Полуцелое число - Half-integer

В математика, а полуцелое число это номер формы

${\displaystyle n+{1 \over 2}}$,

куда ${\displaystyle n}$ является целое число. Например,

4​¹⁄₂, 7/2, −13/2, 8.5

все полуцелые числа. Полуцелое число, возможно, неправильно, так как набор может быть неправильно истолкован, чтобы включать такие числа, как 1 (т.е. половина целого числа 2). Такое имя, как «целое число плюс половина», может быть более представительным, но «полуцелое число» - традиционный термин.^{[нужна цитата ]} Полуцелые числа встречаются в математике достаточно часто, поэтому удобно использовать отдельный термин.

Обратите внимание, что уменьшение целого числа вдвое не всегда дает полуцелое число; это верно только для нечетные целые числа. По этой причине полуцелые числа также иногда называют полу-нечетные целые числа. Полуцелые числа являются частным случаем диадические рациональные числа (числа, полученные делением целого числа на сила двух ).^[1]

Обозначения и алгебраическая структура

В набор всех полуцелых чисел часто обозначают

${\displaystyle \mathbb {Z} +{1 \over 2}.}$

Целые и полуцелые числа вместе образуют группа при операции сложения, которую можно обозначить^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} }$.

Однако эти числа не образуют звенеть потому что произведение двух полуцелых чисел само по себе не может быть полуцелым.^[3]

Использует

Упаковка сфер

Самый плотный решетчатая упаковка из единичные сферы в четырех измерениях (называемых D₄ решетка ) помещает сферу в каждую точку, координаты которой либо целые, либо полуцелые числа. Эта упаковка тесно связана с Целые числа Гурвица: кватернионы чьи действительные коэффициенты либо целые, либо полуцелые числа.^[4]

Физика

В физике Принцип исключения Паули следует из определения фермионы как частицы, которые имеют спины которые являются полуцелыми числами.^[5]

В уровни энергии из квантовый гармонический осциллятор встречаются в полуцелых числах, и поэтому его самая низкая энергия не равна нулю.^[6]

Объем сферы

Хотя факториал функция определена только для целочисленных аргументов, ее можно расширить до дробных аргументов с помощью гамма-функция. Гамма-функция для полуцелых чисел является важной частью формулы для объем п-мерный шар радиуса р,^[7]

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n}.}$

Значения гамма-функции полуцелых чисел являются целыми кратными квадратного корня из число Пи:

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}}$

куда п!! обозначает двойной факториал.

Рекомендации

1. Сабин, Малкольм (2010), Анализ и дизайн одномерных схем подразделения, Геометрия и вычисления, 6, Springer, стр. 51, ISBN  9783642136481.
2. Тураев, Владимир Г. (2010), Квантовые инварианты узлов и трехмерных многообразий., Исследования Де Грюйтера по математике, 18 (2-е изд.), Вальтер де Грюйтер, стр. 390, г. ISBN  9783110221848.
3. Булос, Джордж; Берджесс, Джон П .; Джеффри, Ричард С. (2002), Вычислимость и логика, Cambridge University Press, стр. 105, ISBN  9780521007580.
4. Джон, Баэз (2005), "О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия Джона Х. Конвея и Дерека А. Смита ", Бюллетень Американского математического общества, 42: 229–243, Дои:10.1090 / S0273-0979-05-01043-8.
5. Месарош, Петер (2010), Вселенная высоких энергий: события сверхвысоких энергий в астрофизике и космологии, Cambridge University Press, стр. 13, ISBN  9781139490726.
6. Фокс, Марк (2006), Квантовая оптика: введение, Оксфордская магистерская серия по физике, 6, Oxford University Press, стр. 131, ISBN  9780191524257.
7. Уравнение 5.19.4, Цифровая библиотека математических функций NIST. http://dlmf.nist.gov/, Выпуск 1.0.6 от 06.05.2013.