Постулат Бертрана - Bertrands postulate

В теория чисел, Постулат Бертрана это теорема заявляя, что для любого целое число ${\displaystyle n>3}$, всегда существует хотя бы один простое число ${\displaystyle p}$ с

${\displaystyle n<p<2n-2.}$

Менее ограничительная формулировка: для каждого ${\displaystyle n>1}$ всегда есть хотя бы одно простое число ${\displaystyle p}$ такой, что

${\displaystyle n<p<2n.}$

Другая формулировка, где ${\displaystyle p_{n}}$ это ${\displaystyle n}$-е простое число, для ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}.}$^[1]

Это утверждение было впервые высказано в 1845 г. Джозеф Бертран^[2] (1822–1900). Сам Бертран проверил свое утверждение для всех чисел в интервале [2, 3 × 10⁶].Его предположение было полностью доказано к Чебышев (1821–1894) в 1852 г.^[3] и поэтому постулат также называют Теорема Бертрана – Чебышева. или же Теорема Чебышева. Теорема Чебышева также может быть сформулирована как связь с ${\displaystyle \pi (x)}$, куда ${\displaystyle \pi (x)}$ это функция подсчета простых чисел (количество простых чисел меньше или равно ${\displaystyle x\,}$):

${\displaystyle \pi (x)-\pi ({\tfrac {x}{2}})\geq 1}$, для всех ${\displaystyle x\geq 2}$.

Теорема о простых числах

В теорема о простых числах (PNT) означает, что количество простых чисел до Икс примерно Икс/ ln (Икс), поэтому если мы заменим Икс с 2Икс то мы видим количество простых чисел до 2Икс асимптотически вдвое больше числа простых чисел до Икс (слагаемые ln (2Икс) и ln (Икс) асимптотически эквивалентны). Следовательно, количество простых чисел между п и 2п примерно п/ ln (п) когда п велико, и поэтому, в частности, в этом интервале намного больше простых чисел, чем гарантирует постулат Бертрана. Итак, постулат Бертрана сравнительно слабее, чем PNT. Но PNT - глубокая теорема, в то время как постулат Бертрана может быть сформулирован более запоминающимся и более легко доказанным, а также содержит точные утверждения о том, что происходит при малых значениях п. (Кроме того, теорема Чебышева была доказана до PNT и поэтому имеет исторический интерес.)

Подобные и до сих пор нерешенные Гипотеза Лежандра спрашивает, для каждого ли п > 1 есть простое число п, так что п² < п < (п + 1)². Опять же, мы ожидаем, что будет не один, а много простых чисел между п² и (п + 1)², но в этом случае PNT не помогает: количество простых чисел до Икс² асимптотичен Икс²/ ln (Икс²), а количество простых чисел до (Икс + 1)² асимптотична (Икс + 1)²/ ln ((Икс + 1)²), которая асимптотична оценке простых чисел с точностью до Икс². В отличие от предыдущего случая Икс и 2Икс мы не получаем доказательства гипотезы Лежандра даже для всех больших п. Оценок погрешности PNT недостаточно (на самом деле не может быть) для доказательства существования хотя бы одного простого числа в этом интервале.

Обобщения

В 1919 г. Рамануджан (1887–1920) использовали свойства Гамма-функция чтобы дать более простое доказательство.^[4] Краткая статья содержала обобщение постулата, из которого позже возникла концепция Простые числа Рамануджана. Произошли также дальнейшие обобщения простых чисел Рамануджана; например, есть доказательство того, что

${\displaystyle 2p_{i-n}>p_{i}{\text{ for }}i>k{\text{ where }}k=\pi (p_{k})=\pi (R_{n})\,,}$

с п_k то kй премьер и р_п то пй Рамануджан премьер.

Другие обобщения постулата Бертрана были получены элементарными методами. (В следующих, п пробегает множество натуральных чисел.) В 2006 г. М. Эль-Бахрауи доказал, что существует простое число между 2п и 3п.^[5] В 1973 г. Денис Хэнсон доказал, что существует простое число между 3п и 4п.^[6] Более того, в 2011 году Энди Лу доказал, что как п стремится к бесконечности, количество простых чисел между 3п и 4п также уходит в бесконечность, тем самым обобщая результаты Эрдеша и Рамануджана (см. ниже раздел о теоремах Эрдеша).^[7] Первый результат получается элементарными методами. Второй основан на аналитических оценках для факториал функция.

Теорема Сильвестра

Постулат Бертрана был предложен для приложений к группы перестановок. Сильвестр (1814–1897) обобщили более слабое утверждение утверждением: продукт k последовательные целые числа больше чем k является делимый на простое число больше, чем k. Постулат Бертрана (более слабый) следует из этого, если взять k = п, и учитывая k числа п + 1, п + 2, до включительно п + k = 2п, куда п > 1. Согласно обобщению Сильвестра, одно из этих чисел имеет простой делитель больше, чемk. Поскольку все эти числа меньше 2 (k + 1), число с простым делителем большеk имеет только один простой делитель и, следовательно, является простым. Обратите внимание, что 2п не является простым, поэтому теперь мы знаем, что существует простое числоп с п < п < 2п.

Теоремы Эрдеша

В 1932 г. Erds (1913–1996) также опубликовали более простое доказательство, использующее биномиальные коэффициенты и Функция Чебышева ϑ, определяется как:

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p=2}^{x}\ln(p)}$

куда п ≤ Икс пробегает простые числа. Видеть доказательство постулата Бертрана для подробностей.^[8]

В 1934 году Эрдеш доказал, что для любого натурального числа k, есть натуральное число N такой, что для всех п > N, есть как минимум k простые числа между п и 2п. Эквивалентное утверждение было доказано в 1919 году Рамануджаном (см. Рамануджан премьер ).

Лучшие результаты

Из теоремы о простых числах следует, что для любого действительного числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ Существует ${\displaystyle n_{0}>0}$ такой, что для всех ${\displaystyle n>n_{0}}$ есть прайм ${\displaystyle p}$ такой, что ${\displaystyle n<p<(1+\varepsilon )n}$. Можно показать, например, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}{n/\log n}}=\varepsilon ,}$

откуда следует, что ${\displaystyle \pi ((1+\varepsilon )n)-\pi (n)}$ стремится к бесконечности (и, в частности, больше 1 для достаточно большой ${\displaystyle n}$).^[9]

Доказаны также неасимптотические оценки. В 1952 году Джитсуро Нагура доказал, что для ${\displaystyle n\geq 25}$ всегда есть премьер между ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{5}}\right)n}$.^[10]

В 1976 г. Лоуэлл Шонфельд показал, что для ${\displaystyle n\geq 2010760}$, всегда есть простое число ${\displaystyle p}$ в открытом интервале ${\displaystyle n<p<\left(1+{\frac {1}{16597}}\right)n}$

.^[11]

В своей докторской диссертации 1998 г. Пьер Дюзар улучшил результат выше, показав, что для ${\displaystyle k\geq 463}$, ${\displaystyle p_{k+1}\leq \left(1+{\frac {1}{2\ln ^{2}{p_{k}}}}\right)p_{k}}$, и в частности для ${\displaystyle x\geq 3275}$, существует простое число ${\displaystyle p}$ в интервале ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{2\ln ^{2}{x}}}\right)x}$

.^[12]

В 2010 году Пьер Дюзар доказал, что для ${\displaystyle x\geq 396738}$ есть хотя бы одно простое число ${\displaystyle p}$ в интервале ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{25\ln ^{2}{x}}}\right)x}$

.^[13]

В 2016 году Пьер Дюзар улучшил свой результат по сравнению с 2010 годом, показав (Предложение 5.4), что если ${\displaystyle x\geq 89693}$, есть хотя бы одно простое число ${\displaystyle p}$ в интервале ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{\ln ^{3}{x}}}\right)x}$

.^[14] Он также показывает (следствие 5.5), что для ${\displaystyle x\geq 468991632}$, есть хотя бы одно простое число ${\displaystyle p}$ в интервале ${\displaystyle x<p\leq \left(1+{\frac {1}{5000\ln ^{2}{x}}}\right)x}$

.

Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале есть простое число ${\displaystyle [x-x^{.525},\,x]}$ для всех достаточно больших ${\displaystyle x}$.^[15]

Последствия

• Последовательность простых чисел вместе с 1 представляет собой полная последовательность; любое положительное целое число можно записать как сумму простых чисел (и 1), используя каждое не более одного раза.
• Единственный номер гармоники то есть целое число - это число 1.^[16]

Смотрите также

• Гипотеза Оппермана

Примечания

1. Рибенбойм, Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п.181. ISBN  978-0-387-20169-6.
2. Бертран, Жозеф (1845), «Воспоминания о номерах валерьянок, о которых идет речь, о том, что они делают, чтобы переставить летописи qu'elle renferme»., Журнал де l'École Royale Polytechnique (На французском), 18 (Cahier 30): 123–140.
3. Чебычев, П. (1852), "Mémoire sur les nombres premiers". (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, Серия 1 (на французском языке): 366–390. (Доказательство постулата: 371-382). См. Также Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St.Pétersbourg, vol. 7. С. 15-33, 1854 г.
4. Рамануджан, С. (1919). «Доказательство постулата Бертрана». Журнал Индийского математического общества. 11: 181–182.
5. М. Эль-Бахрауи, Простые числа в интервале (2n, 3n)
6. Хэнсон, Денис (1973), "Об одной теореме Сильвестра и Шура", Канадский математический бюллетень, 16 (2): 195–199, Дои:10.4153 / CMB-1973-035-3.
7. Лу, Энди (2011), «На простых числах в интервале (3п, 4п)" (PDF), Международный журнал современных математических наук, 6 (38): 1871–1882
8. Эрдеш, П. (1932), "Beweis eines Satzes von Tschebyschef" (PDF), Acta Litt. Sci. (Сегед) (на немецком языке), 5 (1930-1932): 194–198
9. Г. Х. Харди и Э. М. Райт, Введение в теорию чисел, 6-е изд., Oxford University Press, 2008, стр. 494.
10. Нагура, Дж (1952). «На интервале, содержащем хотя бы одно простое число». Труды Японской академии, серия А. 28 (4): 177–181. Дои:10.3792 / pja / 1195570997.
11. Лоуэлл Шонфельд (апрель 1976 г.). "Более точные оценки для функций Чебышева. θ(Икс) и ψ(Икс), II ». Математика вычислений. 30 (134): 337–360. Дои:10.2307/2005976. JSTOR  2005976.
12. Дюзар, Пьер (1998), Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres премьер (PDF) (Докторская диссертация) (на французском языке)
13. Дюзар, Пьер (2010). "Оценки некоторых функций над простыми числами без R.H.". arXiv:1002.0442 [math.NT ].
14. Дюзар, Пьер (2016). «Явные оценки некоторых функций над простыми числами». Рамануджанский журнал. 45: 227–251. Дои:10.1007 / s11139-016-9839-4.
15. Baker, R.C .; Harman, G .; Пинц, Дж. (2001). «Разница между последовательными простыми числами, II». Труды Лондонского математического общества. 83 (3): 532–562. CiteSeerX  10.1.1.360.3671. Дои:10.1112 / plms / 83.3.532.
16. Рональд Л., Грэм; Дональд Э., Кнут; Орен, Паташник (1994). Конкретная математика. Эддисон-Уэсли.

Библиография

• П. Эрдёш (1934). «Теорема Сильвестра и Шура». Журнал Лондонского математического общества. 9 (4): 282–288. Дои:10.1112 / jlms / s1-9.4.282.
• Джитсуро Нагура (1952). «На интервале, содержащем хотя бы одно простое число». Proc. Japan Acad. 28 (4): 177–181. Дои:10.3792 / pja / 1195570997.
• Крис Колдуэлл, Постулат Бертрана в Prime Pages глоссарий.
• Х. Рикардо (2005). «Из гипотезы Гольдбаха следует постулат Бертрана». Амер. Математика. Ежемесячно. 112: 492.
• Хью Л. Монтгомери; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория. Кембриджские трактаты по высшей математике. 97. Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. п. 49. ISBN  978-0-521-84903-6.
• Дж. Сондоу (2009). «Простые числа Рамануджана и постулат Бертрана». Амер. Математика. Ежемесячно. 116 (7): 630–635. arXiv:0907.5232. Дои:10.4169 / 193009709x458609.

внешняя ссылка

• Сондоу, Джонатан & Вайсштейн, Эрик В. «Постулат Бертрана». MathWorld.
• Доказательство слабой версии в Система Мицар: http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
• Постулат Бертрана - Доказательство слабой версии на www.dimostriamogoldbach.it/en/