фермиона не могут находиться в одном состоянии. Для бозонов это правило не выполняется.

В квантовой теории поля состояние или волновая функция описывается формулой полевые операторы работает в некотором базовом состоянии, называемом вакуум. Чтобы операторы могли спроецировать симметричную или антисимметричную составляющую создающей волновой функции, они должны иметь соответствующий закон коммутации. Оператор

${\displaystyle \iint \psi (x,y)\phi (x)\phi (y)\,dx\,dy}$

(с ${\displaystyle \phi }$ оператор и ${\displaystyle \psi (x,y)}$ числовая функция) создает двухчастичное состояние с волновой функцией ${\displaystyle \psi (x,y)}$, и в зависимости от коммутационных свойств полей имеют значение либо только антисимметричные части, либо симметричные части.

Предположим, что ${\displaystyle x\neq y}$ и два оператора работают одновременно; в более общем плане они могут иметь космический разделение, как объясняется ниже.

Если поля ездить, что означает следующее:

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=\phi (y)\phi (x)}$,

то только симметричная часть ${\displaystyle \psi }$ способствует, так что ${\displaystyle \psi (x,y)=\psi (y,x)}$, и поле создаст бозонные частицы.

С другой стороны, если поля антикоммутационный, означающий, что ${\displaystyle \phi }$ имеет свойство, что

${\displaystyle \phi (x)\phi (y)=-\phi (y)\phi (x),}$

то только антисимметричная часть ${\displaystyle \psi }$ способствует, так что ${\displaystyle \psi (x,y)=-\psi (y,x)}$, и частицы будут фермионными.

Наивно, что ни то, ни другое не имеет ничего общего со спином, определяющим свойства вращения частиц, а не обменными свойствами.

Отношение спин – статистика

В соотношение спин – статистика был впервые сформулирован в 1939 г. Маркус Фирц^[3] и был переработан более систематическим образом Вольфганг Паули.^[4] Фирц и Паули аргументировали свой результат перечислением всех теорий свободного поля с учетом требования наличия квадратичных форм для локально коммутирующих^{[требуется разъяснение ]} наблюдаемые, включая положительно определенную плотность энергии. Более концептуальный аргумент был предоставлен Джулиан Швингер в 1950 г. Ричард Фейнман устроил демонстрацию, требуя унитарность для рассеяния как внешнего потенциала варьируется,^[5] что при переводе на полевой язык является условием для квадратичного оператора, связанного с потенциалом.^[6]

Утверждение теоремы

Теорема утверждает, что:

• В волновая функция системы идентичный частицы с целочисленным спином имеют то же значение, когда позиции любых двух частиц меняются местами. Частицы с волновыми функциями, симметричными относительно обмена, называются бозоны.
• Волновая функция системы одинаковых частиц с полуцелым спином меняет знак, когда две частицы меняются местами. Частицы с волновыми функциями антисимметричный под обмен называются фермионы.

Другими словами, теорема спин-статистики утверждает, что частицы с целым спином являются бозонами, а частицы с полуцелым спином - фермионами.

Обсуждение

Наводящий ложный аргумент

Рассмотрим двухполевое операторное произведение

${\displaystyle R(\pi )\phi (x)\phi (-x),}$

куда р представляет собой матрицу, которая поворачивает спиновую поляризацию поля на 180 градусов при повороте на 180 градусов вокруг некоторой конкретной оси. Компоненты ${\displaystyle \phi }$ не показаны в этих обозначениях. ${\displaystyle \phi }$ имеет много компонентов, а матрица р смешивает их друг с другом.

В нерелятивистской теории это произведение можно интерпретировать как уничтожение двух частиц в положениях ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle -x}$ с поляризациями, повернутыми на ${\displaystyle \pi }$ относительно друг друга. Теперь поверните эту конфигурацию на ${\displaystyle \pi }$ вокруг происхождения. При этом вращении две точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle -x}$ меняются местами, и две поляризации поля дополнительно поворачиваются на ${\displaystyle \pi }$. Итак, мы получаем

${\displaystyle R(2\pi )\phi (-x)R(\pi )\phi (x),}$

что для целого спина равно

${\displaystyle \phi (-x)R(\pi )\phi (x)}$

а для полуцелого спина равно

${\displaystyle -\phi (-x)R(\pi )\phi (x)}$

(доказано на Вращение (физика) § Вращения ). Оба оператора ${\displaystyle \pm \phi (-x)R(\pi )\phi (x)}$ все еще аннигилируют две частицы на ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle -x}$. Следовательно, мы утверждаем, что показали, что относительно состояний частиц:

${\displaystyle R(\pi )\phi (x)\phi (-x)={\begin{cases}\phi (-x)R(\pi )\phi (x)&{\text{ for integral spins}},\\-\phi (-x)R(\pi )\phi (x)&{\text{ for half-integral spins}}.\end{cases}}}$

Таким образом, изменение порядка вставки двух соответственно поляризованных операторов в вакуум может быть выполнено вращением за счет знака в полуцелом случае.

Сам по себе этот аргумент не доказывает ничего подобного соотношению спин – статистика. Чтобы понять, почему, рассмотрим нерелятивистское поле со спином 0, описываемое свободным уравнением Шредингера. Такое поле может быть антикоммутирующим или коммутирующим. Чтобы увидеть, где это не удается, представьте, что нерелятивистское поле со спином 0 не имеет поляризации, поэтому произведение выше просто:

${\displaystyle \phi (-x)\phi (x).}$

В нерелятивистской теории это произведение аннигилирует две частицы при ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle -x}$, и имеет нулевое математическое ожидание в любом состоянии. Чтобы иметь ненулевой матричный элемент, это операторное произведение должно находиться между состояниями с двумя частицами справа больше, чем слева:

${\displaystyle \langle 0|\phi (-x)\phi (x)|\psi \rangle .}$

Выполняя вращение, все, что мы узнаем, - это вращение двухчастичного состояния ${\displaystyle |\psi \rangle }$ дает тот же знак, что и изменение порядка оператора. Это не дает дополнительной информации, поэтому этот аргумент ничего не доказывает.

Почему фальшивый аргумент не работает

Чтобы доказать теорему спиновой статистики, необходимо использовать относительность, что очевидно из согласованности нерелятивистского бесспинового фермиона и нерелятивистских спиновых бозонов. В литературе есть утверждения о доказательствах теоремы спиновой статистики, которые не требуют теории относительности,^[7][8] но они не являются доказательствами теорем, как показывают контрпримеры, скорее они являются аргументами в пользу того, почему спин-статистика «естественна», в то время как неправильная статистика^{[требуется разъяснение ]} это «неестественно». В теории относительности связь обязательна.

В теории относительности нет локальных полей, которые были бы чистыми операторами созидания или операторами уничтожения. Каждое локальное поле одновременно создает частицы и аннигилирует соответствующую античастицу. Это означает, что в теории относительности произведение свободного реального поля со спином 0 имеет ненулевой ожидаемое значение вакуума, поскольку помимо создания частиц, которые не аннигилируют, и аннигилирующих частиц, которые не создаются впоследствии, оно также включает в себя часть, которая создает и уничтожает «виртуальные» частицы, существование которых учитывается при расчетах взаимодействия - но никогда как индексы матрицы рассеяния или асимптотические состояния.

${\displaystyle G(x)=\langle 0|\phi (-x)\phi (x)|0\rangle .}$

И теперь можно использовать эвристический аргумент, чтобы увидеть, что ${\displaystyle G(x)}$ равно ${\displaystyle G(-x)}$, который говорит нам, что поля не могут быть антикоммутирующими.

Доказательство

Π вращение в евклидовом xt Плоскость может использоваться для вращения значений математических ожиданий вакуума полевого произведения из предыдущего раздела. В вращение времени превращает рассуждения предыдущего раздела в теорему спин-статистики.

Доказательство требует следующих предположений:

1. Теория имеет лоренц-инвариантный лагранжиан.
2. Вакуум лоренц-инвариантен.
3. Частица - это локализованное возбуждение. Микроскопически он не прикреплен к струне или доменной стенке.
4. Частица распространяется, а это означает, что она имеет конечную, а не бесконечную массу.
5. Частица является настоящим возбуждением, а это означает, что состояния, содержащие эту частицу, имеют положительно определенную норму.

Эти предположения по большей части необходимы, как показывают следующие примеры:

1. В бесспиновое антикоммутирующее поле показывает, что бесспиновые фермионы нерелятивистски согласованы. Точно так же теория спинорного коммутирующего поля показывает, что спинорные бозоны тоже.
2. Это предположение может быть ослаблено.
3. В 2 + 1 измерениях источники для Теория Черна – Саймонса могут иметь экзотические спины, несмотря на то, что трехмерная группа вращений имеет только целочисленные и полуцелые представления спинов.
4. Ультралокальное поле может иметь любую статистику независимо от его спина. Это связано с лоренц-инвариантностью, поскольку бесконечно массивная частица всегда нерелятивистская, а спин не связан с динамикой. Хотя цветные кварки прикреплены к струне КХД и имеют бесконечную массу, соотношение спин-статистика для кварков может быть доказано в пределе малых расстояний.
5. Калибр призраков являются бесспиновыми фермионами, но они включают состояния отрицательной нормы.

Предположения 1 и 2 подразумевают, что теория описывается интегралом по путям, а предположение 3 подразумевает, что существует локальное поле, которое создает частицу.

Плоскость вращения включает время, а вращение в плоскости, включающей время, в евклидовой теории определяет CPT трансформация в теории Минковского. Если теория описывается интегралом по путям, преобразование CPT переводит состояния в их сопряженные, так что корреляционная функция

${\displaystyle \langle 0|R\phi (x)\phi (-x)|0\rangle }$

должно быть положительно определенным при x = 0 по предположению 5, состояния частицы имеют положительную норму. Предположение о конечной массе означает, что эта корреляционная функция отлична от нуля для пространственноподобного x. Лоренц-инвариантность теперь позволяет вращать поля внутри корреляционной функции так, как это было в предыдущем разделе:

${\displaystyle \langle 0|RR\phi (x)R\phi (-x)|0\rangle =\pm \langle 0|\phi (-x)R\phi (x)|0\rangle }$

Где знак зависит от вращения, как и раньше. CPT-инвариантность, или евклидова вращательная инвариантность, корреляционной функции гарантирует, что она равна G (x). Так

${\displaystyle \langle 0|(R\phi (x)\phi (y)-\phi (y)R\phi (x))|0\rangle =0}$

для целочисленных спиновых полей и

${\displaystyle \langle 0|R\phi (x)\phi (y)+\phi (y)R\phi (x)|0\rangle =0}$

для полуцелых спиновых полей.

Поскольку операторы пространственно разделены, другой порядок может создавать только состояния, различающиеся фазой. Аргумент фиксирует фазу равной -1 или 1 в зависимости от спина. Поскольку пространственно-подобные разделенные поляризации можно вращать независимо посредством локальных возмущений, фаза не должна зависеть от поляризации в правильно выбранных координатах поля.

Этот аргумент связан с Джулиан Швингер.^[9]

Невозможно дать элементарного объяснения теоремы о спиновой статистике, несмотря на то, что теорему так просто сформулировать. В лекциях Фейнмана по физике Ричард Фейнман сказал, что это, вероятно, означает, что у нас нет полного понимания основного принципа. видеть дальнейшее чтение ниже.

Чтобы проверить теорему, Дрейк^[10] провели очень точные расчеты для состояний атома He, нарушающих Принцип исключения Паули; они называются паронические состояния. Потом,^[11] пароновое состояние 1s2s ¹S₀ рассчитанный Дрейком, искали с помощью спектрометра атомного пучка. Поиск не увенчался успехом, верхний предел 5x10.⁻⁶.

Последствия

Фермионные поля

Из теоремы о спиновой статистике следует, что частицы с полуцелым спином подчиняются Принцип исключения Паули, а частицы с целым спином - нет. Только один фермион может занимать данный квантовое состояние в любое время, при этом количество бозонов, которые могут занимать квантовое состояние, не ограничено. Основные строительные блоки материи, такие как протоны, нейтроны, и электроны фермионы. Такие частицы, как фотон, которые являются посредниками между частицами материи, являются бозонами.

В Распределение Ферми – Дирака описание фермионов приводит к интересным свойствам. Поскольку только один фермион может занимать данное квантовое состояние, самый низкий одночастичный уровень энергии для фермионов со спином 1/2 содержит не более двух частиц, причем спины частиц выровнены в противоположных направлениях. Таким образом, даже при абсолютный ноль, система из более чем двух фермионов в этом случае все еще обладает значительным количеством энергии. В результате такая фермионная система проявляет внешнюю давление. Даже при ненулевых температурах такое давление может существовать. Этот давление вырождения отвечает за удержание некоторых массивных звезд от коллапса под действием гравитации. Видеть белый Гном, нейтронная звезда, и черная дыра.

Бозонные поля

Есть несколько интересных явлений, связанных с двумя типами статистики. В Распределение Бозе – Эйнштейна который описывает бозоны, приводит к Конденсация Бозе – Эйнштейна. Ниже определенной температуры большинство частиц в бозонной системе будет занимать основное состояние (состояние с наименьшей энергией). Необычные свойства, такие как сверхтекучесть может привести.

Призрачные поля

Призрачные поля не подчиняются соотношению спин – статистика. Видеть Преобразование Клейна о том, как залатать лазейку в теореме.

Отношение к теории представлений группы Лоренца

В Группа Лоренца не имеет нетривиальных унитарные представления конечной размерности. Таким образом, кажется невозможным построить гильбертово пространство, в котором все состояния имеют конечный ненулевой спин и положительную лоренц-инвариантную норму. Эта проблема решается по-разному в зависимости от спин-статистики частицы.

Для состояния с целочисленным спином состояния с отрицательной нормой (известные как «нефизическая поляризация») устанавливаются равными нулю, что позволяет использовать калибровочная симметрия необходимо.

Для состояния полуцелого спина аргумент можно обойти, имея фермионную статистику.^[12]

Ограничения: анионы в 2-х измерениях

Основная статья: Аньон

В 1982 г. физик Франк Вильчек опубликовал исследовательскую работу о возможностях возможных частиц с дробным спином, которую он назвал анйоны от их способности брать «любой» спин.^[13] Он написал, что теоретически предсказано, что они возникнут в низкоразмерных системах, где движение ограничено менее чем тремя пространственными измерениями. Вильчек описал их спиновую статистику как «непрерывную интерполяцию между обычными случаями бозонов и фермионов».^[13] Доказательства существования энионов были представлены экспериментально с 1985 по 2013 год.^[14][15] хотя не считается окончательно установленным, что все предлагаемые виды эйонов существуют. Anyons связаны с коса симметрия и топологические состояния материи.

Смотрите также

• Парастатистика
• Статистика Anyonic
• Статистика косы

Рекомендации

1. Дирак, Поль Адриан Морис (01.01.1981). Принципы квантовой механики. Кларендон Пресс. п. 149. ISBN  9780198520115.
2. Паули, Вольфганг (01.01.1980). Общие принципы квантовой механики. Springer-Verlag. ISBN  9783540098423.
3. Маркус Фирц (1939). "Убер die relativistische Theorie kräftefreier Teilchen mit trustbigem Spin". Helvetica Physica Acta. 12 (1): 3–37. Bibcode:1939АчХФ..12 .... 3Ф. Дои:10.5169 / пломбы-110930.
4. Вольфганг Паули (15 октября 1940 г.). «Связь между вращением и статистикой» (PDF). Физический обзор. 58 (8): 716–722. Bibcode:1940ПхРв ... 58..716П. Дои:10.1103 / PhysRev.58.716.
5. Ричард Фейнман (1961). Квантовая электродинамика. Базовые книги. ISBN  978-0-201-36075-2.
6. Вольфганг Паули (1950). «О связи спина и статистики». Успехи теоретической физики. 5 (4): 526–543. Bibcode:1950PThPh ... 5..526P. Дои:10.1143 / ptp / 5.4.526.
7. Джабс, Артур (5 апреля 2002 г.). «Соединение спина и статистики в квантовой механике». Основы физики. 40 (7): 776–792. arXiv:0810.2399. Bibcode:2010FoPh ... 40..776J. Дои:10.1007 / s10701-009-9351-4.
8. Горовиц, Джошуа (14 апреля 2009 г.). «От интегралов по траекториям к дробной квантовой статистике» (PDF).
9. Джулиан Швингер (15 июня 1951 г.). «Квантовая теория полей I». Физический обзор. 82 (6): 914–917. Bibcode:1951ПхРв ... 82..914С. Дои:10.1103 / PhysRev.82.914.. Единственное различие между аргументами в этой статье и представленными здесь аргументами состоит в том, что оператор «R» в статье Швингера представляет собой чисто обращение времени, а не операцию CPT, но это то же самое для CP-инвариантных теорий свободного поля, которые все были что Швингер считал.
10. Дрейк, G.W.F. (1989). «Прогнозируемые сдвиги энергии для« паронического «гелия». Phys. Ред. А. 39 (2): 897. Дои:10.1103 / PhysRevA.39.897.
11. Deilamian, K .; и другие. (1995). «Поиск мелких нарушений постулата симметризации в возбужденном состоянии гелия». Phys. Rev. Lett. 74 (24): 4787. Дои:10.1103 / PhysRevLett.74.4787.
12. Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-50397-2.
13. Вильчек, Франк (4 октября 1982 г.). «Квантовая механика частиц с дробным спином» (PDF). Письма с физическими проверками. 49 (14): 957–959. Bibcode:1982PhRvL..49..957W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.49.957.
14. Камино, Фернандо Э .; Чжоу, Вэй; Гольдман, Владимир Дж. (17 августа 2005 г.). «Реализация квазичастичного интерферометра Лафлина: наблюдение дробной статистики» (PDF). Физический обзор B. 72 (7): 075342. arXiv:cond-mat / 0502406. Bibcode:2005PhRvB..72g5342C. Дои:10.1103 / PhysRevB.72.075342. Архивировано из оригинал (PDF) 19 июня 2015 г., видеть инжир. 2.B
15. Р. Л. Уиллетт; К. Наяк; Л. Н. Пфайффер; К. У. Вест (12 января 2013 г.). "Осцилляции Ааронова – Бома, настроенные на магнитное поле, и свидетельства существования неабелевых энионов при ν = 5/2". Письма с физическими проверками. 111 (18): 186401. arXiv:1301.2639. Bibcode:2013ПхРвЛ.111р6401В. Дои:10.1103 / PhysRevLett.111.186401. PMID  24237543.

дальнейшее чтение

• Дак, Ян; Сударшан, Э.С.Г. (1998). «К пониманию теоремы спиновой статистики». Американский журнал физики. 66 (4): 284–303. Bibcode:1998AmJPh..66..284D. Дои:10.1119/1.18860.
• Streater, Ray F .; Вайтман, Артур С. (2000). PCT, спин и статистика и все такое (5-е изд.). Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-07062-8.
• Уколы, Артур (2010). «Связь спина и статистики в квантовой механике». Основы физики. 40 (7): 776–792. arXiv:0810.2399. Bibcode:2010FoPh ... 40..776J. Дои:10.1007 / s10701-009-9351-4.

внешняя ссылка

• Хорошее почти доказательство на Домашняя страница Джона Баэза
• Анимация трюка с поясом Дирака с двойным ремнем, показывающая, что ремни ведут себя как частицы со спином 1/2
• Анимация варианта трюка с поясом Дирака, показывающая, что частицы со спином 1/2 являются фермионами