Комплект покрытия - Covering set

В математика, а комплект покрытия для последовательность из целые числа относится к набор из простые числа такой, что каждый член в последовательности делимый от хотя бы один член набора.^[1] Термин «покрывающий набор» используется только в сочетании с последовательностями, имеющими экспоненциальный рост.

Числа Серпинского и Ризеля

Использование термина «покрывающий набор» связано с Серпинский и Числа Ризеля. Эти странный натуральные числа $k$ для которого формула $k 2 п + 1$ (Число Серпинского) или $k 2 п - 1$ (Число Ризеля) не дает простых чисел.^[2] С 1960 года известно, что существует бесконечный число как чисел Серпинского, так и чисел Ризеля (как решения семейств совпадения на основе набора ${3, 5, 17, 257, 641, 65537, 6700417}$ ^[а]^[3]), но, поскольку существует бесконечное количество чисел вида $k 2 п + 1$ или $k 2 п - 1$ для любого $k$ , можно только доказать $k$ быть числом Серпинского или Ризеля, показывая, что каждый срок в последовательности $k 2 п + 1$ или $k 2 п - 1$ делится на одно из простых чисел накрывающего множества.

Эти накрывающие множества образуются из простых чисел, которые в база 2 иметь короткие периоды. Чтобы получить полный комплект покрытия, Вацлав Серпинский показал, что последовательность может повторяться не чаще, чем каждые 24 числа. Повторение каждые 24 числа дает набор покрытия ${3, 5, 7, 13, 17, 241}$ , а повторение через каждые 36 членов может дать несколько покрывающих наборов: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}; {3, 5, 7, 13, 19, 37, 109}; {3, 5, 7, 13, 19, 73, 109} и {3, 5, 7, 13, 37, 73, 109}.^[4]

Числа Ризеля имеют те же покрывающие множества, что и числа Серпинского.

Другие комплекты покрытий

Накрывающие множества также используются для доказательства существования составных последовательностей Фибоначчи (последовательность без простых чисел ).

Понятие накрывающего множества легко обобщается на другие последовательности, которые оказываются намного проще.

В следующих примерах + используется как в обычные выражения означать 1 или более. Например, 91⁺3 означает набор ${913, 9113, 91113, 911113\dots}$

Примером могут служить следующие восемь последовательностей:

(29·10^п - 191) / 9 или 32⁺01
(37·10^п + 359) / 9 или 41⁺51
(46·10^п + 629) / 9 или 51⁺81
(59·10^п - 293) / 9 или 65⁺23
(82·10^п + 17) / 9 или 91⁺3
(85·10^п + 41) / 9 или 94⁺9
(86·10^п + 31) / 9 или 95⁺9
(89·10^п + 593) / 9 или 98⁺23

В каждом случае каждый член делится на одно из простых чисел ${3, 7, 11, 13}$ .^[5] Можно сказать, что эти простые числа образуют накрывающее множество, в точности аналогичное числам Серпинского и Ризеля.^[6] Комплект покрытия ${3, 7, 11, 37}$ найдено для нескольких похожих последовательностей,^[6] в том числе:

(38·10^п - 137) / 9 или 42⁺07
(4·10^п - 337) / 9 или 4⁺07
(73·10^п + 359) / 9 или 81⁺51

Еще более простой случай можно найти в последовательности:

(76·10^п − 67) / 99 (n должно быть нечетным) или (76)⁺7 [Последовательность: 7, 767, 76767, 7676767, 767676767 и т. Д.]

Здесь можно показать, что если:

w имеет форму $3 k$ (п = $6 k + 1$ ): (76)⁺7 делится на 7
w имеет форму $3 k + 1$ (п = $6 k + 3$ ): (76)⁺7 делится на 13
w имеет форму $3 k + 2$ (п = $6 k + 5$ ): (76)⁺7 делится на 3

Таким образом, у нас есть накрывающее множество только с тремя простыми числами {3, 7, 13}.^[7] Это возможно только потому, что последовательность дает целые члены только для нечетных n.

Покрывающий набор также встречается в последовательности:

(343·10^п - 1) / 9 или 381⁺.

Здесь можно показать, что:

Если n = $3 k + 1$ , тогда $(343\cdot10 п - 1) / 9$ делится на 3.
Если n = $3 k + 2$ , тогда $(343\cdot10 п - 1) / 9$ делится на 37.
Если n = $3 k$ , тогда $(343\cdot10 п - 1) / 9$ алгебраически факторизуется как $((7\cdot10 k - 1) / 3)\cdot((49\cdot10 2 k + 7\cdot10 k + 1) / 3)$ .

поскольку $(7\cdot10 k - 1) / 3$ можно записать как 23⁺, для последовательности 381⁺, у нас есть покрытие из {3, 37, 23⁺} - комплект покрытия с бесконечно много термины.^[6]

Смотрите также

Система покрытия

Заметки

^а Это, конечно, единственные известные Простые числа Ферма и два простых множителя F₅.

использованная литература

^ Гай, Ричард; Нерешенные проблемы теории чисел; С. 119–121. ISBN 0387208607
^ Уэллс, Дэвид; Простые числа: самые загадочные числа в математике; С. 212, 219. ISBN 1118045718
^ Серпинский, Вацлав (1960); «Sur un problème Concerant les nombres»; Elemente der Mathematik, 15 (1960); стр. 73–96
^ Наборы покрытий для чисел Серпинского
^ Праймы плато и депрессии
^ ^а ^б ^c «Последовательности первой сложности». Архивировано из оригинал на 2014-07-14. Получено 2014-06-17.
^ Плавно волнообразные палиндромные простые числа

внешние ссылки

Числа типа Серпинского

[1] Гай, Ричард; Нерешенные проблемы теории чисел; С. 119–121. ISBN 0387208607

[2] Уэллс, Дэвид; Простые числа: самые загадочные числа в математике; С. 212, 219. ISBN 1118045718

[3] Серпинский, Вацлав (1960); «Sur un problème Concerant les nombres»; Elemente der Mathematik, 15 (1960); стр. 73–96

[4] Наборы покрытий для чисел Серпинского

[5] Праймы плато и депрессии

[difficulty-6] а ^б ^c «Последовательности первой сложности». Архивировано из оригинал на 2014-07-14. Получено 2014-06-17.

[7] Плавно волнообразные палиндромные простые числа

[1]

[2]

[а]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]