Число Серпинского - Sierpiński number

В теория чисел, а Число Серпинского является странный натуральное число k такой, что ${\displaystyle k\times 2^{n}+1}$ является составной для всех натуральных чисел п. В 1960 г. Вацлав Серпинский доказано, что есть бесконечно много странный целые числа k которые обладают этим свойством.

Другими словами, когда k число Серпинского, все члены следующих набор составные:

${\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

Если форма вместо этого ${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$, тогда k это Число Ризеля.

Известные числа Серпинского

Последовательность текущих известный Числа Серпинского начинается с:

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 219153160, 2910193, 29101991, 2910197 ... (последовательность A076336 в OEIS ).

Число 78557 было доказано как число Серпинского. Джон Селфридж в 1962 г., который показал, что все числа вида 78557⋅2^п + 1 есть фактор в комплект покрытия {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}. Для другого известного числа Серпинского, 271129, покрывающее множество {3, 5, 7, 13, 17, 241}. Большинство известных в настоящее время чисел Серпинского обладают похожими покрывающими множествами.^[1]

Однако в 1995 г. А. С. Изотов показал, что некоторые четвертые степени могут быть доказаны как числа Серпинского без установления покрывающего множества для всех значений п. Его доказательство зависит от авериллева факторизация т⁴⋅2^4м+2 + 1 = (т²⋅2^2м+1 + т⋅2^м+1 + 1)⋅(т²⋅2^2м+1 - т⋅2^м+1 + 1). Это устанавливает, что все п ≡ 2 (мод 4) дают начало композиту, и поэтому остается только устранить п ≡ 0, 1, 3 (мод 4) с использованием комплекта покрытия.^[2]

Проблема Серпинского

Дальнейшая информация: Семнадцать или бюст

Нерешенная проблема в математике: 78,557 - это наименьшее число Серпинского? (больше нерешенных задач по математике)

В Проблема Серпинского запрашивает значение наименьшего числа Серпинского. В частной переписке с Пол Эрдёш, Селфридж предполагаемый что 78 557 было наименьшим числом Серпинского.^[3] Меньших чисел Серпинского не обнаружено, и сейчас считается, что 78 557 - это наименьшее число.^[4]

Чтобы показать, что 78 557 действительно является наименьшим числом Серпинского, нужно показать, что все нечетные числа меньше 78 557 нет Числа Серпинского. То есть на каждый нечетный k ниже 78,557, должно существовать положительное целое число п такой, что k2^п + 1 простое.^[1] По состоянию на ноябрь 2018 г.^{[Обновить]}, осталось только пять кандидатов, которые не были исключены из числа возможных номеров Серпинского:^[5]

k = 21181, 22699, 24737, 55459 и 67607.

Проект распределенных добровольных вычислений PrimeGrid пытается удалить все оставшиеся значения k. По состоянию на февраль 2020 г.^{[Обновить]}, для этих значений k, со всеми ${\displaystyle n\leq 31\,875\,742}$ был устранен.^[6]

Последний выбывший кандидат был k = 10223, когда простое число ${\displaystyle 10223\times 2^{31172165}+1}$ был обнаружен PrimeGrid в октябре 2016 года. Это число состоит из 9 383 761 цифры.^[5]

Проблема Прайм Серпинского

Нерешенная проблема в математике: 271,129 - наименьшее простое число Серпинского? (больше нерешенных задач по математике)

В 1976 году Натан Мендельсон определил, что второе доказуемое число Серпинского является простым k = 271129. проблема премьер Серпинского спрашивает значение наименьшего премьер Число Серпинского, и продолжается «поиск Prime Sierpiński», который пытается доказать, что 271129 - это первое число Серпинского, которое также является простым. По состоянию на ноябрь 2018 г.^{[Обновить]}, девять простых значений k менее 271129, для которых простое число формы k2^п + 1 не известно:^[7]

k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931 и 237019.

По состоянию на ноябрь 2019 г.^{[Обновить]}, для этих значений k с ${\displaystyle n\leq 21\,874\,934}$.^[8]

Первые два, меньше 78557, также являются нерешенными случаями (непростой) проблемы Серпинского, описанной выше. Последний выбывший кандидат был k = 168451, когда простое число ${\displaystyle 168451\times 2^{19375200}+1}$ было обнаружено PrimeGrid в сентябре 2017 года. Число состоит из 5 832 522 цифр.^[9]

Расширенная проблема Серпинского

Нерешенная проблема в математике: 271,129 - второй номер Серпинского? (больше нерешенных задач по математике)

Предположим, что обе предыдущие задачи Серпинского были наконец решены, показывая, что 78557 - наименьшее число Серпинского, а 271129 - наименьшее простое число Серпинского. Это все еще оставляет нерешенным вопрос второй Число Серпинского; могло существовать составное число Серпинского k такой, что ${\displaystyle 78557<k<271129}$. Постоянный поиск пытается доказать, что 271129 является вторым номером Серпинского, путем тестирования всех k значения от 78557 до 271129, простые или нет.

Решение расширенной проблемы Серпинского, самой сложной из трех поставленных проблем, требует устранения 23 оставшихся кандидатов. ${\displaystyle k<271129}$, из которых девять простых (см. выше) и четырнадцать составных. К последним относятся k = 21181, 24737, 55459 из исходной проблемы Серпинского, уникальной для расширенной проблемы Серпинского. По состоянию на декабрь 2019 г.^{[Обновить]}, следующие девять значений k оставаться:^[10]

k = 91549, 131179, 163187, 200749, 202705, 209611, 227723, 229673 и 238411.

По состоянию на сентябрь 2019 г.^{[Обновить]}, для этих значений k с ${\displaystyle n\leq 13\,081\,160}$.^[11]

В апреле 2018 г. ${\displaystyle 193997\times 2^{11452891}+1}$ PrimeGrid обнаружил, что это простое число, при этом k = 193997. Число состоит из 3 447 670 цифр.^[12]

Последний раз вылет был в декабре 2019 года, когда ${\displaystyle 99739\times 2^{14019102}+1}$ PrimeGrid обнаружил, что это простое число, исключив k = 99739. Длина числа составляет 4 220 176 цифр.^[13]

Одновременно Серпинский и Ризель

Число может быть одновременно Серпиньским и Ризель. Это числа Бриера. Наименьшие пять известных примеров: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, ... (A076335 ).^[14]

Двойная проблема Серпинского

Если мы возьмем п быть отрицательным целым числом, тогда число k2^п +1 становится ${\displaystyle {\frac {2^{|n|}+k}{2^{|n|}}}}$. Когда k нечетно, это дробь в сокращенном виде с числителем 2^|п| + k. А двойное число Серпинского определяется как нечетное натуральное число k такой, что 2^п + k является составным для всех натуральных чисел п. Есть предположение, что набор этих чисел совпадает с набором чисел Серпинского; Например, 2^п + 78557 является составным для всех натуральных чисел п.^{[нужна цитата ]}

Для нечетных значений k в мере п такой, что 2^п + k просты

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 5, 2, ... (последовательность A067760 в OEIS )

Нечетные значения k для которого 2^п + k составлен для всех п < k находятся

773, 2131, 2491, 4471, 5101, 7013, 8543, 10711, 14717, 17659, 19081, 19249, 20273, 21661, 22193, 26213, 28433, ... (последовательность A033919 в OEIS )

Смотрите также

• Математический портал

• Номер Каллена
• Proth число
• Число Ризеля
• Семнадцать или бюст
• Номер Вудалла

использованная литература

1. Число Серпинского в The Prime Glossary
2. Анатолий Сергеевич Изотов (1995). "Записка о числах Серпинского" (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 33 (3): 206.
3. Эрдеш, Пол; Одлызко, Андрей Михаил (1 мая 1979 г.). "О плотности нечетных целых чисел вида (п − 1)2^−п и связанные вопросы ". Журнал теории чисел. Эльзевир. 11 (2): 258. Дои:10.1016 / 0022-314X (79) 90043-X. ISSN  0022-314X.
4. Гай, Ричард Кеннет (2005). Нерешенные проблемы теории чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. B21: 119–121, F13: 383–385. ISBN  978-0-387-20860-2. OCLC  634701581.
5. Семнадцать или бюст в PrimeGrid.
6. «Статистика семнадцати или разорения». PrimeGrid. Получено Двадцать первое ноября, 2019.
7. Гетц, Майкл (10 июля 2008 г.). "О проблеме прайма Серпинского". PrimeGrid. Получено 12 сентября, 2019.
8. "Статистика проблемы Прайм Серпинского". PrimeGrid. Получено Двадцать первое ноября, 2019.
9. Циммерман, Ван (29 сентября 2017 г.). "Новая PSP Mega Prime!". PrimeGrid. Получено 12 сентября, 2019.
10. Гетц, Майкл (6 апреля 2018 г.). «Добро пожаловать в расширенную проблему Серпинского». PrimeGrid. Получено 21 августа 2019.
11. «Расширенная статистика задачи Серпинского». www.primegrid.com. Получено 6 апреля 2018.
12. Циммерман, Ван (5 апреля 2018 г.). "ESP Mega Prime!". www.primegrid.com. Получено 6 апреля 2018.
13. Браун, Скотт (13 января 2020 г.). "ESP Mega Prime!". PrimeGrid. Получено 18 января 2020.
14. Проблема 29. - числа Бриера

дальнейшее чтение

• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел, Нью-Йорк: Springer-Verlag, п. 120, ISBN  0-387-20860-7

внешняя ссылка

• Проблема Серпинского: определение и статус
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Серпинского о сложном числе". MathWorld.
• Грайм, доктор Джеймс. «78557 и простые простые числа» (видео). YouTube. Брэди Харан. Получено 13 ноября 2017.