Постулат Бертрана - Bertrands postulate

В теория чисел, Постулат Бертрана это теорема заявляя, что для любого целое число , всегда существует хотя бы один простое число с

Менее ограничительная формулировка: для каждого всегда есть хотя бы одно простое число такой, что

Другая формулировка, где это -е простое число, для

[1]

Это утверждение было впервые высказано в 1845 г. Джозеф Бертран[2] (1822–1900). Сам Бертран проверил свое утверждение для всех чисел в интервале [2, 3 × 106].Его предположение было полностью доказано к Чебышев (1821–1894) в 1852 г.[3] и поэтому постулат также называют Теорема Бертрана – Чебышева. или же Теорема Чебышева. Теорема Чебышева также может быть сформулирована как связь с , куда это функция подсчета простых чисел (количество простых чисел меньше или равно ):

, для всех .

Теорема о простых числах

В теорема о простых числах (PNT) означает, что количество простых чисел до Икс примерно Икс/ ln (Икс), поэтому если мы заменим Икс с 2Икс то мы видим количество простых чисел до 2Икс асимптотически вдвое больше числа простых чисел до Икс (слагаемые ln (2Икс) и ln (Икс) асимптотически эквивалентны). Следовательно, количество простых чисел между п и 2п примерно п/ ln (п) когда п велико, и поэтому, в частности, в этом интервале намного больше простых чисел, чем гарантирует постулат Бертрана. Итак, постулат Бертрана сравнительно слабее, чем PNT. Но PNT - глубокая теорема, в то время как постулат Бертрана может быть сформулирован более запоминающимся и более легко доказанным, а также содержит точные утверждения о том, что происходит при малых значениях п. (Кроме того, теорема Чебышева была доказана до PNT и поэтому имеет исторический интерес.)

Подобные и до сих пор нерешенные Гипотеза Лежандра спрашивает, для каждого ли п > 1 есть простое число п, так что п2 < п < (п + 1)2. Опять же, мы ожидаем, что будет не один, а много простых чисел между п2 и (п + 1)2, но в этом случае PNT не помогает: количество простых чисел до Икс2 асимптотичен Икс2/ ln (Икс2), а количество простых чисел до (Икс + 1)2 асимптотична (Икс + 1)2/ ln ((Икс + 1)2), которая асимптотична оценке простых чисел с точностью до Икс2. В отличие от предыдущего случая Икс и 2Икс мы не получаем доказательства гипотезы Лежандра даже для всех больших п. Оценок погрешности PNT недостаточно (на самом деле не может быть) для доказательства существования хотя бы одного простого числа в этом интервале.

Обобщения

В 1919 г. Рамануджан (1887–1920) использовали свойства Гамма-функция чтобы дать более простое доказательство.[4] Краткая статья содержала обобщение постулата, из которого позже возникла концепция Простые числа Рамануджана. Произошли также дальнейшие обобщения простых чисел Рамануджана; например, есть доказательство того, что

с пk то kй премьер и рп то пй Рамануджан премьер.

Другие обобщения постулата Бертрана были получены элементарными методами. (В следующих, п пробегает множество натуральных чисел.) В 2006 г. М. Эль-Бахрауи доказал, что существует простое число между 2п и 3п.[5] В 1973 г. Денис Хэнсон доказал, что существует простое число между 3п и 4п.[6] Более того, в 2011 году Энди Лу доказал, что как п стремится к бесконечности, количество простых чисел между 3п и 4п также уходит в бесконечность, тем самым обобщая результаты Эрдеша и Рамануджана (см. ниже раздел о теоремах Эрдеша).[7] Первый результат получается элементарными методами. Второй основан на аналитических оценках для факториал функция.

Теорема Сильвестра

Постулат Бертрана был предложен для приложений к группы перестановок. Сильвестр (1814–1897) обобщили более слабое утверждение утверждением: продукт k последовательные целые числа больше чем k является делимый на простое число больше, чем k. Постулат Бертрана (более слабый) следует из этого, если взять k = п, и учитывая k числа п + 1, п + 2, до включительно п + k = 2п, куда п > 1. Согласно обобщению Сильвестра, одно из этих чисел имеет простой делитель больше, чемk. Поскольку все эти числа меньше 2 (k + 1), число с простым делителем большеk имеет только один простой делитель и, следовательно, является простым. Обратите внимание, что 2п не является простым, поэтому теперь мы знаем, что существует простое числоп с п < п < 2п.

Теоремы Эрдеша

В 1932 г. Erds (1913–1996) также опубликовали более простое доказательство, использующее биномиальные коэффициенты и Функция Чебышева ϑ, определяется как:

куда пИкс пробегает простые числа. Видеть доказательство постулата Бертрана для подробностей.[8]

В 1934 году Эрдеш доказал, что для любого натурального числа k, есть натуральное число N такой, что для всех п > N, есть как минимум k простые числа между п и 2п. Эквивалентное утверждение было доказано в 1919 году Рамануджаном (см. Рамануджан премьер ).

Лучшие результаты

Из теоремы о простых числах следует, что для любого действительного числа Существует такой, что для всех есть прайм такой, что . Можно показать, например, что

откуда следует, что стремится к бесконечности (и, в частности, больше 1 для достаточно большой ).[9]

Доказаны также неасимптотические оценки. В 1952 году Джитсуро Нагура доказал, что для всегда есть премьер между и .[10]

В 1976 г. Лоуэлл Шонфельд показал, что для , всегда есть простое число в открытом интервале

.[11]

В своей докторской диссертации 1998 г. Пьер Дюзар улучшил результат выше, показав, что для , , и в частности для , существует простое число в интервале

.[12]

В 2010 году Пьер Дюзар доказал, что для есть хотя бы одно простое число в интервале

.[13]

В 2016 году Пьер Дюзар улучшил свой результат по сравнению с 2010 годом, показав (Предложение 5.4), что если , есть хотя бы одно простое число в интервале

.[14] Он также показывает (следствие 5.5), что для , есть хотя бы одно простое число в интервале

.

Бейкер, Харман и Пинц доказали, что в интервале есть простое число для всех достаточно больших .[15]

Последствия

  • Последовательность простых чисел вместе с 1 представляет собой полная последовательность; любое положительное целое число можно записать как сумму простых чисел (и 1), используя каждое не более одного раза.
  • Единственный номер гармоники то есть целое число - это число 1.[16]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Рибенбойм, Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п.181. ISBN  978-0-387-20169-6.
  2. ^ Бертран, Жозеф (1845), «Воспоминания о номерах валерьянок, о которых идет речь, о том, что они делают, чтобы переставить летописи qu'elle renferme»., Журнал де l'École Royale Polytechnique (На французском), 18 (Cahier 30): 123–140.
  3. ^ Чебычев, П. (1852), "Mémoire sur les nombres premiers". (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, Серия 1 (на французском языке): 366–390. (Доказательство постулата: 371-382). См. Также Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St.Pétersbourg, vol. 7. С. 15-33, 1854 г.
  4. ^ Рамануджан, С. (1919). «Доказательство постулата Бертрана». Журнал Индийского математического общества. 11: 181–182.
  5. ^ М. Эль-Бахрауи, Простые числа в интервале (2n, 3n)
  6. ^ Хэнсон, Денис (1973), "Об одной теореме Сильвестра и Шура", Канадский математический бюллетень, 16 (2): 195–199, Дои:10.4153 / CMB-1973-035-3.
  7. ^ Лу, Энди (2011), «На простых числах в интервале (3п, 4п)" (PDF), Международный журнал современных математических наук, 6 (38): 1871–1882
  8. ^ Эрдеш, П. (1932), "Beweis eines Satzes von Tschebyschef" (PDF), Acta Litt. Sci. (Сегед) (на немецком языке), 5 (1930-1932): 194–198
  9. ^ Г. Х. Харди и Э. М. Райт, Введение в теорию чисел, 6-е изд., Oxford University Press, 2008, стр. 494.
  10. ^ Нагура, Дж (1952). «На интервале, содержащем хотя бы одно простое число». Труды Японской академии, серия А. 28 (4): 177–181. Дои:10.3792 / pja / 1195570997.
  11. ^ Лоуэлл Шонфельд (апрель 1976 г.). "Более точные оценки для функций Чебышева. θ(Икс) и ψ(Икс), II ». Математика вычислений. 30 (134): 337–360. Дои:10.2307/2005976. JSTOR  2005976.
  12. ^ Дюзар, Пьер (1998), Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres премьер (PDF) (Докторская диссертация) (на французском языке)
  13. ^ Дюзар, Пьер (2010). "Оценки некоторых функций над простыми числами без R.H.". arXiv:1002.0442 [math.NT ].
  14. ^ Дюзар, Пьер (2016). «Явные оценки некоторых функций над простыми числами». Рамануджанский журнал. 45: 227–251. Дои:10.1007 / s11139-016-9839-4.
  15. ^ Baker, R.C .; Harman, G .; Пинц, Дж. (2001). «Разница между последовательными простыми числами, II». Труды Лондонского математического общества. 83 (3): 532–562. CiteSeerX  10.1.1.360.3671. Дои:10.1112 / plms / 83.3.532.
  16. ^ Рональд Л., Грэм; Дональд Э., Кнут; Орен, Паташник (1994). Конкретная математика. Эддисон-Уэсли.

Библиография

внешняя ссылка